TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
˜ v ™
Đề tài:

ỨNG DỤNG THUYẾT NHIỄU LOẠN TRONG
HIỆU ỨNG ZEEMANN

Luận văn tốt nghiệp
Ngành: SP Vật Lí – Tin Học K31

LỜI CẢM ƠN!
Ñ*Ð

Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường
Đại Học Cần Thơ, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm, các
thầy cô trong bộ môn Vật Lí, các thầy cô ở các phòng ban
đã tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Xuân Tư
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, đôn đốc và tạo điều kiện
để em hoàn thành luận văn này.
Xin cảm ơn các bạn cùng lớp đã,quan tâm, động
viên, hỗ trợ để tôi có thêm nghị lực hoàn thành luận văn
này.
{|{|{

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
˜-™

………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………


Nguyễn Xuân Tư NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN
˜-™

………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

2.1. Chuyển động của hạt trong trường thế xuyên tâm ………………………………………13
2.1.1. Chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối trong cơ học cổ điển …………13
2.1.2. Sự tách phương trình trị riêng của toán tử Hamiltonian trong cơ học lượng tử……….14
2.1.3. Hamiltonian lượng tử của hạt chuyển động trong trường thế xuyên tâm …………… 16
2.2. Chuyển động của elec tron trong nguyên tử Hidrô ……………………………………16
2.2.1. Chuyển động của elec tron trong nguyên tử Hidrô… ……………………………….16
2.2.2. Năng lượng và hàm sóng của nguyên tử Hidrô ………………………………………17
2.2.3. Kết luận ……………………………………………………………………………… 22
Chương 3. LÍ THUYẾT NHIỄU LOẠN ………………………………………………… 24
3.1. Bài toán nhiễu loạn dừng ……………………………………………………………… 24
3.2. Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến…………………………………………………26
3.2.1. Trong gần đúng bậc 0 (không có nhiễu loạn)………………………………………….27
3.2.2. Trong gần đúng bậc một……………………………………………………………….28
3.2.3. Trong gần đúng bậc hai… …………………………………………………………….29
3.3. Lí thuyết nhiễu loạn dừng có suy biến……………………………………………………31
Chương 4. HIỆU ỨNG ZEEMANN VÀ NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ HIDRO TRONG
TỪ TRƯỜNG……………………………………………………………………………… 35
4.1. Hiệu ứng Zeeman ……………………………………………………………………… 35
4.2. Năng lượng của nguyên tử Hidro trong từ trường ……………………………………36
4.3. Ứng dụng lí thuyết nhiễu loạn để giải bài toán hiệu ứng Zeemann …………………….37
4.3.1. Trị riêng của toán tử năng lượng của nguyên tử Hidro đặt trong từ trường ngoài ……37
4.3.2. Tìm hàm sóng tương ứng với năng lượng bị tách ra khi đặt trong từ trường ngoài … 46
Phần III: KẾT LUẬN CHUNG…………………………………………………………… 49
1. Kết quả đạt được………………………………………………………………………… 49
2. Nhận xét – kiến nghị………………………………………………………………………49
2.1. Nhận xét………………………………………………………………………………….49
2.2. Kiến nghị…………………………………………………………………………………50
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………………….51
¨ 3.2. Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến.
ù 3.2.1. Trong gần đúng bậc 0 (không có nhiễu loạn).
ù 3.2.2. Trong gần đúng bậc một.
ù 3.2.3. Trong gần đúng bậc hai.
¨ 3.3. Lí thuyết nhiễu loạn dừng có suy biến.
Chương 4. Hiệu ứng zeemann và năng lượng nguyên tử Hidro trong từ trường.
¨ 4.1. Hiệu ứng Zeeman.
¨ 4.2. Năng lượng của nguyên tử Hidro trong từ trường.

¨ 4.3. Ứng dụng lí thuyết nhiễu loạn để giải bài toán hiệu ứng Zeemann.
ù 4.3.1. Trị riêng của toán tử năng lượng của nguyên tử Hidro đặt trong từ trường
ngoài.
ù 4.3.2. Tìm hàm sóng tương ứng với năng lượng bị tách ra khi đặt trong từ trường
ngoài.

