TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ



Luận văn tốt nghiệp
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ – TIN HỌC

HÀM CẦU VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ

Hàm cầu &
ứng dụng

Giảng viên hướng dẫn:
ThS. TRẦN MINH QUÝ

Sinh viên thực hiện:
HUỲNH THỊ BÉ LÀNH
MSSV: 1087041
Lớp: Sư phạm Vật Lý – Tin Học K34

Cần Thơ, 5/2012


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành c ảm ơn Thầy Trần Minh Quý, Thầy đã tận
tình hướng dẫn, quan tâm, động viên, giúp tôi hoàn thành luận văn
này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô giảng dạy tôi trong suốt
thời gian qua, đã cung cấp những kiến thức quý báu làm nền tảng để

1.3.2. Tính chất trực giao và chuẩn hóa của đa thức Legendre liên kết........................... 17
1.4. Hàm cầu ............................................................................................................................... 19
1.4.1. Đa thức điều hòa .......................................................................................................... 19
1.4.2. Thiết lập hàm cầu ......................................................................................................... 21
1.4.2.1. Phương trình xác định hàm cầu ........................................................................... 21
1.4.2.2. Hàm cầu .................................................................................................................. 23
1.4.3. Các dạng hàm cầu ........................................................................................................ 26
1.4.4. Tính trực giao của hàm cầu......................................................................................... 27
1.4.5. Định lý cộng hàm cầu.................................................................................................. 31
1.4.6. Tính chẵn lẻ của hàm cầu............................................................................................ 33
1.4.7. Dao động riêng của hình cầu ...................................................................................... 35


1.4.8. Tính đối xứng của hàm cầu......................................................................................... 37
1.4.9. Nghiệm của một số phương trình đạo hàm riêng có chứa hàm cầu ...................... 38
1.4.9.1. Phương trình Laplace ............................................................................................ 38
1.4.9.2. Phương trình sóng Helmholtz .............................................................................. 38
1.4.9.3. Phương trình........................................................................................................... 39
1.4.10. Hàm cầu trong cơ học lượng tử................................................................................ 40
1.4.10.1. Toán tử mômen động lượng ............................................................................... 40
1.4.10.2.Hàm riêng và trị riêng của toán tử 𝐿2 ,𝐿 𝑧 ........................................................... 40
1.4.11. Hàm cầu suy rộng ...................................................................................................... 42
1.4.12. Sóng cầu ...................................................................................................................... 48
1.4.12.1. Hàm sóng hạt tự do trong hệ tọa độ cầu ........................................................... 48
1.4.12.2. Khai triển sóng phẳng theo sóng cầu ................................................................ 51
Chương II: ỨNG DỤNG CỦA HÀM CẦU TRONG VẬT LÝ ........................................... 53
2.1. Bài toán Điriclê đối với hình cầu ..................................................................................... 53
2.1.1. Bài toán Điriclê trong đối với hình cầu ..................................................................... 53
2.1.2. Bài toán Điriclê ngoài đối với hình cầu .................................................................... 53
2.2. Bài toán Nôiman đối với hình cầu ................................................................................... 54

VẬT LÝ”. Tôi hi vọng rằng đề tài này sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích và giúp cho việc
nghiên cứu chuyên ngành Vật lý lý thuyết được thuận lợi hơn.

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Thiết lập hàm cầu.
- Tìm hiểu những đặc điểm, tính chất của hàm cầu.
- Những ứng dụng của hàm cầu trong vật lý.

3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu một số tính chất cơ bản của hàm cầu và một số ứng dụng của nó trong Cơ
học lượng tử, giải các bài toán có liên quan đến đối xứng cầu.

4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu: phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa những
kiến thức có liên quan đến đề tài.

