B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O
TR
NGă IăH CăTH NGăLONG
---------------------------------------

TR NăCHỂUăNGUYểN

C C,ă

IăC CăVĨă NGăD NGă

TRONGăD YăHÌNHăH CăPH ăTHỌNG

LU NăV NăTH CăS TOÁNăH C

Hà N i – N m 2016


B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O
TR
NGă I H CăTH NGăLONG
--------------------------------------------

Tr năChơuăNguyênăậ C00451

C C,ă

IăC CăVĨă NGăD NG

TRONGăD YăHÌNHăH CăPH ăTHỌNG
LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C


i h c Th ng Long d

is

c Quang. Tôi xin g i l i c m n

đ n Ban Giám hi u, các Th y Cô trong Khoa Toán, Phòng Sau đ i h c và các
phòng ban liên quan trong Tr

ng

i h c Th ng Long đã t n tình giúp đ và

t o đi u ki n thu n l i cho tôi trong quá trình h c t p và nghiên c u.
c bi t, tôi xin chân thành c m n Th y h
là PGS.TSKH S

c Quang đã t n tình h

trình nghiên c u và hoàn thi n lu n v n.
n đ n toàn th gia đình, ng

ng d n khoa h c c a mình

ng d n và giúp đ tôi trong quá
ng th i tôi xin đ

cg il ic m



nh P 2  R  . .................................. 16

1.4.1. nh ngh a. ........................................................................................... 16
1.4.2. Giao c a đ ng b c hai v i đ ng th ng. ........................................... 17
1.4.3. D ng chu n t c c a siêu m t b c hai trong không gian x nh th c .... 18
1.5. i m liên h p qua siêu m t b c hai trong P 2  R  .................................... 19
1.6. Nguyên t c đ i ng u................................................................................. 23
1.7. Các đ nh lý c đi n c a hình h c x nh.................................................. 24
1.8. Mô hình afin c a m t ph ng x nh: ........................................................ 30
1.8.1. Mô hình afin c a m t ph ng x nh: ..................................................... 30
1.8.2. M t s nh n xét: .................................................................................... 31
1.8.3. M t s khái ni m đ i ng u trong P2 : ................................................... 32
Ch ngă2:ăC CăVĨă IăC CăTRONGăM TăPH NGă CLIT ........... 35
2.1. Phép ngh ch đ o ....................................................................................... 35
2.2.
ng tròn tr c giao ................................................................................ 36
2.3. C c và đ i c c.......................................................................................... 36
Ch

ngă3:ăH ăTH NGăBĨIăTOÁNă I NăHÌNHă NGăD NGăC CăVĨă
IăC CăTRONGăHÌNHăH CăPH ăTHỌNG ........................................ 39
3.1. Các bài toán v quan h vuông góc, song song: ...................................... 39
3.2. Các bài toán v tính đ ng quy, th ng hàng: ............................................. 43
K TăLU N .................................................................................................... 53
DANH M CăTĨIăLI UăTHAMăKH O ..................................................... 54

4

Thang Long University Libraty

tr

ng THPT. Vì v y tôi l a

ch n nghiên c u đ tài “C c, đ i c c và ng d ng trong d y hình h c ph
thông”.
M c đích c a chúng tôi trong lu n v n nh m trình bày ph

ng pháp s

d ng c c và đ i c c đ gi i quy t bài toán hình h c ph thông. Chúng tôi s
đ a ra h

ng gi i quy t m t s d ng bài toán hình h c s c p b ng cách s

d ng ki n th c v c c và đ i c c mà các ph
nhi u công s c m i gi i quy t đ

ng pháp thông th

ng m t

c. V i mong mu n nh v y, tôi hy v ng

lu n v n có th là m t tài li u tham kh o cho các h c sinh ph thông và các
đ ng nghi p giáo viên Toán THPT và THCS đ ti p c n các bài toán hình h c
s c p theo m t h
Lu n v n đ

ng m i.

