SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
THANH HÓA

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG NĂM HỌC 2017- 2018
Môn: TOÁN
Ngày khảo sát: 14/4/2018
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát ñề.
ðề có 6 trang, gồm 50 câu trắc nghiệm.
Mã ñề: 101

Họ, tên thí sinh:....................................................................................................................
Số báo danh:..........................................................................................................................
Câu 1: Hình bát diện ñều (tham khảo hình vẽ bên) có bao
nhiêu mặt?
A. 8.
B. 9.
C. 6.
D. 4.

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho hai véc tơ a = (1; −2;0 ) và b = ( −2;3;1) . Khẳng
ñịnh nào sau ñây là sai?
A. a.b = −8 .

B. 2a = ( 2; −4;0 ) .

C. a + b = ( −1;1; −1) .

D. b = 14 .

x

2
b

(

)

2

a
C. ln   = ln(a 2 ) − ln(b 2 ).
b

D. ln(ab) 2 = ln(a 2 ) + ln(b 2 ).

Câu 6: Số ñường tiệm cận (ñứng và ngang) của ñồ thị hàm số y =
A. 0.

B. 2 .
4n + 2018
Câu 7: Tính giới hạn lim
.
2n + 1
1
A. .
B. 4.
2

C. 3 .


x +1
x +1

2

x
-3

-2

-1

O

1

2

-2

-4

-6

Câu 9: Cho A và B là hai biến cố xung khắc. Mệnh ñề nào sau ñây ñúng?
A. P ( A) + P ( B ) = 1.
B. Hai biến cố A và B không ñồng thời xảy ra .
C. Hai biến cố A và B ñồng thời xảy ra.
D. P ( A) + P ( B ) < 1.
Câu 10: Mệnh ñề nào sau ñây là sai?

Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b] . Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi ñường cong

y = f ( x ) , trục hoành và các ñường thẳng x = a, x = b ( a < b ) ñược xác ñịnh bởi công thức nào sau ñây?
a

A. S = ∫ f ( x ) dx.
b

b

B. S =

∫ f ( x ) dx .

b

C. S = ∫ f ( x ) dx.

a

b

D. S = ∫ f ( x ) dx.

a

a

Câu 14: Mặt phẳng chứa trục của một hình nón cắt hình nón theo thiết diện là
A. một hình chữ nhật. B. một tam giác cân.

là hàm số chẵn.
x +1
(II) Hàm số f ( x ) = 3 sin x + 4 cos x có giá trị lớn nhất bằng 5.
(III) Hàm số f ( x) = tan x tuần hoàn với chu kì 2π .
(IV) Hàm số f ( x ) = cos x ñồng biến trên khoảng (0; π ).
Trong các mệnh ñề trên có bao nhiêu mệnh ñề ñúng?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
mx + 16
Câu 18: Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số y =
ñồng biến trên khoảng (0;10).
x+m
A. m ∈ ( −∞;−10] ∪ ( 4;+∞ ).
B. m ∈ ( −∞;−4) ∪ ( 4;+∞ ).
C. m ∈ (−∞;−10] ∪ [4;+∞).
D. m ∈ (−∞;−4] ∪ [ 4;+∞).
A.

Trang 2/6 - Mã ñề thi 101


Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñiểm I (1;0; −2 ) và mặt phẳng ( P ) có phương
trình: x + 2 y − 2 z + 4 = 0 . Phương trình mặt cầu ( S ) tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là
A. ( x − 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 9.

B. ( x − 1) + y 2 + ( z + 2 ) = 3.

C. ( x + 1) + y 2 + ( z − 2 ) = 3.

A
D. Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S và song song với ñường thẳng BD.
B

D

C

1 − 2x
> 0 là
x
3

Câu 22: Tập nghiệm của bất phương trình log 1

1
1

 1
1 1

A. S =  ; +∞  .
B. S =  0;  .
C. S =  ;  .
D. S =  −∞;  .
3
3

 3
3 2


A'
B'

C'

A
B

D
O
C

Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho hai ñiểm A (1;3; −1) , B ( 3; −1;5) . Tìm tọa ñộ
ñiểm M thỏa mãn hệ thức MA = 3MB .
 5 13 
7 1 
A. M  ; ;1 .
B. M ( 0;5; −4 ) .
C. M  ; ;3  .
D. M ( 4; −3;8) .
3 3 
3 3 
Câu 26: Giải bóng ñá V-LEAGUE 2018 có tất cả 14 ñội bóng tham gia, các ñội bóng thi ñấu vòng tròn 2
lượt (tức là hai ñội A và B bất kỳ thi ñấu với nhau hai trận, một trận trên sân của ñội A, trận còn lại trên
sân của ñội B). Hỏi giải ñấu có tất cả bao nhiêu trận ñấu?
A. 182.
B. 91.
C. 196.
D. 140.