5. CÁC BƢỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
- Nhận đề tài, xác định nhiệm vụ cần đạt được của đề tài.
- Tìm tài liệu có liên quan.
- Lập đề cương chi tiết.
- Tiến hành viết đề tài và trao đổi với giáo viên hướng dẫn.
- Chỉnh sửa hoàn chỉnh luận văn và báo cáo.
Trang 2


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

B. NỘI DUNG


Ta có:
div𝐴 =

1

𝜕 𝐴1 𝑕2 𝑕3

𝑕1 𝑕2 𝑕3

𝜕𝑞1

𝑒1 𝜕𝜓

grad𝜓 =
∆𝜓 = divgrad𝜓 =

𝑕1 𝜕𝑞1
1

+

𝑒2 𝜕𝜓

+

𝑕2 𝜕𝑞2

𝜕



𝜕
𝜕𝑞3

𝑕1 𝑕2 𝜕𝜓
𝑕3 𝜕𝑞3

Trong hệ tọa độ cầu:
𝜕𝑥

∎ 𝑕1 = 𝑕𝑟 =

2

+

𝜕𝑟
𝜕𝑥

∎ 𝑕2 = 𝑕𝜃 =

+

𝜕𝑟

2

2

𝜕𝑦


=𝑟
∎ 𝑕3 = 𝑕𝜑 =

𝜕𝑥
𝜕𝜑

⇒ ∆𝜓 =

2

𝜕𝑦

+

2

+

𝜕𝜑

1 𝜕

2

𝑟

𝑟 2 𝜕𝑟

𝜕𝑧

𝑟2 sin2 𝜃 𝜕𝜑2

Vậy:
∆=

Với ∆𝜃 ,𝜑

1 𝜕

𝑟2

𝜕

1

∆
𝑟2 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑟 2 𝜃 ,𝜑
là phần phụ thuộc vào các biến số góc của toán tử Laplace:
∆𝜃 ,𝜑 =

1

𝜕

sin 𝜃 𝜕𝜃

+


Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

𝜕𝑢

𝑟2

1

𝜕

𝑢=

2

sin 𝜃

𝜕𝑢

𝜕2 𝑢

1

=0
1.3
𝜕𝑟
𝜕𝑟
sin 𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
sin2 𝜃 𝜕𝜑 2
Dùng phương pháp tách biến để nghiên cứu nghiệm của phương trình này đối với


𝑟

sin 𝜃

−

2

𝜕𝑢
𝜕𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝜑

=

=

𝜕𝜑2

2 𝜕𝑟
1 𝜕𝛼0
2 𝜕𝜃
1 𝜕𝛼0
2 𝜕𝜑

∞

+


𝜕𝑟
𝜕𝛽𝑚
𝜕𝜃
𝜕𝛽𝑚
𝜕𝜑

sin 𝑚𝜑

sin 𝑚𝜑

sin 𝑚𝜑

∞

−𝑚2 𝛼𝑚 cos 𝑚𝜑 − 𝑚2 𝛽𝑚 sin 𝑚𝜑

=
𝑚=1

+

−

1 𝜕𝛼0

=

𝜕2 𝑢

𝜕𝑟


𝑚2
sin2 𝜃

𝜕

+

𝛼𝑚 cos 𝑚𝜑 +
𝑚=1

𝜕
𝜕𝑟

𝑟2

𝜕𝑟
𝑟2

𝜕𝛽𝑚
𝜕𝑟

𝜕𝛼𝑚

+

𝜕𝑟

+



+

1

𝜕

sin 𝜃 𝜕𝜃

sin 𝜃

𝜕𝜈
𝜕𝜃

( khi 𝑚 = 0, ta có phương trình đối với 𝛼0 )
Trang 5

−

𝑚2
sin2 𝜃

𝜈=0

(1.4)


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

−

𝑑𝜃

𝑚2
sin2 𝜃

𝑅𝑄 = 0

Chia hai vế cho 𝑅𝑄 ta được:
1 𝑑
𝑅 𝑑𝑟

𝑟2

1 𝑑

=>

𝑑𝑅
𝑑𝑟
𝑟

𝑅 𝑑𝑟

1

+

sin 𝜃


+

=0
𝑚2
sin2 𝜃

Vì vế trái chỉ phụ thuộc vào 𝑟, vế phải chỉ phụ thuộc vào 𝜃 nên hai vế chỉ bằng nhau
khi cùng bằng một hằng số nào đó, ta có hai phương trình:
1 𝑑
𝑅 𝑑𝑟
1 1