Ch

ngă1
C CăVĨă

IăC CăTRONGăM TăPH NGăX ă NH

1.1ăKhôngăgianăx ă nh
Cho V n là không gian véc-t n chi u trên tr
 V n  là t p h p các không gian véc-t

ng K , v i n  1 . Ta kí hi u

con m t chi u c a V n . Theo kí hi u

đó, ta hi u V1   V1 .
nhă ngh aă 1.1.1 (Không gian x
gian véc-t

 P, p, V 
n+1

nh). Cho m t t p h p P , m t K –không

n  1 chi u V n+1 , và m t song ánh p :  V n1   P . Khi đó b ba

đ

c g i là không gian x



n

nh th c n chi u, kí hi u là P n  R  . Trong lu n v n

này, chúng ta xét đ n không gian x

nh th c 2 chi u P 2  R  .

6

Thang Long University Libraty


nhă ngh aă 1.1.2ă (Ph ng trong không gian x
nh  P 2 , p, R 3  . G i W là không gian véc-t
( 2  m  0 ). Khi đó t p h p p  W  đ

nh P 2 ). Cho không gian x
con m 1

chi u c a R 3

c g i là cái ph ng m chi u (ho c là

m ph ng) c a P 2 .

Nh v y, m i đi m c a P 2 là m t 0  ph ng; 1 ph ng c a P 2 còn g i là
đ


t a đ . V i m i m c tiêu x

e , e , e  c
0

1

véc-t

2

a R 3 sao cho véc-t

nh S0 , S1, S2 ; E , luôn tìm đ

c m t c s

ei là đ i di n c a đ nh Si (v i i  0,1, 2 ) và

e  e0  e1  e2 là đ i di n c a đi m E. C

di n c a m c tiêu x

nh, đi m E g i

nh đã cho.

7

s đó đ


1

2

ng đ

cg i

là t a đ c a đi m X đ i v i m c tiêu S0 , S1, S2 ; E và vi t X  ( x0 ; x1; x2 ) .

1.2.ăT ăs ăképăvƠăhƠngăđi măđi uăhòa
Trong không gian x

nh P 2  R  cho 4 đi m th ng hàng A, B, C , D trong đó ba

đi m A, B, C đôi m t không trùng nhau. Ta g i a , b, c, d là các véc-t l n l

t

đ i di n cho các đi m A, B, C , D thì các véc-t đó thu c m t không gian véc-t
2 chi u, trong đó a , b đ c l p tuy n tính. Khi đó có các s k1, l1 và k2, l2 sao
cho
c  k1 a  l1 b;
d  k2 a  l2 b

Ta chú ý r ng k1  0 và l1  0 vì C không trùng v i A và B .
nhăngh aă1.2.1ă (T s kép c a b n đi m th ng hàng). N u t s
ngh a (t c là l2  0), thì nó đ


i) Khi hoán v 2 đi m đ u v i nhau, ho c 2 đi m cu i v i nhau thì t s kép
tr thành s ngh ch đ o.
ii) Khi hoán v đ ng th i 2 đi m đ u v i nhau và 2 đi m cu i v i nhau, t s
kép không thay đ i.
iii) Khi hoán v c p đi m đ u v i c p đi m cu i, t s kép không thay đ i.
iv) Khi hoán v 2 đi m
v i nhau thì đ
v)

N u

gi a v i nhau, ho c hoán v đi m đ u và đi m cu i

c t s kép m i b ng 1 tr đi t s kép c .

A,B,C,D,E

là

5

đi m

th ng

hàng

phân

 A, B, C , D  .  A, B, D, E    A, B, C , E  .


