Bài 1: Tính các tích phân sau
1)
2)
I=
I=
π /3
cos x
dx
sin
x
−
5
sin
x
+
6
/6
∫
π
2
π /3
sin 3 x
dx
2 + cos x
x2 +1
3
7
5)
I=
x3
∫
1+ x2
3
0
dx
dx
Hd: Đặt t = sin x
Đs: I = ln
Hd: Đặt t = cos x
Đs: I =
141
10
Hd: Đặt t = ln x
Đs: I =
4
3
e
1 + ln 2 x
I=∫
dx
x
1
(
)
5( 4 − 3 )
36− 3
Đs:
ln 2
7)
(2 − 2 )(
(2 + 2 )(
ln
Đs: I =
1
168
Đs: I =
π
6 3
Hd: Đặt t = 1 + x 2
Đs: I =
848
105
sin x. cos 3 x
dx
1 + cos 2 x
Hd: Đặt t = cos x
Đs: I =
6
I = ∫ x 5 1 − x 3 dx
Hd: Đặt t = 1 − x 3
0
)
2)
3+ 2
3−
Hd: Đặt
1
9)
I=∫
0
10
)
11
)
12
)
13
0
I=
π /2
∫
0
I=
π /6
∫
0
I=
π /2
cos x
∫
7 + cos 2 x
0
I=
1
16
)
I=
π /4
∫
0
sin 2 x
dx
4 − cos 2 x
ln 3
ex
∫
I=
(e
0
)
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu
Gửi đến số điện thoại
18
)
19
)
20
)
21
)
22
)
23
)
24
2 3
∫
I=
5
1
x x2 + 4
2
I=
dx
7
∫1+
0
dx
x3
3
x +1
4
dx
I = ∫ x 2 2 + x 3 dx
Hd: Đặt t = x + 1
Đs: I =
11
− 4 ln 2
3
Hd: Đặt t = 1 + 3 ln x
Đs: I =
2 2 −1
3
0
I = ∫ x x 2 + 1dx
∫
I=
0
x2
1− x
2
dx
2
I = ∫ x 2 4 − x 2 dx
1
3)
1 5
dx
Hd: §Æt
x = sin t
Hd: Đặt
x = 2 sin t
Hd: Đặt
§s: I =
π 1
−
8 4
π
3
+
6 24
π
Đs: I =
6
Đs: I =
2
x=
1
sin t
I =2 3− 6+
3
2+ 2
ln
2
32− 2
(
)
Đăng ký mua
file word trọn bộ chuyên
đề
HƯỚNG DẪN
ĐĂNG KÝ
5)
Hd: Đặt
x = cos 2t
Đs: I = 1 −
π
4
I=
∫
4 − x 2 dx
−1
3
2
∫
6
10)
I=
∫
3 2
2
11)
I=∫
0
x = 2 sin t
Đs: I =
2 2 −1
3
Đs: I = π + 3
Đs: I =
3+ 3
27
Hd: Đặt
1
x x −9
2
1
dx
4 + x2
dx
3
sin t
Hd: Đặt
x=
x = 2 tan t
∫
π
2
LG
Đặt sinx = t ⇒ cosxdx = dt
Đổi cận:
π
6
1
2
x
t
I=
3
2
∫t
2
1
2
−2
2
Vậy I = ln
2)
I=
π /3
∫
0
3
2
1
2
t− 3
= ln
t− 2
3
2
1
2
1
−3
∫
0
1− cos2 x
sin xdx
2 + cos x
LG:
Đặt cos x = t ⇒ sin xdx = −dt
Đổi cận:
x
t
π
3
1
2
0
1
1
2
1
1
2
=
3
7
5 5
5
− 3ln3− + 3ln = + 3ln
2
8
2 8
6
5
5
Vậy I = + 3ln
8
6
5
3)
I=
π /6
∫
0
x
1
t
5
4
5
dt
5
5
4
I = ∫ = ln t 1 = ln − ln1= ln
t
4
4
1
Vậy: I = ln
4)
8
5
4
1
t
3
I =∫
2
8
3
3
(
3
3
tdt
dt
1 1
1
1 t −1
=∫
= ∫
−
dt = ln
÷
2
2 t+1 2
1+ x2
dx =
7
∫
0
x2
3
1+ x2
xdx
LG