Phần I:
MỞ ĐẦU
Chương 1. Lí do chọn đề tài
Từ khi đặt nền mống cho khoa học, các nhà Vật Lí học đã đưa ra một hệ thống lý
thuyết dựa trên nền tảng vững chắc của cơ học Newton và lý thuyết điện từ của Maxwell.
Vật Lí học cổ điển cho kết quả phù hợp với thực nghiệm. Nó là hệ thống lý thuyết hoàn
chỉnh và chặt chẽ. Nhưng đến thế kỉ XIX, vật lí học cổ điển không thể giải thích các hiện
tượng vật lí như: bức xạ của vật đen tuyệt đối, sự tách vạch quang phổ của nguyên tử
Hidro trong từ trường ngoài….
Sự ra đời của cơ học lượng tử chính là lý thuyết cơ sở đầu tiên giúp con người tìm
hiểu và chinh phục thế giới vi mô. Ngày nay, một trong những đối tượng nghiên cứu
quan trọng của vật lí hiện đại là thế giới vi mô. Chính vì vậy, môn cơ học lượng tử đã trở
thành một học phần quan trọng không thể thiếu đối với sinh viên chuyên ngành vật lí.
Trong thời gian học môn này có một vấn đề đã thật sự thu hút tôi. Đó là khi đặt
nguyên tử Hidro trong từ trường ngoài thì mức năng lượng của nó bị tách thành nhiều


Phần II:
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương 1.
SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT BIỂU DIỄN
1.1. Biểu diễn các trạng thái lượng tử
1.1.1. Hàm sóng trong biểu diễn tọa độ (“ r – biểu diễn”)
Để biểu diễn trạng thái của hệ lượng tử, người ta sử dụng hàm ),( tr
a
r
Y .
Trong đó chỉ số a xác định trạng thái của hệ lượng tử ( trạng thái a). Dó đó, chỉ số a
được gọi là chỉ số trạng thái.
Việc mô tả trạng thái nhờ hàm sóng phụ thuộc tọa độ được gọi là hàm sóng trong
biểu diễn tọa độ hay “ r – biểu diễn”. Bình phương mođun hàm sóng trong biểu diễn tọa
độ bằng mật độ xác xuất tìm thấy hạt ở tọa độ đang xét. Đầu tiên ta nghiên cứu trạng thái
ở một thời điểm nhất định nên trong biểu diễn hàm sóng ta không cần viết phần phụ
thuộc vào thời gian mà chỉ cần viết phần phụ thuộc tọa độ )(r
a
r
Y mà thôi.
Nếu toán tử
L
ˆ
biểu diễn biến số động lực L thì các hàm riêng của nó lập thành một
hệ đầy đủ:
å
=Y
n
nna

Như vậy, để mô tả trạng thái của hệ lượng tử ta có thể mô tả bằng hàm sóng trong
biểu diễn tọa dộ hay trong các biểu diễn khác.
Sau đây ta sẽ xét hàm sóng trong biểu diễn xung lượng và biểu diễn năng lượng.

1.1.2. Hàm sóng trong biểu diễn năng lượng (“E – biểu diễn”)
Để đơn giản, ta xét trạng thái của hạt chuyển động trong từ trường ngoài, năng
lượng của hạt là âm và do đó giá trị của năng lượng là gián đoạn.
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 2

Nếu
n
E : là trị riêng của toán tử năng lượng.
)(rU
n
r
: là hàm riêng tương ứng trị riêng
n
E .
Thì theo tính chất của hệ hàm riêng ta có:
å
=Y
n
nna
rUCr )()(
r
r

m
r
rồi lấy tích phân hai vế ta được:
òò
å
=Y )()()()()()()(
**
rdrUrUErdrrU
nm
n
naam
r
r
r
r
r
r
j
(1.2)

ò
å
=Y
n
mnnaam
ErdrrU
dj
)()()()(
*
r

*
=
ò
rdrr
aa
r
r
r
yy
(1.4)

)()()(
***
rUEr
mm
m
aa
r
r
å
=Þ
jyLuận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 3

Mà:
å
=Y

EE
EE
1()(
1)()(
)
*
*
jj
djj

å
=Û
m
ma
E 1)(
2
j
(1.5)
Biểu thức (1.5) chính là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng trong “E – biểu diễn”.