 A, B, D, C 

1
  A, B, C , D  ,
1
 A, B, C, D

C , D, A, B   A, B, C , D  .
c  k1 a  l1 b
iii) Ta có 
. T đó ta suy ra
d  k2 a  l2 b

(k1l2  k2l1 )a  l2 c  l1 d
.

 k1l2  k2l1  b  k2 c  k1 d

Vì v y ta đ

c

9

bi t

thì






l
d
l
k
l
k
a
l
c


 1
1 2
2 1
2

Vì v y, ta đ

c:

 A, C , B, D  

l1k2  l2 k1 k1 l1k2  l2 k1
lk
:

 1  1 2  1   A, B, C , D  .


nh P 2  R  , t p

ng th ng). Trong không gian x

ng th ng cùng đi qua m t đi m đ

c g i là chùm đ

ng th ng

v i giá là đi m đó.
M t chùm đ
đ

ng th ng đ

c xác đ nh khi cho giá c a nó, ho c cho hai

ng th ng nào đó c a chùm.
nhălýă1.2.5ă(T s kép c a b n đ

ng th ng thu c m t chùm). Cho 4 đ

ng

th ng U ,V ,W , Z thu c m t chùm trong đó U ,V,W đôi m t phân bi t. N u d là
đ

ng th ng c t 4 đ


i m A U , B  V nên ta có U   A  0, V   B  0 , ngoài ra đi m A, B
t

t

là phân bi t nên ta c ng có U   B  0, V   A  0 .
t

t

i m C n m trên đ

ng

th ng AB nên ph i có C   k1  A  l1  B , m t khác C c ng n m trên W nên
t
 W   C   0 hay  p1 U   q1 V    k1  A  l1  B   0. i u này suy ra

p1k1 U   A  q1l1 V   B  p1l1 U   B  q1k1 V   A  0 ,
t

t

t

t

hay p1l1 U   B  q1k1 V   A  0 . T k t qu này ta có th l y s
t


V y t s kép nói trên không ph thu c d .

nh lý đ

c ch ng minh.

Chúăý:ăT cách ch ng minh đ nh lí trên ta suy ra cách tìm t s kép c a chùm
4đ

ng th ng khi bi t t a đ c a chúng đ i v i m t m c tiêu nào đó nh sau:

n u các đ

ng th ng U ,V ,W , Z có ma tr n c t t a đ l n l

t là

U  , V  ,  W   p1 U   q1 V  ,  Z   p2 U   q2 V 
thì
p

p

U ,V,W, Z   2 : 1 .
q2 q1

nhăngh aă1.2.6ă(Chùm 4 đ
U , V , W , Z c a m t chùm đ



ng th ng đó g i là m t c nh;

c g i là m t đ nh; hai đ nh không n m trên cùng

m t c nh g i là hai đ nh đ i di n; đ
là đ

nh P 2  R 

ng chéo; giao c a hai đ

ng th ng n i 2 đ nh đ i di n đ

cg i

ng chéo g i là đi m chéo.

12

Thang Long University Libraty


nhălíă1.2.8ă( nh lý hình b n c nh toàn ph n). Trong hình b n c nh toàn
ph n, hai đ

ng chéo đi qua m t đi m chéo nào đó chia đi u hòa hai đ

th ng n i hai đi m chéo đó v i hai đ nh n m trên đ


x

nhăngh aă(Ánh x x

nh). M t ánh x

f : P  P' đ

c g i là ánh x

nh n u có ánh x tuy n tính  : V  V' sao cho n u véc-t

xV là đ i

di n cho đi m XP thì vec-t  ( x)  V' là đ i di n cho đi m f  x  P' . Ngh a



 



là, n u p x  X thì p '   x  f  X  . Khi đó ta nói r ng ánh x tuy n tính
là  là đ i di n c a ánh x x

nh f .

