 BÀI 03
NHỊ THỨC NIU TƠN
1. Nhị thức Niu-tơn
n

( a+ b) = Cn0an +Cn1an- 1b+... +Cnn- 1abn- 1 +Cnnbn
n

= �Cnkan- kbk.
k=0

2. Hệ quả
Với a = b = 1, ta có 2n = Cn0 +Cn1 +... +Cnn- 1 +Cnn.
k

n

Với a = 1; b = - 1, ta có 0n = Cn0 - Cn1 +L +( - 1) Cnk +L +( - 1) Cnn.

3. Chú ý
n

Trong biểu thức ở vế phải của khai triển ( a + b)
�Số các hạng tử là n+1;
�Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0 ; số mũ của b tăng dần từ
0 đến n , nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n
(quy ước a0 = b0 = 1);
�Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng
nhau.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

2 8
2.
D. - C10

ta được
2006

+ a2006 x

+... + a1x + a0.

7
.57.
B. a2000 = C2007
7
.57.
D. a2000 = C2007

5
4
3
2
Câu 3. Đa thức P ( x) = 32x - 80x + 80x - 40x +10x - 1 là khai triển của nhị
thức nào dưới đây?
5

A. ( 1- 2x) .

5


x.
C. - C13

3 7
x.
D. C13
9

� 1�
�
Câu 5. Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển �
x+ �
.
�
�
�
� 2x�
A. -

1 3 3
C9 x .
8

B.

1 3 3
C9 x .
8

C. - C93x3.


�2 2�
�.
Câu 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển �
x + �
�
�
�
�
x�
A. 24C62.

B. 22C62.

C. - 24C64.

D. - 22C64.

8
� 2 1�
�
�
Câu 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển �
xy
.
�
�
�
xy�
�


C. 10x3 y.

D. 4x3 y.
3n+1

�
�
1
Câu 10. Tìm hệ số của x trong khai triển �
+ x3 �
�
�
�
�
�
�
x

với x �0 , biết n là số

6

2
2
nguyên dương thỏa mãn 3Cn+1 + nP2 = 4An .

A. 210x6.

B. 120x6.

Cn2 3Cn3 n
9
B. - C18

( 3)

9

x9.

9
C. C18

( 3)

9

x9.

9
D. C18

�
Câu 12. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển �
2x �
�
�

( 3)


n

� 2 2�
Câu 13. Tìm hệ số của x7 trong khai triển �
3x - �
�
�
� với x �0 , biết hệ số của
�
�
x�
số hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080.
A. 1080.
B. - 810.
C. 810.
D. 1080.
Câu 14. Tìm số tự nhiên n , biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm
n
� 1�
�
dần của x trong khai triển �
x
�
�
� bằng 4.
�
� 3�
A. 8.
B. 17.
C. 9.

Câu 17. Khai triển đa thức P ( x) = ( 2x - 1)
P ( x) = a1000 x

1000

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a1000 + a999 +... + a1 = 2n .
C. a1000 + a999 +... + a1 = 1 .

1000
999

+ a999 x

D. S = 8192.

ta được
+... + a1x + a0.

B. a1000 + a999 +... + a1 = 2n - 1 .
D. a1000 + a999 +... + a1 = 0 .
5

10

Câu 18. Tìm hệ số của x5 trong khai triển P ( x) = x( 1- 2x) + x2 ( 1+ 3x) .


A. 80.



10
.
C. 29C19

10 10
x .
D. 29C19

Câu 20. Tìm hệ số của x4 trong khai triển P ( x) = ( 1- x - 3x3 )
n- 2
n

nhiên thỏa mãn hệ thức C
A. 210.
B. 840.
Câu 21. Tìm hệ số của x

10

A. 5.

n

với n là số tự

2
n+1

+ 6n + 5 = A

A. C20n +C21n +... +C2nn = C2nn+1 +C2nn+2 +... +C22nn.

D. 637.

B. C20n +C21n +... +C2nn- 1 = C2nn+1 +C2nn+2 + ... +C22nn.
C. C20n +C21n +... +C2nn- 2 = C2nn+1 +C2nn+2 +... +C22nn.
D. C20n +C21n +... +C2nn+1 = C2nn+1 +C2nn+2 +... +C22nn.
Câu 24. Tính tổng
A. S = 2n - 1.
Câu 25. Tính tổng
A. S = 22n.

S = Cn0 +Cn1 +Cn2 + ... +Cnn .
B. S = 2n.
C. S = 2n- 1.
S = C20n +C21n +C22n +... +C22nn .