, trong ñó m0 là khối lượng ban ñầu của chất phóng xạ (tại thời ñiểm t = 0 ), m(t )
m(t ) = m0 e − λt , λ =
T
là khối lượng chất phóng xạ tại thời ñiểm t , T là chu kỳ bán rã (tức là khoảng thời gian ñể một nửa khối
lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Khi phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, các
nhà khoa học thấy rằng khối lượng cacbon phóng xạ 146C trong mẫu gỗ ñó ñã mất 45% so với lượng 146C
ban ñầu của nó. Hỏi công trình kiến trúc ñó có niên ñại khoảng bao nhiêu năm? Cho biết chu kỳ bán rã
của 146C là khoảng 5730 năm.
A. 5157 (năm).
B. 3561 (năm).
C. 6601 (năm).
D. 4942 (năm).
Câu 31: Một tấm ñề can hình chữ nhật ñược cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có ñường
kính 50 cm. Người ta trải ra 250 vòng ñể cắt chữ và in tranh cổ ñộng, phần còn lại là một khối trụ có
ñường kính 45 cm. Hỏi phần ñã trải ra dài bao nhiêu mét (làm tròn ñến hàng ñơn vị)?
A. 373 (m).
B. 187 (m).
C. 384 (m).
D. 192 (m).
Câu 32: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho các mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) , ( S3 ) có bán kính r = 1 và

lần lượt có tâm là các ñiểm A(0;3; −1), B ( −2;1; −1), C (4; −1; −1) . Gọi ( S ) là mặt cầu tiếp xúc với cả ba
mặt cầu trên. Mặt cầu ( S ) có bán kính nhỏ nhất là

A. R = 2 2 − 1.
B. R = 10.
C. R = 2 2.
D. R = 10 − 1.
Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñiểm A ( 2; −1; −2 ) và ñường thẳng ( d ) có
x −1 y −1 z −1

nghiệm thuộc khoảng  0;  ?
 6
A. 3.
B. 0.
C. 2.
D. 1.
phương trình:

π

Câu 36: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn
1

phân I = ∫
1
8

2

(

)

∫ cot x. f sin x dx =

π

2

16

người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển ñộng chậm dần ñều với gia tốc
a = −12 (m/s2). Tính quãng ñường s (m) ñi ñược của ô tô từ lúc bắt ñầu chuyển bánh cho ñến khi dừng
hẳn.
A. s = 168 (m).
B. s = 166 (m).
C. s = 144 (m).
D. s = 152 (m).
Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ 0;10] ñể tập nghiệm của bất phương trình

A. I = 3.

(

)

log 22 x + 3log 1 x 2 − 7 < m log 4 x 2 − 7 chứa khoảng ( 256; +∞ ) ?
2

A. 7.

B. 10.

C. 8.

D. 9.
Trang 4/6 - Mã ñề thi 101


Câu 39: Cho hàm số y = f ( x ) . ðồ thị của hàm số



B. T = f ( 5) + f ( −2 ) .

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

-2

C. T = f ( 5) + f ( 6 ) .

D. T = f ( 0 ) + f ( 2 ) .
Câu 40: Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có thể tích bằng 9a 3
và M là một ñiểm nằm trên cạnh CC ' sao cho MC = 2MC ' .
Tính thể tích của khối tứ diện AB ' CM theo a .
A. 2a 3 .

A. P =

1 1
+ .
2b c

2

2

1
1
1
+
+
.
f ′ ( x1 ) f ′ ( x2 ) f ′ ( x3 )

B. P = 0.

C. P = b + c + d .

D. P = 3 + 2b + c .

Câu 43: Cho hàm số f ( x ) = ( 3 x 2 − 2 x − 1) . Tính ñạo hàm cấp 6 của hàm số tại ñiểm x = 0.
9

A. f ( 6) (0) = −60480.

B. f ( 6) (0) = −34560.

3

1 1
+ − c.
a b

D. T = −4.
B

B. x =

A

D

C

Trang 5/6 - Mã ñề thi 101


Câu 46: Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có
một mảnh vườn hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc một
cây cầu từ bờ AB của ao ñến vườn. Tính gần ñúng ñộ dài tối
thiểu l của cây cầu biết:
- Hai bờ AE và BC nằm trên hai ñường thẳng vuông góc với
nhau, hai ñường thẳng này cắt nhau tại ñiểm O;
- Bờ AB là một phần của một parabol có ñỉnh là ñiểm A và có
trục ñối xứng là ñường thẳng OA ;
- ðộ dài ñoạn OA và OB lần lượt là 40m và 20m;
- Tâm I của mảnh vườn cách ñường thẳng AE và BC lần