𝑟2

𝑑𝑅

𝑑𝑟
𝑑

𝑄 sin 𝜃 𝑑𝜃

=𝜆
sin 𝜃

𝑑𝑄
𝑑𝜃

(1.5)


sin 𝜃

+

𝑑𝑄
𝑑𝜃

𝑑𝑄
𝑑𝜃

𝑑2𝑄
𝑑𝜃

+ 𝜆−
+ 𝜆−

+ 𝜆−

𝑚2

=0

sin2 𝜃
𝑚2

sin2 𝜃

𝑚2
sin2 𝜃


=
−
cos
𝜃
−
sin
𝜃
𝑑𝜃 2 𝑑𝜃 𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝜃 𝑑𝑥
= − cos 𝜃

𝑑𝑦
𝑑𝑥

− sin 𝜃

𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥
𝑑𝑥 2 𝑑𝜃

= −𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥

Thay biểu thức này vào phương trình (1.6) ta được:
Trang 6



1.7

Khi 𝑚 = 0, phương trình này có dạng đơn giản hơn và được gọi là ph ương trình
Legendre:
1 −𝑥

2

𝑑2𝑦

− 2𝑥

𝑑𝑦

+ 𝜆𝑦 = 0
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
Sau đây ta tìm nghiệm của phương trình Legendre dưới dạng chuỗi lũy thừa:

(1.8)

∞

𝐶𝑘 𝑥 𝑘

𝑦=

1.9



𝑑𝑦
𝑑𝑥

𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2

∞

∞

∞

𝑘𝐶𝑘 𝑥 𝑘 −1 = 2

= 2𝑥
𝑘 =1

𝑘𝐶𝑘 𝑥 𝑘 = 2𝐶1 𝑥 + 2
𝑘=1

𝑘𝐶𝑘 𝑥 𝑘
𝑘 =2

∞

𝐶𝑘 𝑘(𝑘 − 1)𝑥 𝑘 −2

=
𝑘 =2


𝑘=2

𝑘 =2
∞

𝑘 + 2 𝑘 + 1 𝐶𝑘 +2 − 𝑘 𝑘 − 1 𝐶𝑘 𝑥 𝑘

= 2𝐶2 + 6𝐶3 𝑥 +
𝑘 =2

Thay biểu thức này vào phương trì nh (1.8) ta được:
∞

𝑘 + 2 𝑘 + 1 𝐶𝑘 +2 − 𝑘 𝑘 + 1 − 𝜆 𝐶𝑘 𝑥 𝑘 = 0

2𝐶2 + 𝜆𝐶0 + 6𝐶3 + (𝜆 − 2)𝐶1 𝑥 +
𝑘 =2

Từ đó ta tìm được các phương trình cho các hệ số:
2𝐶2 + 𝜆𝐶0 = 0
Trang 7


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

6𝐶3 + 𝜆 − 2 𝐶1 = 0


Trong trường hợp 𝑙 lẻ, ta đặt 𝐶0 = 0 thì từ đẳng thức thứ nhất của (1.10) ta rút ra
𝐶2 = 0. Khi đó theo (1.11) các hệ số có chỉ số chẵn đều bằng 0 và nghiệm (1.9) trở thành:
𝑦 = 𝐶1 𝑥 + 𝐶3 𝑥 3 + ⋯ + 𝐶𝑙 𝑥 𝑙 , trong đó 𝐶1 tùy ý, 𝐶3 =