D. S = 2n +1.

B. S = 22n - 1.
C. S = 2n.
D. S = 22n +1.
1
2
n
20
Câu 26. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+1 +C2n+1 +... +C2n+1 = 2 - 1 .
A. n = 8.
B. n = 9.
C. n = 10.

n
n .
A. S = 3n.
B. S = 2n.
C. S = 3.2n.
D. S = 4n.
12
Câu 29. Khai triển đa thức P ( x) = ( 1+ 2x) = a0 + a1x +... + a12x12 . Tìm hệ số ak

( 0 �k �12) lớn nhất trong khai triển trên.
8 8
2.
A. C12

9 9
2.
B. C12

10 10
2 .
C. C12

8 8
2.
D. 1+C12

10

�
�

D.

28 8
C10.
310


10

Câu 1. Tìm hệ số của x12 trong khai triển ( 2x - x2 ) .
8
2 8
2
.
2.
.
A. C10
B. C10
C. C10
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

( 2x -

10

10

k
x2 ) = �C10
.( 2x)

k=0

2 8
Hệ số của x12 ứng với 10+ k = 12 � k = 2 ��
� hệ số cần tìm C10 2 . Chọn B.

Câu 2. Khai triển đa thức P ( x) = ( 5x - 1)
P ( x) = a2007 x

2007

2007

ta được
2006

+ a2006 x

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
7
.57.
A. a2000 =- C2007

+... + a1x + a0.

7
.57.
B. a2000 = C2007

2000 2000


.( - 1) .x2017- k .

k=0

Hệ số của x2000 ứng với 2017- k = 2000 � k = 7
7
��
� hệ số cần tìm - C2017.( 5)

2000

2000 2000
= - C2007
.5 . Chọn C.

5
4
3
2
Câu 3. Đa thức P ( x) = 32x - 80x + 80x - 40x +10x - 1 là khai triển của nhị
thức nào dưới đây?
5

A. ( 1- 2x) .

5

B. ( 1+ 2x) .


B. - C13
C. - C13
D. C13
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
13
k
13
13
� 1�
1�
k
k
13- k �
k
�
�
�
x- �
=
C
.
x
.
=
C13
.( - 1) .x13- 2k .
�
�
�
�

8
8
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
9
k
k
9
9
� 1�
1�
1� 9- 2k
k
9- k �
k ��
�
�
�
�
�
x
+
=
C
.
x
.
=
C
.
.x .

x+ �
�
�
�.
�
� x2 �
37 31
37 31
2 31
x .
x .
x .
A. - C40
B. C40
C. C40
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

4 31
x .
D. C40


40

k

40
40
� 1�
�

�.
�
�
x�
A. 24C62.
B. 22C62.
C. - 24C64.
D. - 22C64.
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
6
k
6
�2 2�
� 6 k 2 6- k �
2�
k
�
�
�
x + �
=
C
.
x
.
=
C6k .( 2) .x12- 3k.
�
(
)

�
A. 70y4.
B. 60y4.
C. 50y4.
D. 40y4.
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
8
k
8
8
� 2 1�
�
� �
k
k
2 8- k � 1 �
�
�
�
xy =
C
.
xy
.
=
C8k .( - 1) .x8- 2k . y16- 3k .
�
(
)
�

y�
�

A. 3x3 y.
B. 5x3 y.
C. 10x3 y.
D. 4x3 y.
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
5
k
5
5
�
1�
1�
5- k �
k
�
�
�
�
�
xy + �
=
C
.
xy
.
=
C5k.x5- k . y5- 2k .

3n+1
�
�
1
3�
Câu 10. Tìm hệ số của x6 trong khai triển �
+
x
� với x �0 , biết n là số
�
�
�
�
�
x
2
2
nguyên dương thỏa mãn 3Cn+1 + nP2 = 4An .

A. 210x6.
B. 120x6.
C. 120.
2
2
� n = 3.
Lời giải. Từ phương trình 3Cn+1 + nP2 = 4An ��
3n+1

10


�
�
�
�
�
�
�
�
� k=0
�
x
x
x�
k=0
4
Hệ số của x6 ứng với 4k - 10 = 6 � k = 4 ��
� hệ số cần tìm C10 = 210. Chọn D.

(

)

Câu 11. Tìm hệ số của x9 trong khai triển 1dương thỏa mãn
9
A. - C18

( 3)

9


x9.

9
D. C18

( 3)

9

.