1.1.3. Hàm sóng trong biểu diễn xung lượng
Trị riêng của toán tử xung lượng có phổ liên tục nên hàm riêng ứng với trị riêng
P
r

của toán tử
P
ˆ
r
trong “ r – biểu diễn” được viết tắt là: )(r

r
r
r
r
r
ò
Y=Y )()()(
j

Và từ công thức hệ số tích phân ta có công thức chuyển trạng thái từ “r – biểu
diễn” sang “P – biểu diễn” như sau:
ò
YY= )()()()(
*
rdrrp
a
P
a
r
r
r
r
r
j

Với:
),(
2
3
2

b
r
Y (trạng thái b) như sau:
)()(
ˆ
rr
ba
r
r
Y=YA (1.6)
Xét phương trình (1.6) trong “ L – biểu diễn”.

Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 4

Phân tích )(r
a
r
Y và )(r
b
r
Y theo hàm riêng )(rU
n
r
của toán tử
L
ˆ
.
å
å

r
r
jj
(1.7)
Nhân hai vế phương trình (1.7) với )(
*
rU
m
r
và lấy tích phân theo
r
r
ta được:
[
]
)()()()()()()(
ˆ
)(
**
rdrUrULLrdrUrU
nmn
n n
bnanm
r
r
r
r
r
r
å

LL )()(
jdjå
=AÛ
n
mbnamn
LL )()(
jj
(1.8)
Phương trình (1.8) mô tả tác dụng của toán tử
A
ˆ
trong “ L – biểu diễn”.
Nếu ta kí hiệu:
)(
nan
La
j
= ; )(
mbm
Lb
j
=
(1.8)
å
=AÛ
n
mnmn

)(

)2(
)1(
332211
22323222121
11313212111
kmbaaaa
mbaaaa
mbaaaa
kkkkkkk
kk
kk
(1.9)
Các hệ số
mn
A đặc trưng cho toán tử
A
ˆ
, được gọi là phần tử ma trận
A
ˆ
trong “L –
biểu diễn”. Như vậy, toán tử
A
ˆ
được biểu diễn bằng một ma trận vuông có số hàng bằng
số cột, bằng số hàm riêng hoặc trị riêng k của toán tử
L
ˆ

trong “L – biểu diễn” được biểu diễn dưới dạng ma
trận k hàng, một cột.
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
==
k
nan
a
a
a
La

))(()(
2
1
j

ú
ú
ú

)()(
ˆ
mbna
LL
jj
=A (1.10)
Với )(),(,
ˆ
mbna
LL
jj
A là các ma trận.
Bây giờ ta xét toán tử
A
ˆ
trong biểu diễn của chính nó.
Lúc này )(rU
n
r
là hệ hàm riêng của toán tử
A
ˆ
. Ta sẽ có:
)()()(
)()(
ˆ
)(
*
*
rdrUrU

k
A
A
A
=A=A
00

0 0
0 0
)(
ˆ
2
1

Sau đây ta nghiên cứu toán tử năng lượng trong biểu diễn của chính nó.

1.2.1. Toán tử năng lượng trong biểu diễn năng lượng
Lập luận tương tự như trên ta có:

Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 6

ò
H=H )()(
ˆ
)(
*
rdrUrU
nmmn
r

năng lượng. Thật vậy:
Tương tự như (1.10) phương trình biến đổi hàm sóng cho ta:
)()(
ˆ
EE
ba
jj
=H (1.11)
Mặt khác, theo (1.8) ta có:

å
=H
n
mbnamn
EE )()(
jj
(1.12)
Trong
å
H
n
namn
E )(
j
tất cả các số hạng đều bằng 0 trừ số hạng có m=n.
(1.12)
)()(
)()()(
mbmam
mammammb

Phương trình biến đổi hàm sóng của toán tử xung lượng trong biểu diễn xung lượng
là:
)()(
ˆ
pp
ba
r
r
r
jj
=R
Mặt khác, mối liên hệ các hàm sóng trong biểu diễn xung lượng cho ta:
ò
¢
R=
¢
P
a
PP
b
pdpp
r
rr
r
r
r
)()(
jj

Trong đó:


ũ
Â
R
Â
=
Â
-R=
Â
ị
P
aab
ppdpppp
r
r
r
r
r
r
r
r
r
)()()()(
jdjj

Hay )()( pp
ab
r
r
r

jj
= (1.14)
Mi liờn h hm súng cho ta:
ũ
Â
C=
Â
X
xx
P
xxaPPxb
dppp )()(
jj

Vi
ũ
YY=C
ÂÂ
dxxxx
x
xxx
P
PPP
)(

)(
*Trong biu din ta :

ả
-=Y
h
h
h
xiP
x
P
X
X
e
p
ixx
p
2
1
)(

)(x
p
i
X
P
x
Y
ả
ả
-= h
ũ ũ
YY

x
PPP
dxxx
p
idxx
p
ix
X
X
X
XXX
hhLuận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 8

)(
¢
-
¶
¶
-=
xx
x
pp
p
i
d
h

ppdpi )()(
'
dj
h

ò
-
¶
¶
=
xxx
x
xa
Pxxxaxb
dppp
p
p
ipppip
X
)(
)(
)()()()(
'''
d
j
djj
hh
Chú ý rằng tích phân lấy theo p
x
và trong miền biến thiên của p

¶
= h
So sánh với (1.14) ta được:
x
p
ix
¶
¶
= h
ˆ

Tương tự các toán tử tọa độ khác ta có:
z
y
x
p
iz
p
iy
p
ix
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
=

)(
*
)()(
ˆ
)(
r
aa
rdrLrL
r
r
r
r
(1.15)
Trong “M – biểu diễn” )(r
a
r
Y có thể viết dưới dạng:

Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 9

å
=Y
m
mma
rUCr )()(
r
r

Thay vào (1.15) ta được:

***
)()(
ˆ
r
r
(1.16)
Vậy (1.16) có thể viết dưới dạng ma trận:
))()((
*
aa
LL
jj
=
Trong đó (L), )(
*
a
j
, )(
a
j
là những ma trận biểu diễn toán tử và các hàm sóng trong
“M – biểu diễn”. Chúng có dạng:
kkkk
k
k
LLL
LLL
LLL
L


))(()(
)()(
ˆ
)(
2
1
)(
*
ka
a
a
aa
r
jiij
M
M
M
M
rdrULrUL
j
j
j
jj
r
r
r
r

Và ))( )()(())(()(
*

n
r
là phần phụ thuộc vào tọa độ.
Sự phụ thuộc vào thời gian thể hiện )(tC
n
, phương trình Schrodinger có dạng: Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 10

),(),(
ˆ
tr
t
itr
n
r
h
r
Y
¶
¶
=YH
Thay vào (1.17) ta có:
å
¶
¶
=YH
n

r
r
r
h
r
r

å
¶
¶
=H
n
mnmn
tC
t
itC )()( h
Với m=1,2…
Hay
å
=H
n
mnmn
tC
dt
d
itC )()( h (1.18)
(vì C
m
chỉ phụ thuộc thời gian)
Nếu U
h
tiE
mm
m
eCtC
-
=Û ).0()( (1.19)
Vậy ở trạng thái dừng hàm sóng phụ thuộc thời gian có dạng (1.19)
Bây giờ ta sẽ tìm phương trình Heisenberg viết dưới dạng ma trận.
Lấy đạo hàm của )(L theo công thức (1.16) theo thời gian:
åå åå åå
++
¶
¶
=
n m n m n m
m
nmnmnm
n
m
nm
n
dt
dC
LCCL
dt
dC
C


Vì
H
ˆ
là toàn tử liên hợp, nên
ln
*
H=H
nl

Nên: Lun vn tt nghip Ngnh SP Vt Lớ Tin Hc K31
SVTH: Vừ Th Bộ Tho 11

ồ
-=H
l
n
l
dt
dC
iC
*
*
ln
h
Thay cỏc giỏ tr vo (1.20):
S hng 2:


Hoỏn v 2 ch s l v n trong s hng th 2, ta c:
ồồ ồồồ
H-=
n m n m l
mlmnllmnm
n
CLC
i
CL
dt
dC
*
*
1
h

Hoỏn v 2 ch s l v m trong s hng th 3, ta c:
ồồ ồồồ
H=
n m n m l
mnllmn
m
nmn
CLC
idt
dC
LC
**
1