−𝑙 𝑙+1 −2
6

𝐶1, các hệ số sau tính

theo công thức (1.11)
Vậy khi 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1) phương trình Legendre (1.8) có nghiệm là đa thức bậc 𝑙 (𝑙 =
0, 1, 2, … ). Các đa thức này hoặc chỉ chứa các số hạng bậc chẵn nếu 𝑙 chẵn, hoặc chỉ chứa
các số hạng bậc lẻ nếu 𝑙 lẻ. Khi ta chọn hệ số 𝐶0 hoặc 𝐶1 sao cho các đa thức ấy có giá trị
bằng 1 tại 𝑥 = 1 thì các đa thức như vậy gọi là đa thức Legendre, kí hiệu là 𝑃𝑙 (𝑥). Như vậy
đa thức Legendre là một đa thức bậc 𝑙 thỏa mãn phương trình (1.8) với 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1) và
tiến đến 1 khi 𝑥 = 1, nghĩa là 𝑃𝑙 1 = 1.
Với 𝑙 = 0, 1, 2, 3, … ta tính được:
𝑃0 𝑥 = 1
𝑃1 𝑥 = 𝑥
1
𝑃2 𝑥 = 3𝑥 2 − 1
2
1
𝑃3 𝑥 = 5𝑥 3 − 3𝑥
2
Ta cũng chứng minh được rằng các đa thức Legendre có thể được tính theo công thức
Rodrigue:

Trang 8


𝑑𝑦

+ 𝑙(𝑙 + 1)𝑦 = 0

𝑑𝑥

có dạng chuỗi bậc 𝑙.
Xét đa thức bậc 2: 𝑧 = 𝑥 2 − 1

𝑙

(1.13)

Dễ dàng thấy rằng, đa thức (1.13) thỏa mãn phương trình vi phân:
𝑥2 − 1

𝑑𝑧

− 2𝑙𝑥𝑧 = 0
𝑑𝑥
Đạo hàm hai vế phương trình (1.14) 𝑙 lần theo 𝑥 ta có:
2

𝑥 −1
𝑑𝑧

2

∎ 𝑥 −1
=

𝑙

𝑙 −1

𝑑𝑧

′

𝑙−1

𝑑𝑧

+ 2𝑙𝑥

𝑑𝑥

= 2𝑙𝐶𝑙0 𝑥𝑧

𝑥 −1

+

𝑑𝑥
𝑑𝑧

= 𝑥2 − 1 𝑧

𝑑𝑧

=0


1.14

𝑙 −1

𝐶𝑙2

𝑑𝑧

2

𝑥 −1

′′

𝑑𝑧

𝑙 −2

𝑑𝑥

𝑙−2

𝑑𝑥

𝑙 −1

+ 2𝑙 2 𝑧

𝑙−1

Như vậy phương trình Legendre lúc này có nghiệm:
𝑦 = 𝐶𝑧 (𝑙) = 𝐶

𝑑𝑙 𝑥2 − 1
𝑑𝑥 𝑙

trong đó 𝐶 là hằng số. Đặt:
𝐶=

1
2𝑙 𝑙!

Trang 9

𝑙


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

Vậy, ta có:
𝑦 = 𝑃𝑙 𝑥 =

1

𝑑𝑙

2𝑙 𝑙!


𝑑

𝑑𝑃𝑙 𝑥

1 − 𝑥2

𝑑𝑥
𝑑

1 − 𝑥2

𝑑𝑥

𝑑𝑥

+ 𝑙 𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑥 = 0

𝑑𝑃𝑚 𝑥
𝑑𝑥

+ 𝑚 𝑚 + 1 𝑃𝑚 𝑥 = 0

Nhân hai vế phương trình đầu với 𝑃𝑚 (𝑥), nhân phương trình sau với −𝑃𝑙 𝑥 rồi cộng
lại và lấy tích phân từ −1 đến +1, ta có:
1

𝑃𝑚 𝑥
−1

𝑑


(1.17)