Câu 47: Cho z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn ñiều kiện z − 5 − 3i = 5 , ñồng thời z1 − z 2 = 8 .
Tập hợp các ñiểm biểu diễn của số phức w = z1 + z2 trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy là ñường tròn có
phương trình nào dưới ñây?
2

2

5 
3
9

A.  x −  +  y −  = .
2 
2
4


B. ( x − 10) 2 + ( y − 6) 2 = 36.
2

2

5 
3

C. ( x − 10) + ( y − 6) = 16.
D.  x −  +  y −  = 9.
2 
2

C

5
2+ 3
13
.
.
C. T =
D. T = .
4
4
9
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz , cho bốn ñiểm A ( 7; 2;3) , B (1; 4;3) , C (1; 2;6 ) , D (1; 2;3)

A. T = 2 .

B. T =

và ñiểm M tùy ý. Tính ñộ dài ñoạn OM khi biểu thức P = MA + MB + MC + 3MD ñạt giá trị nhỏ nhất.
3 21
B. OM = 26.
C. OM = 14.
.
4
Câu 50: Cho tứ diện ABCD có AB = 3a , AC = a 15 ,

A. OM =

D. OM =


.
2
----------- HẾT ----------

C.

D. 2a.

Trang 6/6 - Mã ñề thi 101


SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
THANH HÓA

Mã ñề 101
Câu 1
A
Câu 2
C
Câu 3
C
Câu 4
A
Câu 5
B
Câu 6
B
Câu 7
C
Câu 8

C
Câu 24
C
Câu 25
D
Câu 26
A
Câu 27
A
Câu 28
D
Câu 29
C
Câu 30
D
Câu 31
A
Câu 32
D
Câu 33
D
Câu 34
D
Câu 35
D
Câu 36
D
Câu 37
A
Câu 38

A
Câu 2
C
Câu 3
B
Câu 4
B
Câu 5
D
Câu 6
D
Câu 7
A
Câu 8
A
Câu 9
A
Câu 10
C
Câu 11
A
Câu 12
C
Câu 13
A
Câu 14
A
Câu 15
B
Câu 16

C
Câu 32
C
Câu 33
D
Câu 34
B
Câu 35
B
Câu 36
D
Câu 37
C
Câu 38
C
Câu 39
C
Câu 40
D
Câu 41
B
Câu 42
B
Câu 43
C
Câu 44
D
Câu 45
D
Câu 46

Câu 10
D
Câu 11
B
Câu 12
A
Câu 13
B
Câu 14
B
Câu 15
C
Câu 16
C
Câu 17
A
Câu 18
D
Câu 19
B
Câu 20
B
Câu 21
D
Câu 22
A
Câu 23
D
Câu 24
C

Câu 40
B
Câu 41
A
Câu 42
B
Câu 43
D
Câu 44
D
Câu 45
B
Câu 46
A
Câu 47
C
Câu 48
C
Câu 49
C
Câu 50
D

Mã ñề 104
Câu 1
B
Câu 2
D
Câu 3
C

Câu 19
C
Câu 20
C
Câu 21
D
Câu 22
C
Câu 23
D
Câu 24
D
Câu 25
D
Câu 26
C
Câu 27
A
Câu 28
A
Câu 29
C
Câu 30
A
Câu 31
A
Câu 32
D
Câu 33
B

Câu 49
B
Câu 50
C


SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO THANH HÓA
HƯỚNG DẪN GIẢI ðỀ KHẢO SÁT MÔN TOÁN KHỐI 12
NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1. Cho A và B là hai biến cố xung khắc. Mệnh ñề nào sau ñây ñúng?
A. Hai biến cố A và B không ñồng thời xảy ra .
B. Hai biến cố A và B ñồng thời xảy ra.
C. P ( A) + P ( B ) = 1.
D. P ( A) + P ( B ) < 1.
Lời giải. Mệnh ñề ñúng là “Hai biến cố A và B không ñồng thời xảy ra”
4n + 2018
Câu 2. Tính giới hạn lim
.
2n + 1
1
A. 4.
B. 2.
C. 2018.
D. .
2
2018
4+
4n + 2018
n = 4 + 0 = 2.
Lời giải. lim