1.3.2.ăTínhăch tă c aăánhăx ăx ă nh.ă Cho ánh x x

nh f : P  P' , có đ i


 a  k b   kb , k  0 . Vì  đ n c u nên suy ra a  kb , t c là A và B

trùng nhau.
c. Ánh x x

nh b o t n tính đ c l p và tính ph thu c c a m t h đi m

(do đ n c u tuy n tính b o t n s đ c l p tuy n tính và s ph thu c tuy n
tính c a h vec-t ). T đó suy ra: Ánh x x

nh b o t n các khái ni m:

m ph ng, s chi u c a ph ng, giao và t ng c a các ph ng, t s kép c a hàng

4 đi m và c a chùm b n siêu ph ng.
d. M i đ n c u tuy n tính  : V  V' là đ i di n cho m t ánh x x

nh duy

nh t f : P  P' . Hai đ n c u tuy n tính  : V  V' và  ': V  V' cùng đ i
di n cho m t ánh x x

nh f : P  P' khi và ch khi có s k  K \ 0 sao cho

14

Thang Long University Libraty



c g i là đ ng c u.

T các k t qu v đ i s tuy n tính, ta có đ

c các tính ch t sau:

a) Ánh x tuy n tính đ i di n cho đ ng c u x

nh là phép đ ng c u tuy n

tính.
b) M t đ ng c u x

nh f : P  P c a không gian x

g i là phép bi n đ i x
các bi n đ i x

nh P lên chính nó đ

nh (hay ng n g n là bi n đ i x

nh c a P làm thành m t nhóm, nó đ

c a không gian x

nh P . Nhóm x

c


thành các đi m Si'  i  0,1, 2 và bi n E thành E ' .
d) M i t p con H c a P 2 đ
đ

ng x

c g i là m t hình. Hình H đ

nh v i hình H ' n u có m t phép bi n đ i x

15

c g i là t

ng

nh f bi n H thành


H ' . Quan h t

ng đ

ng x

M t tính ch t c a hình H đ
n u m i hình H ' t
t

ng đ


trong P 2 .

1.4.ăSiêuăm tăb căhaiătrongăkhôngăgianăx ă nhă P 2  R  .
1.4.1.ă

nhă ngh a. Xét ph

trên tr

ng s th c R , t c là ph

ng trình b c hai thu n nh t c a 3 bi n x0 , x1 , x2
ng trình có d ng
2

 a xx

i , j 0

ij i

j

 0 , (1)

trong đó aij  R, a ji  aij và có ít nh t m t aij  0 .
Ta kí hi u ma tr n A   aij  , i, j  0,1, 2 thì A là m t ma tr n vuông đ i x ng
c p 3 có h ng ít nh t b ng 1. Ta l i kí hi u x là ma tr n 1 c t 3 dòng:
 x0 


c

g i là không suy bi n. Ng
g i là suy bi n.
Ta th

ng g i siêu m t b c hai trong không gian x

nh P 2  R  là đ

ng b c hai  S  và  S ' v i các ma tr n A và A' t

b c hai. Hai đ

ng

ng ng

c xem là trùng nhau khi và ch khi có s th c k  0 sao cho A  kA' . Khái

đ

ni m đ

ng b c hai là m t khái ni m x

1.4.2.ăGiaoăc aăđ
P 2  R  cho đ


i , j 0

ij i

j

 0 . (2)

Giao c a Q và  S  là t p h p  S ' g m các đi m có t a đ th a mãn h
ph

ng trình (1) và (2), t c là
 x2  0
 2

  aij xi xj  0
i , j  0

- N u các aij , i, j  0,1 đ u b ng 0 thì m i đi m thu c Q đ u thu c  S  . V y :
Q   S  hay  S '  Q .

17


- N u các s đó không đ ng th i b ng 0 thì  S ' là m t siêu m t b c hai
nh 1 chi u Q . Nh v y giao đó ho c là m t đi m ho c

trong không gian x
là hai đi m phân bi t.


ng trình

c a  S  có d ng chu n t c
 x02  x12  ...  x2p 1  x2p  ...  x2p  q 1  0

(có p d u  và q d u +), trong đó 1  p  q  3 và q  p  0 .
M i siêu m t b c hai có đúng m t ph

ng trình chu n t c. Siêu m t b c hai

 S  trong tr ng h p đó g i là siêu m t b c hai có ch s  p, q  . Ta có đ nh lý
phân lo i siêu m t b c hai nh sau.
nhălý 1.4.5. Hai siêu m t b c hai  S1  và  S2  trong không gian x
là t

ng đ

ng khi và ch khi ph

ng trình chu n t c c a chúng gi ng nhau.