−1

Bằng cách lấy tích phân từng phần ta được:
1

∎

𝑃𝑚 𝑥
−1

𝑑
𝑑𝑥

𝑑𝑃𝑙 𝑥

1 − 𝑥2

𝑑𝑥
2

= 𝑃𝑚 𝑥 𝑥 − 1
1

1 − 𝑥2

=−
−1

𝑑𝑥


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý

1

∎

𝑑

𝑃𝑙 𝑥

𝑑𝑥

−1

𝑑𝑃𝑚 𝑥

1 − 𝑥2

𝑑𝑥

𝑑𝑥

= 𝑃𝑙 𝑥 𝑥 2 − 1

1 − 𝑥2

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

Khi đó đẳng thức (1.17) trở thành:
1

𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1)

𝑃𝑙 𝑥 𝑃𝑚 𝑥 𝑑𝑥 = 0

(1.18)

−1
1

Nếu 𝑙 ≠ 𝑚 thì 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1) ≠ 0 suy ra

−1

𝑃𝑙 𝑥 𝑃𝑚 𝑥 𝑑𝑥 = 0

Vậy hệ thức đầu của (1.16) đã được chứng minh, hay nói cách khác các đa thức
Legendre trực giao nhau trên đoạn (−1, +1).
Bây giờ ta chuẩn hóa đa thức bằng cách xét bình phương của đa thức Legendre.
Ta xét:

𝑑𝑙

𝑥2 − 1

𝑑𝑥 𝑙

𝑙

𝑑𝑥

Bằng cách tính tích phân từng phân ta được:
1

−1

𝑑𝑙
𝑑𝑥 𝑙

2

𝑥 −1
1

−
−1

𝑙

𝑑𝑙
𝑑𝑥 𝑙

𝑑𝑙 𝑥2 − 1
𝑑𝑥 𝑙

𝑥2 − 1

𝑑 𝑙+1
𝑑𝑥 𝑙 +1

𝑙

𝑙

Tích phân từng phần như thế 𝑙 lần ta được:
Trang 11

𝑑𝑥 𝑙 −1

𝑑𝑥

𝑥2 − 1

𝑑 𝑙−1

𝑙

𝑑𝑥

1
2



𝑙

𝑑𝑥 2𝑙

−1

𝑥2 − 1

𝑙

𝑑𝑥 =

−1

𝑙

1

2𝑙 !

22𝑙 𝑙!

𝑥 2 − 1 𝑙 𝑑𝑥

2

1.19

−1

𝐼𝑙 =

cos 𝑥 𝑑𝑥 =

sin 𝑥 cos 𝑙 −1 𝑥
𝑙

+

𝑙−1
𝑙

cos 𝑙−2 𝑥 𝑑𝑥

Ta có:
𝜋
2

cos 2𝑙+1 𝑡 𝑑𝑡 =

𝐼2𝑙 +1 =
0

=
⇒ 𝐼2𝑙 +1 =

2𝑙 + 1

2𝑙 + 1
Theo truy hồi ta có:


cos 2𝑙−1 𝑡 𝑑𝑡
0

𝐼2𝑙 −1

2𝑙 − 2

2𝑙 + 1 2𝑙 − 1

⋯

42
53

𝐼1 =

2 4
3 5

⋯

2𝑙
2𝑙 + 1

=

2𝑙 𝑙!
3 ∙ 5 ⋯ 2𝑙 + 1


𝑚=𝑙

Với tính trực giao của các đa thức Legendre, có thể khai triển hàm bất kì vào chuỗi
các đa thức Legendre:

Trang 12


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý
∞

𝑓 𝑥 =

𝑎𝑙 𝑃𝑙 𝑥
𝑙 =0

Trong đó:
𝑎𝑙 =

+1

2𝑙 + 1
2

𝑓 𝑥 𝑃𝑙 𝑥 𝑑𝑥
−1

* Lưu ý:


𝜓 𝜌, 𝑥 =

1.20

𝑙 =0

Để lấy ví dụ về công dụng của hàm sinh ta rút ra các hệ thức truy toán sau:
𝑙 + 1 𝑃 𝑙+1 𝑥 − 𝑥 2𝑙 + 1 𝑃 𝑙 𝑥 + 𝑙𝑃 𝑙 −1 𝑥 = 0

(1.21)