D. 3 .

C. 2 .

1
1
= lim− 2 = +∞ nên ñồ thị hàm số nhận ñường thẳng x = 0 làm tiệm cận ñứng
2
x →0 x
x

1
= 0 nên ñồ thị hàm số nhận ñường thẳng y = 0 làm tiệm cận ngang
x2
Vậy ñồ thị hàm số ñã cho có hai tiệm cận.
Lại có lim

x →±∞

y

ðồ thị hình bên là ñồ thị của hàm số nào dưới ñây?
3 − 2x
1 − 2x
A. y =
B. y =
.
.
x +1

-2

C. y =

-4

-6

x

x
 5
π 
Câu 6. Cho các hàm số y = log 2018 x , y =   , y = log 1 x , y = 
 . Trong các hàm số trên có bao nhiêu
e
3
 3 
hàm số nghịch biến trên tập xác ñịnh của hàm số ñó?
A. 4.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

 5
Lời giải. Có hai hàm nghịch biến là y = log 1 x và y = 

3
 3 
1


ab =

)

1
( ln a + ln b ) sai vì a < b < 0.
2

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b] . Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi ñường cong

y = f ( x ) , trục hoành và các ñường thẳng x = a, x = b ( a < b ) ñược xác ñịnh bởi công thức nào sau ñây?
b

A. S = ∫ f ( x ) dx.

a

b

B. S =

a

C. S = ∫ f ( x ) dx.

∫ f ( x ) dx .

b



F ( x ) = G ( x ) + C.

Câu 10. Tính môñun của số phức z = 3 + 4i.
A. 7.
B. 5.

C. 3.

D.

7.

Lời giải. z = 32 + 4 2 = 5.
Câu 11. Hình bát diện ñều (tham khảo hình vẽ bên) có bao
nhiêu mặt?
A. 9.
B. 8.
C. 6.
D. 4.
Lời giải. Hình bát diện ñều có 8 mặt.

Câu 12. Mặt phẳng chứa trục của một hình nón cắt hình nón theo thiết diện là
A. một tam giác cân.
B. một ñường tròn.
C. một hình chữ nhật.
D. một ñường elip.
Lời giải. Mặt phẳng chứa trục của một hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác cân.
Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : z − 2 x + 3 = 0 . Một véc tơ pháp tuyến
của ( P ) là

(III) Hàm số f ( x ) = tan x tuần hoàn với chu kì 2π .
(IV) Hàm số f ( x ) = cos x ñồng biến trên khoảng (0; π ).
Trong các mệnh ñề trên có bao nhiêu mệnh ñề ñúng?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Lời giải.
sin x
- Hàm số f ( x) = 2
là hàm số lẻ. Suy ra mệnh ñề (I): Sai
x +1

D. 3.

- Hàm số f ( x ) = 3 sin x + 4 cos x có giá trị lớn nhất bằng 32 + 4 2 = 5. Suy ra mệnh ñề (II): ðúng
- Hàm số f ( x) = tan x tuần hoàn với chu kì π . Suy ra mệnh ñề (III): Sai
- Hàm số f ( x ) = cos x nghịch biến trên khoảng (0; π ). Suy ra mệnh ñề (IV): Sai
Vậy có 1 mệnh ñề ñúng trong các mệnh ñề ñã cho.
Câu 16. Giải bóng ñá V-LEAGUE 2018 có tất cả 14 ñội bóng tham gia, các ñội bóng thi ñấu vòng tròn 2 lượt
(tức là hai ñội A và B bất kỳ thi ñấu với nhau hai trận, một trận trên sân của ñội A, trận còn lại trên sân của ñội
B). Hỏi giải ñấu có tất cả bao nhiêu trận ñấu?
A. 91.
B. 140.
C. 182.
D. 196.
Lời giải. Mỗi trận ñấu là một cách chọn có thứ tự hai ñội bóng, do ñó số trận ñấu là A142 = 182.

Câu 17. Số ñường chéo của ña giác ñều có 20 cạnh là bao nhiêu?
A. 170 .
B. 190 .

2
C. a .

A.

D'

A'
B'

a 2
.
3
D. a 2 .

C'

B.