Đặt 3 1+ x2 = t ⇒ x2 = t3 − 1, 2xdx = 3t2dt
Đổi cận:
x
0
t
7
2
6)
e
1 + ln 2 x
dx
x
1
I=∫
LG
Đặt lnx = t ⇒
1
dx = dt
x
Đổi cận:
x
1
0
t
1
I =∫
0
1
2 + ex
dx
LG:
7
2 + ex = t ⇒ 2 + ex = t2 ⇒ dx =
Đặt
2tdt
t2 − 2
Đổi cận:
x
t
0
3
2
ln2
2
2
2
3
3
3
I = 2∫
1
I=
8
1
=
2
(
ln
ln
(2 − 2 )(
(2 + 2 )(
t− 2
3+
3−
8)
1
(
)
6
1
(
)
6
I = ∫ x5 1− x3 dx = ∫ x3 1− x3 x2dx
0
0
LG:
3
2
3 7 8 168
Vậy I =
1
9)
I=∫
0
1
168
x
dx
x + x2 +1
4
LG
8
Đặt x2 = t ⇒ 2xdx = dt
Đổi cận:
x
t
0
0
0
π
6
1
π
3
π
3
π
3
π
3 1
du
4 3
4 33
⇒ I = 2∫
=
du
=
2
3
3 π∫
3 π
π 2 cos u
2 3π
9
3
( )
x5 1+ x2 dx = ∫ x2
0
2
1+ x2 xdx
LG:
Đặt 1+ x2 = t ⇒ 1+ x2 = t2, xdx = tdt
Đổi cận:
x
0
3
9
t
2
4
2
)
27
25 23 17
15 13 848
= − 2 + ÷− − 2 + ÷ =
5 3 7
5 3 105
7
Vậy I =
848
105
11)
I=
π /2
∫
0
sin x.cos3 x
dx =
1+ cos2 x
1 t−1
1 1
1
2
⇒I =∫
= ∫
dt = ∫ 1− ÷dt = ( t − ln t )
t
21 t
2 1 t
2
1
2
=
Vậy I =
12)
I=
π /6
∫
0
1
1
( 2− ln2) − ( 1− ln1) = [ 1− ln2]
2
2
1
2
1
2
dt
dt
1
1
=∫
= ∫
−
dt
t − 5t + 6 0 ( t − 3) ( t − 2) 0 t − 3 t − 2 ÷
0
I =∫
2
1
1
−3
t− 3 2
−3
5
3
10
0
π /2
cos x
∫
1
dx =
2
8− 2sin x
π /2
2
0
∫
0
cos x
4 − sin2 x
dx
0
0
t
u
I=
1
π
6
∫
2 2
2cosudt
0
Vậy I =
1− sin2 u
1
π
6
=
1
∫x
I=
1+ 2ln x
1
dx
LG:
2
Đặt 1+ 2ln x = t ⇒ 1+ 2ln x = t ;
dx
= tdt
x
Đổi cận:
0
1
t
u
e
2
t2 − 1
3
3
Đs: I =
10 2 − 11
3
15)
I=
π /4
∫
0
1− 2sin2 x
dx =
1+ sin2x
π /4
cos2x
∫ 1+ sin2xdx
0
LG
Đặt 1+ sin2x = t ⇒ 2cos2xdx = dt
π /4
∫
0
sin 2 x
dx
4 − cos 2 x
LG
Đặt 4 − cos2 x = t ⇒ 2cos xsin xdx = dt
Đổi cận:
x
0
t
3
π
4
7
2
7
2
7
dt
)
+1
3
dx
LG
ex + 1 = t ⇒ ex + 1= t2; exdx = 2tdt
Đặt
Đổi cận:
0
2
x
t
I=
2
3ln
2
2
2tdt
dt −2
5
x
2
x
dx
x2 + 4
LG
Đặt
x2 + 4 = t ⇒ x2 + 4 = t2; xdx = tdt
Đổi cận:
t
5
2 3
13
u
3
1 1
1 1 5
ln − ln ÷ = ln
4 3
5 4 3
Vậy I =
1 5
ln
4 3
19)
2
I=∫
1
x
1+ x +1
dx
LG
x + 1 = t ⇒ x + 1= t2; dx = 2tdt
Đặt
Đổi cận:
3 2 2
4 2
= 2 3 − ÷−
− 1÷
=
−
1
+
2
3
−
÷
2 3
3
Vậy: I = −1+ 2 3 −
20)
e
I=∫
1
4 2
3
1 + 3 ln x . ln x
2
2 t5 t3
I = ∫ t.