Lời giải. Từ phương trình

(

Với n = 9 , ta có 1-

)

3x

2n

2
14
1
+ 3 = ��
� n = 9.
2


k

(

k
3x = �C18
.k=0

( 3)

9

)

k

3 .xk .

. Chọn A.

�
Câu 12. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển �
2x �
�
�

2n
3�
�

k
16
16
�
�
163� �
3�
16- k � 3 �
k
k
k
�
�
�
�
2x - 3 �
�
=
2
x
�
=
C
.
2
x
.
�
=
C16

4k
= 0 � k = 12
3
12 4 12
��
� số hạng cần tìm C16 .2 .3 . Chọn C.

Số hạng không chứa x ứng với 16-

n

� 2 2�
Câu 13. Tìm hệ số của x7 trong khai triển �
3x - �
�
�
� với x �0 , biết hệ số của
�
�
x�
số hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080.
A. 1080.
B. - 810.
C. 810.
D. 1080.
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
n
k
n
n

�
�
x� k=0
Số hạng thứ 3 ứng với k = 2 , kết hợp với giả thiết ta có
Cn2.3n- 2.4 = 1080 � n( n- 1) .3n = 4.5.35 � n = 5.
Hệ số của x7 ứng với 2n- 3k = 7 � 10- 3k = 7 � k = 1
1 4
��
� hệ số cần tìm C5 3 ( - 2) = - 810. Chọn B.
Câu 14. Tìm số tự nhiên n , biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm
n
� 1�
�
dần của x trong khai triển �
x
� bằng 4.
�
�
�
� 3�
A. 8.
B. 17.
C. 9.
D. 4.
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
n
2
n
� 1�
�

�
�
�.
�
n
n�
n�
n�
�
� 3�
� 3�
� 3�
� 3�
�
�
�
�
�
�
�
2

1� n- 2
��
� số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x là C 2 �
�
- �
�
�
n�

11 41 11
x y .
C. C21

10 43 10
11 41 11
x y ; C21
x y .
D. C21


Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

( x3 + xy)

21

21- k

k=0

Suy ra khai triển ( x + xy)
3

21

k
= �C21
.( x3 )


Khi đó S = ( 3.1- 4) = - 1. Chọn B.
Câu 17. Khai triển đa thức P ( x) = ( 2x - 1)

1000

ta được

P ( x) = a1000 x1000 + a999 x999 +... + a1x + a0.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a1000 + a999 +... + a1 = 2n .
C. a1000 + a999 +... + a1 = 1 .

B. a1000 + a999 +... + a1 = 2n - 1 .
D. a1000 + a999 +... + a1 = 0 .

1000
999
Lời giải. Ta có P ( x) = a1000 x + a999 x +... + a1x + a0 .

Cho x = 1 ta được P ( 1) = a1000 + a999 +... + a1 + a0.
Mặt khác P ( x) = ( 2x - 1)

1000

��
� P ( 1) = ( 2.1- 1)

1000

= 1.

x( 1- 2x) = x.�C5k .( - 2x)
5

5- k

k=0

5

= �C5k.( - 2)

D. 259200.
5- k

.x6- k .

k=0

��
� số hạng chứa x5 tương ứng với 6- k = 5 � k = 1 .
10

2
2
l
Tương tự, ta có x ( 1+ 3x) = x .�C10.( 3x)
10

l =0


4
là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức An3 +Cnn- 2 = 14n .
10
.
A. 25C19

10 10
x .
B. 25C19

10
.
C. 29C19

10 10
x .
D. 29C19

� n = 5.
Lời giải. Từ phương trình An3 +Cnn- 2 = 14n ��
2

�
�
1 2
1
1
3n
4
15

16
Câu 20. Tìm hệ số của x4 trong khai triển P ( x) = ( 1- x - 3x3 )
n- 2
2
nhiên thỏa mãn hệ thức Cn + 6n + 5 = An+1 .
A. 210.
B. 840.
C. 480.
n- 2
2
� n = 10.
Lời giải. Từ phương trình Cn + 6n + 5 = An+1 ��
n

n

với n là số tự

D. 270.

10

Với n = 10 , khi đó P ( x) = ( 1- x - 3x3 ) = ( 1- x - 3x3 ) .
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
10

10
10
k
k

�
�
0 �k �10 � ( k;l ) = { ( 4;0) ,( 2;1) } .
Số hạng chứa x trong khai triển tương ứng với �
�
�
�
0 �l �k
�
4 0
2 1
4
C4 +C10
C2 3 = 480 . Chọn C.
Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển là C10
4