A
B

D
O
C

OC ⊥ BD
Lời giải. Ta có: 
⇒ OC là ñoạn vuông góc chung của CC ′ và BD .
OC ⊥ CC ′

A. m = 1.
B. m = 3.
C. m = 1, m = 3.
D. Không tồn tại m.
Lời giải. y ' = 3 x 2 − 4mx + m 2 , y" = 6 x − 4m
ðể hàm số ñạt cực trị tại x = 1 thì y ' (1) = 0 ⇔ m 2 − 4m + 3 = 0 ⇔ m = 1, m = 3.
Với m = 3 thì y" (1) = −6 < 0 nên x = 1 là ñiểm cực ñại. Với m = 1 thì y" (1) = 2 > 0 nên x = 1 là ñiểm cực tiểu.
Vậy m = 1.
Câu 22. Ta xác ñịnh ñược các số a, b, c ñể ñồ thị hàm số y = x3 + ax 2 + bx + c ñi qua ñiểm (1; 0 ) và có ñiểm

cực trị ( −2;0 ) . Tính giá trị biểu thức T = a 2 + b 2 + c 2 .

A. −1 .
B. 7 .
2
Lời giải. Ta có y′ = 3x + 2ax + b .

C. 14 .

D. 25 .

 y (1) = 0
a + b + c = −1
a = 3



Theo bài ta ta có  y′ ( −2 ) = 0 ⇔ 4a − b = 12
⇒ b = 0 . Suy ra T = a 2 + b 2 + c 2 = 25 .


3
2
3
1 − 2 x < 1
 x

4

1

D. S =  −∞;  .
3



Câu 24. Gọi T là tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 21 x − 5log 3 x + 6 = 0. Tính T .
3

1
A. T = 36.
B. T =
C. T = 5.
.
243
2
Lời giải. ðKXð: x > 0. PT tương ñương với [ − log 3 x ] − 5log 3 x + 6 = 0

D. T = −3.

t = 2  x = 9

Câu 26. Gọi A, B, C lần lượt là các ñiểm biểu diễn của các số phức z1 = 2, z 2 = 4i, z3 = 2 + 4i trong mặt phẳng
tọa ñộ Oxy. Tính diện tích tam giác ABC.
A. 4.
B. 2.
C. 6.
D. 8.
Lời giải. A(2;0), B(0;4), C (2;4) suy ra AB = 2 5 , AC = 4, BC = 2 suy ra tam giác ABC vuông tại C nên
1
S ABC = AC .BC = 4.
2

Lời giải.

∫ ( x − sin 2 x)dx =

Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho hai ñiểm A (1;3; −1) , B ( 3; −1;5 ) . Tìm tọa ñộ ñiểm M
thỏa mãn hệ thức MA = 3MB .
 5 13 
7 1 
A. M  ; ;1 .
B. M  ; ;3  .
3 3 
3 3 
Lời giải. MA = 3MB ⇔ M ( 4; −3;8 ) .

C. M ( 4; −3;8 ) .

D. M ( 0;5; −4 ) .

Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñiểm I (1;0; −2 ) và mặt phẳng ( P ) có phương trình:

2

Câu 29. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ñể phương trình cos3 2 x − cos 2 2 x = m sin 2 x có
 π
nghiệm thuộc khoảng  0;  ?
 6
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
cos2 x = 1
(1)
1 − cos2 x
3
2
2

Lời giải. PT ⇔ cos 2 x − cos 2 x − m
= 0 ⇔ ( cos2 x − 1) ( 2cos 2 x + m ) = 0 ⇔
cos 2 2 x = − m ( 2 )
2

2
 π
Giải (1) ⇔ x = kπ ( k ∈ ℤ) , các nghiệm này không thuộc  0;  .
 6

5



14
84
14
84
Lời giải.
Cách 1:
• Xét trường hợp các chữ cái ñược xếp bất kì, khi ñó ta xếp các chữ cái lần lượt như sau
- Có C83 cách chọn vị trí và xếp có 3 chữ cái H.
- Có C52 cách chọn vị trí và xếp có 2 chữ cái A.
- Có 3! cách xếp 3 chữ cái T, O, N.
- Do ñó số phần tử của không gian mẫu là n(Ω ) = C83 .C52 .3! = 3360.
• Gọi A là biến cố ñã cho.
- Nếu có 3 chữ H ñứng cạnh nhau thì ta có 6 cách xếp 3 chữ H.
- Nếu có ñúng 2 chữ H ñứng cạnh nhau: Khi 2 chữ H ở 2 vị trí ñầu (hoặc cuối) thì có 5 cách xếp chữ cái H
còn lại, còn khi 2 chữ H ñứng ở các vị trí giữa thì có 4 cách xếp chữ cái H còn lại. Do ñó có 2.5 + 5.4 = 30 cách
xếp 3 chữ H sao cho có ñúng 2 chữ H ñứng cạnh nhau
Như vậy có 30 + 6 = 36 cách xếp 3 chữ H, ứng với cách xếp trên ta có C52 cách chọn vị trí và xếp 2 chữ cái
A và 3! cách xếp 3 chữ cái T, O, N.
n( A) 2160 9
Suy ra n( A) = 36.C52 .3! = 2160 . Vậy xác suất cần tìm là P( A) =
=
= .
n(Ω ) 3360 14
Cách 2:
8!
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω ) =
= 3360.
2!3!
Gọi A là biến cố ñã cho, ta sẽ tìm số phần tử của A .
5!

