www.thuvienhoclieu.com
CHUYÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT
A.Kiến thức:

A

1. Định lí Ta-lét:
M

ABC �
AM
AN
=
��
MN // BC �
AB
AC

* Định lí Ta-lét:

N

C

B

* Hệ quả: MN // BC �

AM
AN MN
=

(1)
OB
OC

BG // AC �

OB
OG
=
(2)
OD
OA

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:

C

D

OE
OG
� EG // CD
=
OD
OC

b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD nên
AB
OA OD
CD


Giải
Đặt AB = c, AC = b.
BD // AC (cùng vuông góc với AB)

www.thuvienhoclieu.com

B

C

Trang 1


www.thuvienhoclieu.com
nên

AH AC b
AH b
AH
b

 �
 �

HB BD c
HB c
HB + AH b + c

Hay


AK
b
AK
c
b.c

�

� AK 
(2)
AC b + c
b
b+c
b+c

Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK
b) Từ

AH AC b
AK AB c
AH KC
AH KC

 và

 suy ra

�



AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:
EK
EB
AE
EK AE
=
=
�

� AE 2  EK.EG
AE
ED
EG
AE EG
b) Ta có:

K

E
C

D

G

AE
DE AE
BE
=

AB
BK
a
KC
CG
KC
CG
=
�
=
=
�
=
(1);
(2)
KC
CG
KC
CG
AD
DG
b
DG

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:

BK
a
=
� BK. DG = ab không đổi (Vì


G
Trang
2
C


www.thuvienhoclieu.com
a) EG = FH
b) EG vuông góc với FH
Giải
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG
Ta có CM =

1
1
BM
1
BE
BM
1
�
=
=
=
CF = BC �
2
3
BC
3

Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH =

1
AC (b)
3

�
Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC  BD � EM  MG � EMG
= 900 (4)
� = 900 (5)
Tương tự, ta có: FNH
�
� = 900 (c)
Từ (4) và (5) suy ra EMG
= FNH
Từ (a), (b), (c) suy ra  EMG =  FNH (c.g.c) � EG = FH
b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì
� = 900 � QPF
� + QFP
� = 900 mà QPF
� = OPE
�
� = QFP
�
(đối đỉnh), OEP
(  EMG =  FNH)
PQF
� = PQF
� = 900 � EO  OP � EG  FH
Suy ra EOP

I

M

P

Trang 3

www.thuvienhoclieu.com
A

K

F

B


www.thuvienhoclieu.com
AF = DC, FB = AK (3)
Kết hợp (1), (2) và (3) ta có

CP CM
� MP // AB (Định lí Ta-lét đảo) (4)

PB AM

b) Gọi I là giao điểm của BD và CF, ta có:
Mà


K

Gọi K là giao điểm của CF và AB; M là giao điểm của DF và BC

M
G

F

 KBC có BF vừa là phân giác vừa là đường cao nên  KBC cân
tại B � BK = BC và FC = FK

A

D

E

Mặt khác D là trung điểm AC nên DF là đường trung bình của 
AKC � DF // AK hay DM // AB
Suy ra M là trung điểm của BC
DF =

1
AK (DF là đường trung bình của  AKC), ta có
2

BG
BK
BG

DE
DE
DE

CE AE - DE
AE
AB
AE AB

1 
2
 2 (vì
=
: Do DF // AB)
DE
DE
DE
DF
DE DF

Suy ra

CE AK + BK
2(AK + BK)
1
CE 2(AK + BK)
2BK

2 
 2 (Do DF = AK) �

OG
OE � FO �
=
�=
�� OG = OE
MC
MB � FM �

Bài tập về nhà
Bài 1:
Cho tứ giác ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với BC cắt AB ở E;
đường thẳng song song với CD qua O cắt AD tại F
a) Chứng minh FE // BD
b) Từ O kẻ các đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD tại G và H.
Chứng minh: CG. DH = BG. CH
Bài 2:
Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho BN =
CM; các đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự tại E, F.
Chứng minh:
a) AE2 = EB. FE
2

�AN �
b) EB = � �. EF
�DF �

CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
A. Kiến thức:



B. Bài tập vận dụng

A

1. Bài 1:
Cho  ABC có BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD
a) Tính độ dài BD, CD

c

b
I

www.thuvienhoclieu.com

B

Trang 5
D

a

C


www.thuvienhoclieu.com
b) Tia phân giác BI của góc B cắt AD ở I; tính tỉ số:

AI

=
b+c
b+c

AI AB
ac
b+c
�

c:

b) BI là phân giác của ABC
nên
ID BD
b+c
a
2. Bài 2:
� < 600 phân giác AD
Cho  ABC, có B
a) Chứng minh AD < AB
b) Gọi AM là phân giác của  ADC. Chứng minh rằng BC > 4 DM
Giải
A

0 �
�
� �
� =C
� + A > A + C = 180 - B  600
a)Ta có ADB


D

M

B

abd
CD.AD
CD. d
ab

; CD =
( Vận dụng bài 1) � DM =
(b + c)(b + d)
AD + AC b + d
b+c

Để c/m BC > 4 DM ta c/m a >

4abd
hay (b + d)(b + c) > 4bd (1)
(b + c)(b + d)

Thật vậy : do c > d � (b + d)(b + c) > (b + d)2 �4bd . Bất đẳng thức (1) được c/m
Bài 3:
Cho  ABC, trung tuyến AM, các tia phân giác của các góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự ở
D và E

A

DB MA

EA MC
�

ME là phân giác của AMC
nên
(2)
EC MA
Từ (1), (2) và giả thiết MB = MC ta suy ra
b) DE // BC �

c) Ta có: MI =

DA EA
� DE // BC

DB EC

x
DE AD AI
mx
�


. Đặt DE = x
2 � x = 2a.m

BC AB AM
a

AC
AE
AD AE
=


> EDB
> EDB
> EDB
� + ECB
� = EDB
� + DEC
�
� > ECB
�
� > DCE
�
�
� )
� DEC
� DEC
Ta lại có CBD
(Vì DCE
= ECB

www.thuvienhoclieu.com

Trang 7


www.thuvienhoclieu.com
Suy ra CD > ED � CD > ED > BE
5. Bài 5:
Cho  ABC với ba đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh
a.


�
=
a)AD là đường phân giác của BAC
nên ta có:
(1)
DC
AC
Tương tự: với các phân giác BE, CF ta có:

F
E

EC
BC
FA
CA
=
=
(2) ;
EA
BA
FB
CB

(3)
DB EC FA
AB BC CA
.
.
=


1 b  c 1 �1 1 � 1 1 �1 1 �
2bc
�

 �  ��
 � �
d a 2bc 2 �b c � d a 2 �b c �
bc

1 1 �1 1 �
1 1 �1 1 �
 �  � Và
 �  � Nên:
db 2 �a c �
d c 2 �a b �

1
1
1 1 �1 1 1 �
�
1
1
1 1�
�1 1 � �1 1 � �1 1 �
�
 
 .2 �   �
 
 