Nh v y trong P 2  R  ta có 5 lo i đ
1) x02  x12  x22  0 (đ
2)  x02  x12  x22  0 (đ

3) x02  x12  0 (c p đ

nh th c

ng b c hai sau đây:

c g i là liên h p v i đi m Z

đ i v i  S  n u yt Az  0 , trong đó y và z l n l

t là ma tr n c t t a đ c a

đi m Y và đi m Z .
Khi đó ta c ng có zt Ay  0 , nên đi m Z c ng liên h p v i đi m Y đ i v i

 S  . Nh v y ta nói hai đi m

Y và Z liên h p v i nhau đ i v i  S  .

c bi t

đi m Y liên h p v i chính nó đ i v i  S  khi và ch khi Y n m trên  S  .
nhălí 1.5.2. Gi s hai đi m phân bi t Y và Z liên h p v i nhau đ i v i
siêu m t b c hai  S  trong không gian x
- N u đ

ng th ng Y, Z

nh P 2  R  . Khi đó :

c t  S  t i hai đi m phân bi t M , N thì

Y, Z, M, N   1 ,
- N u Y, Z c t  S  t i m t đi m duy nh t thì đi m đó chính là Y ho c Z .
Ch ng minh. Gi s  S  có ph
-N uđ

(M )t A( N )  0 thì c đ

ng th ng MN s n m trên S ) suy ra k1l2  k2l1  0 . V y

Y, Z , M , N    M , N , Y, Z   1 .
-N uđ

ng th ng  Y, Z  c t  S  t i đi m duy nh t X thì

 X   k Y  l  Z  và  X  A X   0 ,
t

và do đó
Yt AY  k 2  2 Yt A Z  kl   Z t A Z  l 2  0 .







Chú ý r ng Y A Z   0 , nên ta đ

c

t

Yt AY  k 2   Z t A Z   l 2  0 .



Y  ( y0 : y1 : y2 ) .

ij i

j

 0 và

i m X  ( x0 : x1 : x2 ) liên h p v i Y đ i v i siêu m t b c hai

 S  khi và ch khi

y Ax  0 , hay
t

2

a

i , j 0
2

2

j 0

i 0

y x j =0 hay


đi m liên h p đ i v i đi m Y đ i v i siêu m t b c hai (S) là m t đ
thì đ

ng th ng đó đ

Y*. Ng

c l i, đi m Y đ

i m Yđ

c g i là đ

ng th ng

ng th ng đ i c c c a đi m Y và kí hi u là

c g i là đi m đ i c c c a đ

ng th ng Y*.

c g i là đi m kì d c a siêu m t b c hai (S) n u Y liên h p v i

m i đi m c a P 2  R  đ i v i (S). Nh v y đi m kì d c a (S) ph i n m trên (S)
vì đi m kì d liên h p v i chính nó. H n n a ch có siêu m t b c hai suy bi n
m i có đi m kì d . Th t v y, t a đ c a đi m kì d là nghi m c a h ph

ng

trình


c g i là ti p đi m.
Bây gi , ta chú ý r ng: N u siêu m t b c hai (S) không suy bi n thì m i

đ
ph

ng th ng b t kì đ u có đi m đ i c c duy nh t. Th t v y, gi s
ng trình xt Ax  0 v i det A 0 . V i đ