k =0

i =0

Ta có (3 x 2 − 2 x − 1) 9 = −(1 + 2 x − 3x 2 ) 9 = −∑ C9k (2 x − 3x 2 ) k = −∑ C9k ∑ Cki (2 x) k −i (−3 x 2 ) i
9

k

= −∑∑ C9k Cki 2 k −i (−3) i x k +i
k =0 i =0

6


0 ≤ i ≤ k ≤ 9
k = 6 k = 5 k = 4 k = 3
Số hạng chứa x 6 ứng với k, i thỏa mãn 
⇔
,
,
,
.
k + i = 6
i = 0 i = 1 i = 2 i = 3

[

]


- Gọi E , F lần lượt là trung ñiểm của CD và AB
 AE ⊥ CD
⇒
⇒ AEB là góc giữa hai mặt phẳng ( ACD ) và ( BCD ) ⇒ AEB = 900 .
BE
⊥
CD

CF ⊥ AB
⇒ AB ⊥ (CFD ) nên góc giữa hai ñường thẳng FC và FD là góc giữa hai mặt phẳng
- Mặt khác: 
 DF ⊥ AB
CD
(1)
( ABC ) và ( ABD ) . Do ñó ( ABC ) ⊥ ( ABD ) ⇔ CFD = 900 ⇔ FE =
2
- Mặt khác: △ EAB vuông cân tại E nên EF =
- Từ (1) và (2) suy ra

AE
=
2

AC 2 − CE 2
a2 − x2
(2).
=
2
2


+ .
2b c

Lời giải.
Theo giả thiết ta có f ( x ) = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) .

Suy ra f ′ ( x ) = ( x − x2 )( x − x3 ) + ( x − x1 )( x − x3 ) + ( x − x1 )( x − x2 )
Khi ñó P =
=

1
1
1
1
1
1
+
+
=
+
+
f ′ ( x1 ) f ′ ( x2 ) f ′ ( x2 ) ( x1 − x2 )( x1 − x3 ) ( x2 − x1 )( x2 − x3 ) ( x3 − x1 )( x3 − x2 )

( x2 − x3 ) − ( x1 − x3 ) + ( x1 − x2 ) = 0 .
( x1 − x2 )( x2 − x3 )( x1 − x3 )

Câu 34. Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m ñể ñồ thị
hàm số ñã cho cắt ñường thẳng y = −3 tại bốn ñiểm phân biệt, trong ñó có một ñiểm có hoành ñộ lớn hơn 2
7




C. 7.

Lời giải. Xét trên ( 256; +∞ ) , khi ñó bất phương trình tương ñương:

D. 9.

log 22 x − 6 log 2 x − 7 < m ( log 2 x − 7 ) .

ðặt t = log 2 x với x > 256 ⇒ t = log 2 x > 8 .

BPT trở thành

t 2 − 6t − 7 < m ( t − 7 ) ⇔ (t + 1)(t − 7) < m(t − 7)

t +1
< m (*) (do t − 7 > 1 > 0 )
t −7
BPT ñã cho có tập nghiệm chứa ( 256; +∞ ) khi và chỉ khi BPT (*) có nghiệm ñúng với ∀t > 8.

⇔ t +1 < m t − 7 ⇔

t +1
8
t +1
8
t +1
= 1+
⇒1

cos x ( sin x + cos x )
Lời giải. ðặt 
.
⇒
dv = sin 2 xdx
1
v = − cos 2 x

2
π

π

π

4
1
1 4 cos x − sin x
Suy ra ∫ sin 2 x.ln ( tan x + 1)dx = − cos 2 x.ln ( tan x + 1) + ∫
dx
2
20
cos x
0
0
4

π
4
1


2

nào dưới ñây ñúng?
A. T = f ( 5 ) + f ( −2 ) .

x
-3

B. T = f ( 0 ) + f ( 2 ) .

-2

-1

1

2

-2

C. T = f ( 0 ) + f ( −2 ) .
D. T = f ( 5 ) + f ( 6 ) .
Lời giải.
0

•

∫


Ta có BBT của hàm số y = f ( x ) trên ñoạn [ −2; 6] :

