Bài 1: Tính các tích phân sau
1)
2)
I=
I=
π /3
cos x
dx
sin
x
−
5
sin
x
+
6
/6
∫
π
Đs: I = ln
sin 3 x
dx
2 + cos x
Hd: Đặt t = cos x
4
3
dx
Hd: Đặt t = 2 + e x
Đs: I =
)
Hd: Đặt t = 1 − x 3
Đs: I =
1
168
Đs: I =
π
6 3
Hd: Đặt t = 1 + x 2
Đs: I =
848
105
1 − 2 sin 2 x
dx
1 + sin 2 x
Hd: Đặt t = 1 + sin 2 x
Đs: I =
1
ln 2
2
sin 2 x
dx
4 − cos 2 x
Hd: Đặt t = 4 − cos 2 x
Đs: I = ln
π /3
∫
0
3)
I=
∫
1+ x2
3
0
dx
dx
e
6)
1 + ln 2 x
I=∫
dx
x
1
ln 2
7)
I=
1
∫
5
4
1
ln
8
(2 − 2 )(
(2 + 2 )(
)
2)
3+ 2
3−
Hd: Đặt
1
9)
I=∫
0
x
dx
x + x2 +1
4
∫
0
12)
I=
π /6
∫
0
13)
I=
π /2
cos x
∫
7 + cos 2 x
0
14)
15)
I=
9
π
6 2
7
6
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
1
ln 3
17)
I=
ex
∫
(e
0
x
2 3
Hd: Đặt t = x 2 + 4
Đs: I =
1 5
ln
4 3
Hd: Đặt t = x + 1
Đs: I =
11
− 4 ln 2
3
Hd: Đặt t = 1 + 3 ln x
Đs: I =
116
135
Hd: Đặt t = e x − 1
Đs: I =
20
3
I=
Đs: I = 2 − 1
x x +4
2
I=∫
Hd: Đặt t = e x + 1
2
5
19)
dx
1
∫
I=
)
+1
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1/ 2
1)
x2
∫
I=
1− x
0
2
dx
Hd: §Æt x = sin t
§s: I =
π 1
−
8 4
Hd: Đặt x = 2 sin t
4)
I=
I=
Hd: Đặt x =
1
sin t
∫
Đs: I = 2 3 − 6 +
∫
1+ x
dx
1− x
Hd: Đặt x = cos 2t
Đs: I = 1 −
Hd: Đặt x = a. cos 2t
π
Đs: I = a1 −
4
0
5)
1
∫
−a
a+x
dx
a −x
( a > 0)
1
7)
I = ∫ x x 2 + 1dx
0
3
2+ 2
ln
2
32− 2
(
1
∫
I=
−3 2
2
6
10)
I=
∫
3 2
2
11)
I=∫
0
(9 − x )
2 3
1
π
8
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: Tính các tích phân sau
1)
I=
π /3
cos x
dx
/ 6 sin x − 5 sin x + 6
∫
π
2
LG
Đặt sinx = t ⇒ cosxdx = dt
Đổi cận:
x
π
6
π
3
2
Vậy I = ln
2)
I=
π /3
∫
0
1
1
2
= ( ln t − 3 − ln t − 2 )
3
−3
2
= ln
− ln
3
−2
2
5 4− 3
−2
2
(
(
)
)
(
)
5( 4 − 3 )
36− 3
sin3 x
dx =
2 + cos x
π /3
∫
0
1− cos2 x
sin xdx
2 + cos x
LG:
÷dt
2
+
t
t
+
2
t
+
2
1
1
1
I =∫
1
t2
5
1
1
= − + 2t − 3ln t + 2 ÷ = − + 2 − 3ln3÷− − + 1− 3ln ÷
2
8
2
1 2
∫
0
sin2x
dx =
2
2sin x + cos2 x
π /6
∫
0
2sin xcos x
dx
2sin2 x + cos2 x
LG:
2
2
Đặt 2sin x + cos x = t ⇒ ( 4sin xcos x − 2cos xsin x) dx = dt ⇔ 2sin xcos xdx = dt
Đổi cận:
π
6
5
4