21

 S  có

ng th ng U, đi m X là đ i c c


c a nó khi và ch khi (X)tA= (U)t hay A(X)= (U), do đó (X)= A-1(U) đ

c xác

đ nh duy nh t.
nhăngh a 1.5.6 (

ng th ng liên h p). Hai đ

ng th ng U và V đ

cg i


c) Cho hai đ

ng th ng phân bi t U,V liên h p v i nhau qua siêu m t b c hai

không suy bi n (S). N u qua U V có hai đ

ng th ng phân bi t P và Q cùng

ti p xúc v i (S) thì U ,V, P , Q  1 . Th t v y, g i các đi m đ i c c c a các
đ

ng th ng U ,V, P , Q l n l

t là U * ,V* , P * , Q* ta có

U   A U  , V   A V  ,  P   A  P  , Q   A Q  .
1

*

Vì các đ

1

*

1

*


Q   A Q   k A U   l A V   k U   l V  .
*

1

1

2

1

2

*

2

*

2

22

Thang Long University Libraty


V y b n đi m U * ,V* , P * , Q* th ng hàng. Nh ng hai đi m U * ,V* liên h p v i
nhau đ i v i  S  còn P * , Q* là các giao đi m c a U *V * v i  S  nên
U * ,V* , P * , Q*   1 , do đó U ,V, P , Q  1 .



ng th ng a thì ta nói: “đi m A thu c đ

ng th ng a ”, ho c nói: “đ

ng

th ng a thu c đi m A”. Nh v y, t “ thu c” đ ng ngh a v i m t trong các
t

“n m trên”, “đi qua”, “ch a”, “ch a trong”.
V i cách hi u nh v y, ta có th nói r ng: Phép đ i x gi nguyên quan h

liên thu c gi a các ph ng, có ngh a là n u U thu c V thì  U  thu c  V  .
nhă ngh aă 1.6.1ă (M nh đ đ i ng u). Gi s
trong m t ph ng x

M là m t m nh đ nào đó

nh P 2 nói v các ph ng và các quan h liên thu c gi a

chúng. N u trong m nh đ đó các t “0 – ph ng” đ
“1– ph ng” và ng

c l i, các t khác gi

g i là m nh đ đ i ng u.

23


c”, hay phát bi u cách khác : “ Hai đ

ng th ng phân bi t luôn

c t nhau t i m t đi m duy nh t”. C p m nh đ đ i ng u trên đây đ u đúng.

1.7.ăCácăđ nhălýăc ăđi năc aăhìnhăh căx ă nh
nhăngh aă1.7.1ă(Hình sáu đ nh). T p h p g m 6 đi m phân bi t có th t
A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 đ

c g i là m t hình sáu đ nh. Nó đ

c kí hi u là

AA
1 2 A3 A4 A5 A6 . Các đi m Ai g i là các đ nh c a hình sáu đ nh đó. Các đ

ng

th ng AA
1 2 , A2 A3 , A3 A4 , A4 A5 , A5 A6 , A6 A1 g i là các c nh c a hình sáu đ nh. Các
c p đ nh A1 và A4 , A2 và A5 , A3 và A6 g i là các c p đ nh đ i di n. Các c p c nh
A1 A2 và A4 A5 , A2 A3 và A5 A6 , A3 A4 và A6 A1 g i là các c p c nh đ i di n.

nhălýă1.7.2ă( nh lý Pascal). N u m t hình 6 đ nh có 6 đ nh n m trên m t
đ

ng ôvan (còn g i là hình sáu đ nh n i ti p đ

các c nh đ i di n n m trên m t đ

i u đó ch ng t

r ng, có phép ánh x

x

nh f : A3 A4  A2 A3 mà

f  M   A2 , f  A3   A3 , f  A4   N , f  R   Q , h n th , f là phép chi u xuyên tâm

vì A3 là đi m t

ng. Do v y các đ

ng th ng MA2 , A4 N, QR đ ng quy. Nói

cách khác P , Q, R th ng hàng.
Chúăý:ăCácătr

ngăh păđ căbi tăc aăđ nhălýăPascal.

Ta có th đ nh ngh a hình n m đ nh, hình b n đ nh, hình ba đ nh t

ng

t nh đ nh ngh a hình sáu đ nh. Hãy xét m t hình n m đ nh AA
1 2 A3 A4 A5 n i
ti p đ

ng ôvan  S  . Ta xem hình n m đ nh đó nh là m t tr