Suy ra M = f ( 5 ) , m = f ( −2 ) ⇒ T = f ( 5 ) + f ( −2 ) .
9

3

4

5

6

7


Câu 39. Một ô tô bắt ñầu chuyển ñộng nhanh dần ñều với vận tốc v1 ( t ) = 2t (m/s). ði ñược 12 giây, người lái
xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển ñộng chậm dần ñều với gia tốc a = −12 (m/s2).
Tính quãng ñường s (m) ñi ñược của ô tô từ lúc bắt ñầu chuyển bánh cho ñến khi dừng hẳn.
A. s = 168 (m).
B. s = 144 (m).
C. s = 166 (m).
D. s = 152 (m).
12

12

0

0


hẳn

thoả

mãn:

v2 (t ) = ∫ (−12)dt = −12t + C , v2 (12) = v1 (12) = 24 ⇒ C = 168 ⇒ v2 (t ) = −12t + 168 (m / s ).
Thời ñiểm xe dừng hẳn tương ứng với t thoả mãn: v2 (t ) = 0 ⇔ t = 14 ( s).
Quãng ñường ô tô ñi ñược từ lúc xe ñược phanh ñến khi dừng hẳn:
14

14

12

12

s2 = ∫ v2 (t )dt = ∫ (−12t + 168)dt =24 (m). Quãng ñường cần tính s = s1 + s2 = 144 + 24 = 168(m).
π

Câu 40. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn
1

I =∫
1
8

2


3
C. I = .
2

B. I = 2.

D. I = 3.

π

•

(

2

)

Xét A = ∫ cot x. f sin 2 x dx = 1 . ðặt t = sin 2 x.
π

4

π
1

x = 
→t =

dt


∫
1

2

f

( x ) dx = 1. ðặt u =
x

2

x Suy ra du =

dx
dx 2du
⇒
=
.
x
u
2 x

4
4
4
 x = 1 
→u =1
f (u )


1
1

→v =
 x = 
8
2.

 x = 1 
→v = 4

10


4

Khi ñó I = ∫
1
2

4
1
4
f (v)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
1 5
dv = ∫

D. 8.
z − z +1 = 0
Lời giải. z 4 + z 2 + 1 = 0 ⇔ ( z 2 + 1) 2 − z 2 = 0 ⇔ ( z 2 − z + 1)( z 2 + z + 1) = 0 ⇔  2
 z + z + 1 = 0

1
3
i
z = ±
2
2

. Do ñó P = 4.
⇔

1
3
i
z = − ±

2 2
2

Câu 42. Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có thể tích bằng 9a 3
và M là một ñiểm nằm trên cạnh CC ' sao cho MC = 2MC ' .
Tính thể tích của khối tứ diện AB ' CM theo a .
A. a 3 .
C. 3a 3 .

C'

Lời giải.
50 − 45
Cách 1: Bề dày của tấm ñề can là: a =
= 0, 01 ( cm ) .
2 × 250
Gọi d là chiều dài ñã trải ra và h là chiều rộng của tấm ñề can. Khi ñó ta có:
2
2
π 502 − 452
 50 
 45 
dha = π   h − π   h ⇒ d =
≈ 37306 ( cm ) ≈ 373 ( m ) .
4a
 2 
 2 
Cách 2: Chiều dài của phần trải ra là tổng chu vi của 250 ñường tròn có bán kính là một cấp số cộng có số hạng
ñầu bằng 25 , công sai là −a = −0, 01 .
250
Do ñó chiều dài là l = 2π (2.25 − 249.0, 01)
≈ 37314 cm ≈ 373 m.
2

(

)

Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñiểm A ( 2; −1; −2 ) và ñường thẳng ( d ) có phương

trình:

và có VTPT

KA = ( −1; 2;3)
Do ñó phương trình mặt phẳng
( P ) : x − 2 y − 3z − 10 = 0.

H
A

Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho các mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) , ( S3 ) có bán kính r = 1 và lần
lượt có tâm là các ñiểm A(0;3; −1), B ( −2;1; −1), C (4; −1; −1) . Gọi ( S ) là mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu

trên. Mặt cầu ( S ) có bán kính nhỏ nhất là

A. R = 2 2.
B. R = 10 − 1.
C. R = 10.
Lời giải. Ta có: AB = 8, AC = 32, BC = 40 nên tam giác
ABC vuông tại A .
Gọi I là trung ñiểm của BC , khi ñó: IM = IN = IP = 10 − 1 .
Do ñó mặt cầu ( S ) thoả mãn bài ra là mặt cầu có tâm là I và bán

D. R = 2 2 − 1.
A

M

kính R = 10 − 1.
B


C. OM =

+ y 2 + z 2 ≥ x − 6 ≥ 6 − x , MB = x 2 + ( y − 2 ) + z 2 ≥ y − 2 ≥ 2 − y ,
2

MC = x 2 + y 2 + ( z − 3) ≥ z − 3 ≥ 3 − z ,
2

(

)

3MD = 3 x 2 + y 2 + z 2 ≥

(x + y + z)

2

≥ x+ y+z.