tdt = ∫ t4 − t2 dt = − ÷
3 3
91
9 5 3 1
1
2
(
)
2 25 23 1 1 116
= − ÷− − ÷ =
9 5 3 5 3 135
116
135
Vậy I =
21)
ln 5
e2x
∫
I=
tdt = 2∫ t + 1 dt = 2 + t ÷ = 2 + 2÷− + 1÷ =
t
3 1
3 3
1
1
3
2 2
Vậy: I =
22)
4
I=
(
20
3
7
∫1+
0
)
x3
3
3 t dt 3
1
3 t2
I= ∫
= ∫ t − 1+
dt
=
− t + ln t + 1 ÷
÷
4 1 1+ t 4 1
1+ t
4 2
1
2 2
=
2
12
3
3 22
1
3 3 3
−
2
+
ln
2
2
tdt
3
Đổi cận:
x
t
0
2
3
2
2
I = ∫ t.tdt = t3
3 2
9
Vậy I =
1
3
3
=
2
(
2
3 3− 2 2
2
t3
2 2 1
I = ∫ t dx =
=
−
3
3
3
1
1
2
Vậy I =
2 2 −1
3
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1)
1/ 2
I=
∫
0
x2
π
4
sin2 t
14
1 1
4
I=∫
costdt = ∫ sin2 tdt = ∫ (1− cos2x)dt = t − sin2x÷
cost
20
2 2
0
0
0
1 π 1
= − ÷
2 4 2
1 π 1
VËy I = − ÷
2 4 2
2)
2
I = ∫ x 2 4 − x 2 dx
1
I = ∫ 4sin2 t.2cost.2costdt = 4∫ sin2 2tdt = 2 t − sin4t ÷
4
π
π
π
π
π
3
π 1 3
= 2 − 0÷− −
= 2 +
÷
÷
2 6 4 2
3 8
π
3
Vậy I = 2 +
3 8
3)
2/ 3
I=
∫
1
3
π
3
x
t
π
3
π
2
π
sint − cot t
.
dt = ∫ dt = t π2
cot t sint
π
3
I=∫
π
2
=
3
LG
Đặt x = 3tant ⇒ dx = 3
1
dt
cos2 t
Đổi cận:
4)
x
t
I=
3
∫
1
5)
0
I=
∫
−
2
π
4
I = −2 ∫
−
π
2
0
π
4
π
4
1+ cos2t
1+ cost
sin2tdt = −2 ∫
sin2tdt =
1− cos2t
1− cos2t
π
−
2
6)
π
4
π
π
π
4
4
4
a + acos2t
2cos2 t
2
2asin2tdt = −4a∫
sin
t
cos
tdt
=
−
4
a
cos
tdt
=
−
2
a
1
7)
I = ∫ x x 2 + 1dx
0
8)
3
I=
∫
4 − x 2 dx
−1
19
LG
Đặt x = 2sint ⇒ dx = 2costdt
Đổi cận:
x
t
π
3
−
π
6
π
π
π
3 π
3
3
1
3
= 2 t + sin2t ÷ = 2 +
−
−
−
=
2
+
÷
÷
=π + 3
÷ 6 4 ÷
3
4
LG
Đặt x = 3sint ⇒ dx = 3costdt
9)
Đổi cận:
x
t
π
6
∫
I=
−
=
π
6
∫
−
π
4
π
4
tan
t
+1
π =
2
−
cos t
3
4
6
10)
3
2
π
6
−3 2
2
π
−
4
∫
3 2
1
π
4
1
1 π4 π
2
2(tan
t
+
1
)
dt
=
t0 =
2
4
+
4tan
t
2
8
0
I=∫
21
Copyright: Tài liệu đại học ©