PHềNG GIO DC & O TO
THNH PH NINH BèNH
-------------------------

THI CHN HC SINH GII
NM HC 2011 - 2012
Mụn Toỏn : Lp 8
(Thi gian lm bi: 150 phỳt)
---------------------------

T-DH0-HSG8-12THS

Bi 1: (4,0 im)
x y x 2 y 2 y 2 4x 4 4x 2 y y 2 4

:
A


Cho biểu thức
2
2
2
y

x
2
y

xy


1
1
2
2
9
a 2bc b 2ac c 2ab
2

Bi 6: (3,0 im)
Cho tam giỏc ABC cú A B 2C v ụ di ba canh l ba s t nhiờn liờn tip.
Tinh ụ di cỏc canh ca tam giỏc ABC.
-----------------------Ht-------------------------

/>1


Bài

Đáp án ; Kết quả
a. (2,0 điểm)

Bài 1:
(4,0
điểm)

 x y
x 2  y 2  y  2  4 x 4  4 x 2 y  y 2  4
A 

:

 2  x 2x  3 5
 ( x  1)(4 x 2  4 x  7) 0
A





Tìm được x = 1
a. (1,5 điểm)
4
2
x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0 � x  x  30  x  x  1  0

Điểm
1,0

1,0
1,0
1,0

� x  x 3  1  30  x 2  x  1  0 � x  x  1  x 2  x  1  30  x 2  x  1  0
�  x 2  x  1  x 2  x  30   0

2
� 2
�
� 1� 3
� x  x  30  0 �
vìx  x  1  �x  �  0 �

 z  1 0
 z  1



/>2

1,0
0,25
0,25

0,5
0,5
0,5


A

K
D
I

P

Q

E
H

a.(1,5 điểm)

2
2

II’ =

- Qua I vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BH, CK tại P và Q
- Chứng minh được BPQC là hình bình hành nên SBPQC = BC. II’ (2)
- Chứng minh được  PIH =  QIK nên SBPQC = SBHCK
(3)
Từ (1); (2); (3) => SBEC + SBDC = SBHKC

0,5
1,0
0,5
0,5

x 2  y 2  5 x 2 y 2  60  37 xy (1)

a.(2,0 điểm)

(1) �  x  y   5 x 2 y 2  35 xy  60 �  x  y   5  xy  3  4  xy  .
Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn, VT �0
� 5  xy - 
3�
  4 xy� 0 3 xy 4 .
2

2

xy  3

�
x

y


2
x

4
x

y

0


�
�
�
x y2
�
Vậy �
là các giá trị cần tìm.
x  y  2
�
b.(2,0 điểm)
V× x, y, z lµ c¸c sè nguyªn nªn
x2 + y2+ z2 ≤ xy + 3y +2z - 4


Mµ

2

x, y �R

2

y � �y �
2
(*) � �
�x  � 3 �  1�  z  1  0
� 2 � �2 �
� y
�x  2  0
�x  1
�
�y
�
� �  1  0 � �y  2
Kết luận:
�2
�z  1
�
�z  1  0
�
�
1
1
1

 x  y  z . 1  1  1  9

=>

z

0,25

x

xyz

y

z

0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

Mµ x + y + z ≤ 1


1
2
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Theo đề bài A B  2C => A2 C
Đặt BC = a, AC = b, AB = c với a, b, c �N , ta có:
/>4

0,5
0,5


Tam giác ABC có Aˆ 2 Cˆ (CMT); Bˆ chung.
=> ABC : DBA ( g.g ) �

AB BC
c
a

 � c2  a  a  b 
=>
BD AB
ab c



Vậy AB = 2, AC = 3, BC = 4

/>5