Do ñó P ≥ (6 − x) + (2 − y ) + (3 − z ) + ( x + y + z ) = 11 .
x = y = z = 0
Các ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
⇔ x= y= z=0
6 − x ≥ 0, 2 − y ≥ 0,3 − z ≥ 0, x + y + z ≥ 0

Khi ñó M (1; 2;3) ⇒ OM = 12 + 22 + 32 = 14.

12


.
2
Lời giải. - Ta chứng minh AD ⊥ BC . Thật vậy: xét tích vô hướng
AD 2 + AC 2 − CD 2 AD 2 + AB 2 − BD 2
AD.BC = AD. AC − AB = AD. AC − AD. AB =
−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AC + BD − CD − AB
15a + 10a − 16a − 9a
=
=
= 0 ⇒ AD ⊥ BC .
2
2
- Dựng AH ⊥ ( BCD ) tại H nằm trong tam giác BCD . Gọi M là giao ñiểm của DH và BC

BC bằng

(

45

5a
, DN = MN =
⇒ AN = AB 2 − BN 2 = AB 2 − ( BM 2 + MN 2 ) = 9a 2 − 
+
=
16  4
4
 16
Do ñó AD = AN + DN = 2a.
D

A
40m

O

I

30m

13

E

40m

Câu 48. Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có
một mảnh vườn hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc một cây
cầu từ bờ AB của ao ñến vườn. Tính gần ñúng ñộ dài tối thiểu l của
cây cầu biết:


Vậy min IN ≈ 2,77 tức là l ≈ 17,7 m.
Câu 49. Cho z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn ñiều kiện z − 5 − 3i = 5 , ñồng thời z1 − z2 = 8 . Tập

hợp các ñiểm biểu diễn của số phức w = z1 + z2 trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy là ñường tròn có phương trình nào
dưới ñây?
2

2

2

2

5 
3
9
5 
3


A.  x −  +  y −  = .
B.  x −  +  y −  = 9.
2 
2
4
2 
2



AN
AM 2
H
F
trị lớn nhất.
5
O
A. T = .
B. T = 2 .
M
E
4
B
C
2+ 3
13
C. T =
.
D. T = .
4
9
Lời giải.
Cách 1: Chọn hệ trục tọa ñộ Oxyz sao cho A(0; 0; 0), B (2; 0; 0), D (0; 2;0), S (0;0; 2) ⇒ C (2; 2; 0)
ðặt AM = x, AN = y , x; y ∈ [0; 2] , suy ra M ( x;0;0), N (0; y;0)

tổng T =

14

D

3 x+2
3 ( x + 2)2
f '( x ) = 0 ⇔ x 2 + 4 x − 8 = 0 ⇔ x = −2 + 2 3; x = −2 − 2 3 (loại).
Lập bảng biến thiên ta ñược suy ra max f ( x) = f (1) = f (2) = 2 .
[0;2]

 x = 1

1
1
1
1 5
y = 2
Vậy max VS . AMCN = 2 ⇔ 
⇒T =
+
= 2+ 2 = .
2
2
 x = 2
AM
AN
x
y
4

  y = 1
Cách 2: ðặt AM = x, AN = y . Gọi: O = AC ∩ BD; E = BD ∩ CM ; F = BD ∩ CN .

H là hình chiếu vuông góc của O lên SC , khi ñó: HO =

⇒
=
=
⇒ OE =
EB MB 4 − 2 x
x
4 − 2x 4 − x
4− x
y 2
. Mà: OE.OF = OH 2 ⇔ ( x + 2 )( y + 2 ) = 12 .
Tương tự: OF =
4− y
• Nếu x = 2 hoặc y = 2 thì ta cũng có OE.OF = OH 2 ⇔ ( x + 2 )( y + 2 ) = 12 .

Tóm lại: ( x + 2 )( y + 2 ) = 12

1
2
2
2
12

Suy ra: VS . AMCN = SA.S AMCN = ( x + y ) = ( x + 2 ) + ( y + 2 ) − 4  = ( x + 2 ) +
− 4
3
3
3
3
x+2 
 x = 1