ồồ ồ
ỵ
ý
ỹ
ợ
ớ
ỡ
H-H+
ả
ả
=
n m
m
l
lmnllmnl
nm
n
CLL
it
L
C
dt
Ld
)(
1
*
hm

YY=
dt
Ld
dt
Ld
*

Vy ta cú phng trỡnh ma trn:
nm
nm
LL
idt
dL
dt
Ld
ỵ
ý
ỹ
ợ
ớ
ỡ
H-H+=
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ

ổ
h
(1.21b)
(1.21a) v (1.21b) chớnh l phng trỡnh Heisenberg vit di dng ma trn.
Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lí – Tin Học K31
SVTH: Võ Thị Bé Thảo 12

Lý thuyết biểu diễn mà chúng ta vừa sơ lược ở phần trên là một trong những phần
quan trọng của cơ học lượng tử. Nó là nền tảng để nghiên cứu những lý thuyết khác, một
trong số đó là lý thuyết nhiễu loạn. Ta sẽ nghiên cứu một phần lý thuyết đó ở phần sau.
giao hoán với nhau trong trường thế xuyên tâm, nên bài toán
thế xuyên tâm trở thành bài toán tìm các trạng thái riêng đồng thời của cả Hamiltonian và
các toán tử momen xung lượng quỹ đạo.
Rất nhiều bài toán xuyên tâm lượng tử trong thực tế cũng là các bài toán hệ hai hạt.
Nhưng ta mới chỉ biết cách giải chính xác phương trình Schrodinger đối với hệ một hạt.
Do vậy, ta phải tìm cách biến đổi bài toán hai hạt về bài toán một hạt.
2.1.1. Chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối trong cơ học cổ
điển
Hamiltonian đối với chuyển động ba chiều trong trường thế xuyên tâm hai hạt có
dạng:
( )
21
2
2
2
1
2
1
22
rrV
mm
r
r
r
r
-+
R
+
R
=H

,m
2
) được nghiên cứu bởi chuyển động của khối
tâm có khối lượng bằng khối lượng toàn phần của hệ M=(m
1
+m
2
) và chuyển động tương
đối của hạt có khối lượng
0
e
bằng khối lượng rút gọn của hệ:
21
21
0
.
mm
mm
+
=
e

Trong thế xuyên tâm:
(
)
21
)( rrVrV
r
r
-=

r

Do đó xung lượng toàn phần của hệ
G
R
r
được xác định bởi:
212211
R+R=+==R
r
r
r
r
r
r
rmrmrM
GG
(2.3)
Và xung lượng tương đối
R
r
của hai hạt:
21
2112
.
mm
pmpm
r
+
-

rV
M
G
r
r
r
+
R
+
R
=H
e
m
(2.5)
Đó là Hamiltonian của hai hạt chuyển động độc lập.
2.1.2. Sự tách phương trình trị riêng của toán tử Hamiltonian trong cơ học
lượng tử
Trong cơ học lượng tử, chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối của hệ
hai hạt được xác định bởi toán tử tọa độ khối tâm
G
R
ˆ
r
và toán tử tọa độ tương đối
R
ˆ
r
có
dạng tương ứng (2.1) và (2.2):
21

2
ˆ
R
r
,
2
ˆ
r
r
mô tả vị trí và xung lượng của hệ hai hạt thỏa mãn
các hệ thức giao hoán:
[
]
h
i
x
=RC
11
ˆ
,
ˆ
;
[
]
h
i
x
=RC
22
ˆ

r
và xung lượng tương đối
R
r
có dạng tương tự
(2.3) , (2.4):
21
2112
21
.
mm
pmpm
G
+
-
=R
R+R=R
rr
r
r
r
r
(2.6)
Từ (2.6) toán tử Hamiltonian có dạng:
( )
rV
P
M
P
G

ˆ
2
r
=H ;
(
)
rV
p
r
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
r
r
+=H
m

Dễ thấy
[
]
0
ˆ
,
ˆ
=HH
rG
, do đó
G

Y=YH được tách thành hai phương trình trị
riêng của
G
H
ˆ
và
r
H
ˆ
.
)()(
ˆ
)()(
ˆ
rEr
rEr
rr
GG
rr
r
r
Y=YH
Y=YH
(2.9)
Từ đó suy ra năng lượng của hệ hai hạt nói trên bằng tổng năng lượng của chuyển
động khối tâm và năng lượng của chuyển động tương đối:
rG
EEE += (2.10)