𝑃𝑙′−1 𝑥 = 𝑥𝑃′𝑙 𝑥 − 𝑙𝑃𝑙 (𝑥)

(1.22)

𝑃𝑙′ 𝑥 = 𝑥𝑃′𝑙−1 𝑥 + 𝑙𝑃 𝑙−1 (𝑥)

(1.23)

Các công thức truy hồi này cho phép ta tính được 𝑃𝑙 (𝑥) khi biết 𝑃 𝑙−1 (𝑥) và 𝑃 𝑙 −2 (𝑥)
Rõ ràng: 𝑃0 𝑥 = 1, 𝑃1 𝑥 = 1 nên từ đó ta có thể tính được 𝑃𝑙 (𝑥) với mọi 𝑙
Ta có thể chứng minh công thức truy hồi này bằng cách xuất phát từ hàm số
sinh 𝜓 (𝜌, 𝑥). Ta có:
𝜓 𝜌, 𝑥 =

∞

1
1+

∞

𝑙 + 1 𝑃 𝑙 +1 𝑥 𝜌𝑙

𝜓𝜌 =

(1.27)

𝑙 =0

Thay (1.27), (1.24) vào (1.25) và triệt tiêu hệ số của 𝜌𝑙 , ta có ngay (1.21)
Khử 𝜓 ở (1.25), (1.26) ta có:
𝜌𝜓𝜌 − 𝑥 − 𝜌 𝜓𝑥 = 0

(1.28)

hay:
∞

∞

𝑙𝑃𝑙 𝑥 𝜌𝑙−1 − (𝑥 − 𝜌)

𝜌
𝑙 =0

𝑃′𝑙 𝑥 𝜌𝑙 = 0
𝑙 =0

từ đó suy ra ngay (1.22).

𝑃𝑙 0 𝜌 =
𝑙 =0

1 + 𝜌2

= 1+

1
𝜌 2 −2

1

2

= 1− 𝜌 + −
2
2

Do đó:

𝑃𝑙 0 =

−1

𝑙
2.

0

𝑙−1 ‼

1 − 𝑥2

𝑑𝑥 2

− 2𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥

+ 𝜆−

𝑚2
1 − 𝑥2

𝑦=0

Ta đưa vào biến số mới 𝑧 sao cho:
𝑦(𝑥) = 1 − 𝑥 2

𝑚
2

𝑧(𝑥)

Khi đó:
𝑦 ′ = 1 − 𝑥2
𝑦 ′′ = 1 − 𝑥 2

𝑚
2

𝑚
−1
2

𝑧 ′ − 𝑚𝑧 ′ 1 − 𝑥 2

−2𝑥 𝑥 + 𝑚𝑧 1 − 𝑥 2

− 2𝑚𝑥𝑧 ′ 1 − 𝑥 2

𝑚
2 −1

𝑚
2

𝑧 ′ − 𝑚𝑧 1 − 𝑥 2

𝑚
−1
2

𝑥 + 𝑚𝑧

𝑚
2

𝑚
−1
2

1 − 𝑥2

= 1 − 𝑥 2 𝑧 ′′ − 2 𝑚 + 1 𝑥𝑧 ′ + 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1) 𝑧
Do đó hàm 𝑧 thỏa phương trình:
1 − 𝑥 2 𝑧 ′′ − 2 𝑚 + 1 𝑥𝑧 ′ + 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1) 𝑧 = 0

(1.29)

Bởi vì đa thức Legendre thỏa phương trình (1.8) với 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1) nên
1 − 𝑥 2 𝑃𝑙′′ 𝑥 − 2𝑥𝑃𝑙′ 𝑥 + 𝑙 𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑥 = 0

(1.30)

Lấy vi phân phương trình này 𝑚 lần theo 𝑧
Để tìm đạo hàm của tích hai hàm ta sử dụng quy tắc Leipnitz:
𝑚

𝑢𝑣

𝑚

𝐶𝑚𝑖 𝑢 𝑖 𝑣

=

𝑚−𝑖

𝑖=0

Với :