5

Câu 21. Tìm hệ số của x10 trong khai triển ( 1+ x + x2 + x3 ) .
A. 5.
B. 50.
C. 101.
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

( 1+ x + x2 + x3 )

5

5

Kết hợp với điều kiện ta có hệ �
�
�
�
k, l ��
�
Vậy hệ số cần tìm là C50.C55 +C52.C54 +C54.C53 = 101. Chọn C.
2

8

Câu 22. Tìm hệ số của x5 trong khai triển P ( x) = ( 1+ x) + 2( 1+ x) +... + 8( 1+ x) .
A. 630.

B. 635.

C. 636.
2

D. 637.
4

Lời giải. Các biểu thức ( 1+ x) , ( 1+ x) ,L ,( 1+ x) không chứa số hạng chứa x5.
5

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 5( 1+ x) là 5C55.
6

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 6( 1+ x) là 6C65.
7

�
Cộng vế theo vế, ta được C20n +C21n +... +C2nn- 1 = C2nn+1 +C2nn+2 +... +C22nn. Chọn B.
Câu 24. Tính tổng S = Cn0 +Cn1 +Cn2 + ... +Cnn .
A. S = 2n - 1.
B. S = 2n.
C. S = 2n- 1.

D. S = 2n +1.

n

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của ( 1+ x) , ta có
n

( 1+ x) = Cn0 +Cn1x +Cn2x2 +L +Cnnxn .
n

Cho x = 1, ta được Cn0 +Cn1 +Cn2 +L +Cnn = ( 1+1) = 2n . Chọn B.
Câu 25. Tính tổng S = C20n +C21n +C22n +... +C22nn .
A. S = 22n.
B. S = 22n - 1.
C. S = 2n.

D. S = 22n +1.

2n

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của ( 1+ x) , ta có
2n


n+1
Lại có C2n+1 = C2n+1 ; C2n+1 = C2n+1 ; C2n+1 = C2n+1 ; …; C2n+1 = C2n+1 .

Từ ( 1) và ( 2) , suy ra C20n+1 +C21n+1 +... +C2nn+1 =

( 2)

2n+1

2

2
� C21n+1 +... +C2nn+1 = 22n - 1 � 220 - 1= 22n - 1 � n = 10 .

Vậy n = 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
1
3
2n+1
Câu 27. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+1 +C2n+1 +... +C2n+1 = 1024 .
A. n = 5.
B. n = 9.
C. n = 10.
D. n = 4.
Lời giải. Xét khai triển ( x +1)

2n+1

= C20n+1x2n+1 +C21n+1x2n +... +C22nn++11 .

( 1)


n

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của ( 1+ x) , ta có
n

( 1+ x) = Cn0 +Cn1x +Cn2x2 +L +Cnnxn .
n

Cho x = 3 , ta được Cn0 + 3Cn1 + 32Cn3 +... + 3nCnn = ( 1+ 3) = 4n. Chọn D.
12
Câu 29. Khai triển đa thức P ( x) = ( 1+ 2x) = a0 + a1x +... + a12x12 . Tìm hệ số ak

( 0 �k �12) lớn nhất trong khai triển trên.
8 8
2.
A. C12

9 9
2.
B. C12

10 10
2 .
C. C12

8 8
2.
D. 1+C12


�
Hệ số k lớn nhất khi �
�k k
k- 1
�
ak �ak- 1 �
2 C12 �2k- 1C12
�
�

� 1
2
�
�
�
�
12- k k +1
�
�
�
2
1
�
�
�
�
�k 12- k +1

23
3

10
�
1 2 �
�
Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của �
+
x
�
�
� , ta có
�
�
3 3 �
A. 1+

27 7
C10.
310

B.

27 7
C10.
310

10

C.

10- k

k

10- k

�
� 10 k ��
2 �
1�
�
x�
= �C10 �
�
�
�
�
�
�
�
3 � k=0 ��
3�

D.

28 8
C10.
310

k

��

� ��
��
1� ��
2�
1�
2�
� 19
�
k �
k+1 ��
�
�
�
�
C
�
C
�
�
�
�
�
k�
�
�
�
�
10
10
�

�
�
22
��
��
�
1� ��
2�
1�
2�
�
k ��
k�
�
�
�
�
�
C10
�C10k- 1 �
�
�
�
�
�
� 3
�
�
�
�

����
k = 7.
k��
3