DÙNG PP TOẠ ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN –LTTN và ĐH(08-09)
Nội dung lý thuyết:
A. Cơ sở lý thuyết:
1.Hệ tọa độ vuông góc trong không gian
Là hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc tại gốc chung O.
i, j,k
r r r
là các vectơ
đơn vị trên Ox, Oy, Oz.
2 2 2
i j k 1= = =
r r r
và
i.j j.k k.i 0= = =
rr r r r r
.
2. Tọa độ của vectơ và của điểm
+ Trong hệ tọa độ Oxyz mỗi vectơ
a
r
được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
a xi y j zk= + +
r r r r
, bộ ba số thực (x;y;z) được gọi là tọa độ của vectơ
a
r
. Kí hiệu
a (x;y;z)=
r
hoặc
a(x;y;z)

AB x x ;y y ;z z
3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ
1 1 1
a (x ;y ;z )=
r
,
2 2 2
b (x ;y ;z )=
r
.
+
1 2
1 2
1 2
x x
a b y y
z z
ì
=
ï
ï
ï
ï
= Û =
í
ï
ï
=
ï

và
b
r
cùng phương
kÛ $ Î ¡
sao cho
b ka=
r r

hay
2 1
2 1
2 1
x kx
k : y ky
z kz
ì
=
ï
ï
ï
ï
$ Î =
í
ï
ï
=
ï
ï
î

1 k
ỡ
-
ù
ù
=
ù
ù
-
ù
ù
ù
-
-
ù
" = = ạ
ớ
ù
- -
ù
ù
ù
-
ù
=
ù
ù
-
ù
ợ

a.b x x y y z z= + +
r r
+
2 2 2
1 1 1
a x y z= + +
r
+
1 2 1 2 1 2
a b a.b 0 x x y y z z 0^ = + + =
r r r r
+
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
x x y y z z
a.b
cos(a, b)
a b
x y z . x y z
+ +
= =
+ + + +
r r
r r
r r
7. Tớch cú hng ca hai vect
+ Cho hai vect
1 1 1
a (x ;y ;z )=

b
r
cựng phng
a,b 0
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
r r r
+
a a,b ,b a,b
ộ ự ộ ự
^ ^
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
r r r r r r
+
a,b a b sin(a, b)
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
r r r r r r
* ng dng ca tớch cú hng:
+ Din tớch tam giỏc ABC l:
ABC
1
S AB,AC
2
D

=

uuur uuur uuur
+ Khong cỏch gia hai on thng AB v CD l :
, .
d(AB,CD)=
,
AB CD AC
AB CD

uuur uuur uuur
uuur uuur
GV: o Tn ip 2
DÙNG PP TOẠ ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN –LTTN và ĐH(08-09)
+ Cho
a
r
và
b
r
không cùng phương, ba vectơ
a,b,c
r r r
không đồng phẳng khi và chỉ khi tồn
tại các số k và l sao cho
c ka lb a,b .c 0
é ù

),
n (A; B;C)=
r
là vectơ pháp tuyến.
b) Mặt phẳng đi qua
( )
0 0 0
M x ;y ;z
và nhận vectơ
n (A; B;C)=
r
làm vectơ pháp
tuyến có phương trình:
0 0 0
A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0- + - + - =

c) Phương trình theo đoạn chắn (mặt phẳng đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)):
x y z
1
a b c
+ + =
d) Vị trí của hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng
( )
Ax By Cz D 0a + + + =
và
( )
A'x B'y C'z D' 0b + + + =
+
( ) ( )

+ + + =
ï
ï
í
ï
+ + + =
ï
î
(với
A : B : C A ' : B' : C'¹
và
2 2 2 2 2 2
A B C 0,A ' B' C' 0+ + ¹ + + ¹
).
b) Phương trình tham số của đường thẳng d:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
ì
= +
ï
ï
ï
ï
= +
í
ï

và
GV: Đào Tấn Điệp 3
DÙNG PP TOẠ ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN –LTTN và ĐH(08-09)
đường thẳng
'D
đi qua điểm
0 0 0 0
M' (x ' ;y ' ;z' )
,có vectơ chỉ phương
u' (a'; b';c')=
r

+
D
và
'D
cùng nằm trong một mặt phẳng
0 0
u,u' .M M' 0
é ù
Û =
ê ú
ë û
r ur uuuuuur
.
+
D
và
'D
cắt nhau

và
'D
chéo nhau
0 0
u,u' .M M' 0
é ù
Û ¹
ê ú
ë û
r ur uuuuuur
e) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho mp
( )a
:
Ax By Cz D 0+ + + =
; và đường thẳng
D
:
0 0 0
x x y y z z
a b c
- - -
= =
+
D
cắt
( ) Aa Bb Cc 0a Û + + ¹
.
+
0 0 0

+Cho hai đường thẳng
0 0 0
x x y y z z
d :
a b c
- - -
= =
và
0 0 0
x x' y y' z z'
d' :
a' b' c'
- - -
= =
.
Cho hai mặt phẳng
( ) Ax By Cz D 0a + + + =
và
( ) A'x B'y C'z D' 0b + + + =
.
Gọi các điểm
0 0 0 0
M (x ;y ;z )
,
0 0 0 0
M' (x ' ;y ' ;z' )
và
1 1 1 1
M (x ;y ;z )
.

d(M ;d)
u
é ù
ê ú
ë û
=
uuuuuur r
r
.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’:
0 0
u,u' .M M'
d(d ',d ')
u,u'
é ù
ê ú
ë û
=
é ù
ê ú
ë û
r ur uuuuuur
r ur
.
d) Góc
j
giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’ cho bởi công thức:

2 2 2 2 2 2
u.u'

( )a
và
( )b
cho bởi công thức:

2 2 2 2 2 2
AA' BB' CC'
cos
A B C . A' B' C'
+ +
j =
+ + + +
.
11. Phương trình Mặt cầu:
a) Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R có phương trình là:
( x- a )
2
+ ( y - b )
2
+ ( z - c )
2
= R
2
b) Phương trình : x
2
+y
2
+z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0 ,a

+++
==
α

+ Nếu IH < R thì (α) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn ( C)có tâm H ,có
bán r =
22
IHR
−
Phương trình của đường tròn (C) :



=+++
=−+−+−
0
)()()(
2222
DCzByAx
Rczbyax
+ Nếu IH = R thì (α) tiếp xúc với (S) tại H .(α) gọi là mặt tiếp diện của mc(S)
+ Nếu IH > R thì (α) và (S) không có điểm chung
B. Bài tập
1. Nhận dạng các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp toạ độ:
Các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp toạ độ thường là các
bài toán có chứa tam diện vuông hoặc các bài toán dạng chóp đều , chẳng hạn : Hình lập
phương, hình hộp chữ nhật, tứ diện vuông, hình chóp đều, và một số bài toán khác mà
việc chọn hệ trục toạ độ có nhiều thuận lợi.
2. Quy trình giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ:
- Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý vị trí của gốc toạ độ, và các