𝑑𝑚

𝑥𝑃𝑙′
𝑚
𝑑𝑥

2

𝑃𝑙′′

𝑥 = 1−𝑥

𝑥 =𝑥

𝑑 𝑚+1
𝑑𝑥 𝑚 +1

𝑑 𝑚+2

2

𝑑𝑥 𝑚+2

𝑃𝑙 + 𝑚

𝑑𝑚

𝑃𝑙 − 2𝑚𝑥

𝑑 𝑚+1


𝑑 𝑚 𝑃𝑙
𝑑 𝑥𝑚

𝑑𝑥 𝑚+1

𝑃𝑙 + 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1)

𝑑𝑚
𝑑𝑥 𝑚

𝑃𝑙 = 0

thỏa phương trình (1.29) nghĩa là hàm:

𝑧= 1−

𝑚
𝑥2 2

𝑑𝑚
𝑑𝑥 𝑚

𝑃𝑙 𝑥 ≡ 𝑃𝑙

thỏa mãn phương trình (1.7) với 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1)

𝑚

𝑥

𝑚=0

𝑥 ≠0

𝑚≤𝑙

* Các đa thức Legendre liên kết thỏa mãn các hệ thức quy nạp sau đây −1 < 𝑥 < 1
𝑚
 2𝑙 + 1 𝑥𝑃𝑙𝑚 𝑥 − 𝑙 − 𝑚 + 1 𝑃𝑙𝑚+1 𝑥 − 𝑙 + 𝑚 𝑃𝑙−1
𝑥 =0

0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑙 −1
 𝑥2 − 1

𝑑
𝑑𝑥

𝑃𝑙𝑚 𝑥 − 𝑙 − 𝑚 + 1 𝑃𝑙𝑚+1 𝑥 + 𝑙 + 1 𝑥𝑃𝑙𝑚 𝑥 = 0
0 ≤𝑚 ≤𝑙

 𝑃𝑙𝑚+2 𝑥 − 2 𝑚 + 1 −

𝑥
1−

𝑥2

𝑃𝑙𝑚+1 𝑥 + 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚 𝑚 + 1 𝑃𝑙𝑚 𝑥 = 0

0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑙 −2

1

𝑃𝑙

𝑚

𝑥 𝑃𝑘

0

𝑚

𝑥 𝑑𝑥 =

𝑑

𝑚

𝑥 và 𝑃𝑘

1−𝑥

𝑑𝑥
𝑑

1−𝑥

𝑑𝑥

𝑚


𝑥 𝑃𝑘
𝑑𝑃𝑘

2

𝑃𝑙

𝑥2

1−

𝑚

𝑑𝑥

𝑙 𝑙 + 1 − 𝑘 𝑘 + 1 𝑃𝑙
𝑑

khi

𝑥 thỏa mãn phương trình:

Nhân phương trình thứ nhất với 𝑃𝑘
cho nhau ta được:

𝑚

𝑙+𝑚 !


𝑥 , rồi trừ

𝑥 =

𝑚

− 𝑃𝑘

𝑑𝑥

𝑚

𝑚

𝑑

𝑥

1−𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑃𝑙

2

𝑚

𝑑𝑥


−1

1−𝑥

2

𝑑𝑃𝑘

1

𝑚

𝑑𝑥 −

𝑑𝑥

𝑃𝑘

𝑚

𝑑

𝑥

1 −𝑥

𝑑𝑥

−1


1−𝑥

2

𝑑𝑃𝑙

𝑚

𝑑𝑥

−1

𝑑𝑃𝑘

𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑥 = 0

Khi đó vế trái:
1

𝑙 𝑙+1 −𝑘 𝑘+1

𝑃𝑙
−1

Trang 17


−1

Vậy đa thức Legendre liên kết trực giao trong khoảng (-1,+1). Bây giờ ta nghiên cứu
tính chất chuẩn hóa của đa thức Legendre liên kết:
Nhân phương trình (1.29) với 1 − 𝑥 2
1 − 𝑥2

𝑚+1 ′′

𝑧 − 2 𝑚 + 1 1 − 𝑥2

𝑚
𝑚

ta có:

𝑥𝑧 ′ + 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1) 1 − 𝑥 2

𝑚

𝑧=0

Thay 𝑚 + 1 bằng 𝑚 ta được:
1 − 𝑥2
𝑑

𝑚 ′′

𝑧 − 2𝑚𝑥 1 − 𝑥 2



𝑃𝑙

𝑚

𝑧

với 𝑧 =

= − 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 − 1) 1 − 𝑥 2

1

𝐿𝑚𝑙,𝑘

2 𝑚−1

𝑥 𝑃𝑘

𝑚

𝑥 𝑑𝑥 =

−1

1−𝑥
−1

2 𝑚



𝑑 𝑚−1 𝑃𝑘

⇒ 𝑑𝑢 = − 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 − 1)
𝑑 𝑚−1
𝑑𝑥 𝑚 −1

𝑑 𝑥 𝑚−1

𝑑𝑥

𝑃𝑙

Suy ra:
𝐿𝑚𝑙,𝑘

= 1−𝑥

2

𝑑 𝑚−1 𝑃𝑙 𝑑 𝑚 𝑃𝑘
𝑚
𝑑𝑥 𝑚−1 𝑑 𝑥 𝑚

1

1

+ 𝑙 𝑙+1 −𝑚 𝑚−1
−1

Ta thấy:
𝑙 +𝑚 𝑙 +𝑚 − 1 ⋯ 𝑙 + 1 =
𝑙 −𝑚+1 𝑙 −𝑚+2 ⋯𝑙 =

𝑙 +𝑚 !
𝑙!
𝑙!
𝑙−𝑚 !

mà:
1

𝐿0𝑙,𝑘

=

𝑃𝑙

0

𝑥 𝑃𝑘

0

𝑥 𝑑𝑥 =

−1

2
2𝑙 + 1

khi

𝑘≠𝑙

khi

𝑘=𝑙

(1.32)

* Ta cũng có các tích phân sau cho đa thức Legendre liên kết:
𝑃𝑙

𝑚

𝑥 = −1

1

𝑃𝑙

𝑚

𝑃𝑙

𝑚

𝑥

2


cos 𝑚𝑡 𝑑𝑡

0

𝑙 +𝑚 !

2𝑙 + 1 𝑙 − 𝑚 !
1

𝑙+𝑚 !

2𝑚 𝑙 − 𝑚 !

1.4. HÀM CẦU
1.4.1. Đa thức điều hòa

Ta xét phương trình Laplace ba biến:
∆𝑢 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 + 𝑢𝑧𝑧 = 0

1.33

Mọi đa thức thuần nhất cấp một: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 đều là nghiệm của (1.33). Ta gọi đó là
đa thức điều hòa cấp một. Rõ ràng 𝑎, 𝑏, 𝑐 là tùy ý, do đó có ba đa thức điều hòa thuần nhất
Trang 19


Luận văn tốt nghiệp

Hàm cầu và ứng dụng trong Vật lý


Số các hệ số 𝑎𝑖 ,𝑗 ,𝑘 của 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 𝑧 𝑘 là:
1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛 + 1 =

𝑛+ 1 𝑛 +2
2

Để đa thức trên là điều hòa ta phải có: ∆𝐹 = 0

(1.38)

∆𝐹 là một đa thức thuần nhất cấp 𝑛 − 2. Vậy số hệ số của nó là

𝑛−1 𝑛
2

Hệ (1.38) thu được bằng cách cho triệt tiêu các hệ số của nó. Vậy (1.38) cho ta
𝑛 −1 𝑛
2

hệ thức giữa

𝑛 +1 𝑛 +2
2

hệ số của (1.37). Điều đó có nghĩa là đa thức điều hòa 𝐹

thuần nhất cấp 𝑛 là tổ hợp tuyến tính của:

𝑛+1 𝑛+2