I=
3
5
4
1
dx =
x +1
2
8
∫x
3
2
x
dx
x2 + 1
LG:
Đặt
x2 + 1 = t ⇒ x2 = t2 − 1
1
1 t −1
=
=
−
dt
=
ln
÷
∫
∫
2 t+1 2
t2 − 1 t 2 ( t − 1) ( t + 1) 2 2 t − 1 t + 1
)
1 1
1 1 3
= ln − ln ÷ = ln
2 2
3 2 2
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
5
Vậy: I =
1+ x2
xdx
LG
Đặt 3 1+ x2 = t ⇒ x2 = t3 − 1, 2xdx = 3t2dt
Đổi cận:
x
t
0
7
1
2
2
2
t − 13t2
3
3 t5 t2
I =∫
dt = ∫ t4 − t dt = − ÷ =
t 2
20
2 5 2 0
0
2 3
x
Đổi cận:
x
1
0
t
1
I =∫
0
(
e
1
1
t3
4
1+ t dt = + t ÷ =
3 0 3
Vậy I =
2
2tdt
t2 − 2
Đổi cận:
x
t
0
3
2
ln2
2
2
2
dt
dt
1 1
1
= 2∫
=
−
÷dt
2
∫
t
8
1
2
(
ln
ln
1
(2 − 2 )(
(2 + 2 )(
t− 2
(
)
3+
3−
2
=
t+ 2
1
(
)
6
I = ∫ x5 1− x3 dx = ∫ x3 1− x3 x2dx
0
0
LG:
3
2
Đặt 1− x = t ⇒ x dx =
dt 3
, x = 1− t
−3
Đổi cận:
x
t
0
1
1
x
dx
x + x2 +1
I=∫
4
0
LG
Đặt x2 = t ⇒ 2xdx = dt
Đổi cận:
x
t
0
0
1
1
1
dt
1
dt
u
0
π
6
π
3
⇒ I = 2∫
π
6
=
I=
3
∫
0
π
3
π
3
3 1
π
3
2 3π
9
3
( )
x5 1+ x2 dx = ∫ x2
0
2
1+ x2 xdx
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
8
LG:
Đặt 1+ x2 = t ⇒ 1+ x2 = t2, xdx = tdt
Đổi cận:
x
0
t
5 31
7
6
4
2
)
27
25 23 17
15 13 848
= − 2 + ÷− − 2 + ÷ =
5 3 7
5 3 105
7
Vậy I =
848
105
11)
I=
π /2
∫
0
1 ( t − 1)
dt
2
2
1 t−1
1 1
1
2
⇒I =∫
= ∫
dt = ∫ 1− ÷dt = ( t − ln t )
t
21 t
2 1 t
2
1
2
=
Vậy I =
12)
I=
π /6
∫
0
1
2
1
2
1
1
2
2
dt
dt
1
1
I =∫ 2
=∫
= ∫
−
÷dt
t
−
5
t
+
6
t
−
3
= ln − ln = ln
1
t− 2 0
−2
2
2
9
−2
2
1
2
Vậy I = ln
13)
I=
π /2
10
9
cos x
∫
7+ cos2x
dx =
x
I=
t
1
0
1
∫
2
0
π
6
1
dt
4 − t2
Đặt t = 2sinu ⇒ dt = 2cosudu
Đổi cận:
t
u
0
0
6
1
1
∫ du =
2
2
0
π
6
u =
0
π
6 2
π
Vậy I =
6 2
14)
e
∫
e
2
t2 − 1
2 tdt = I =
t
3− 2
1
2
∫(
1
t3
4 − t dt = 4t − ÷
31
2
)
2
π /4
cos2x
∫ 1+ sin2xdx
0
LG
Đặt 1+ sin2x = t ⇒ 2cos2xdx = dt
Đổi cận:
t
0
u
1
π
4
2
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
11
2
2
t
3
π
4
7
2
7
2
7
dt
7
7
= ln t 32 = ln − ln3 = ln
t
2
6
3
I =∫
Vậy I = ln
7
6
t
I=
2
0
2
2
3ln
2
2tdt
dt −2
∫ t3 = 2 ∫ t2 = t
2
2
2
2
= −1+ 2
Vậy I = 2 − 1
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
12
Đổi cận:
t
u
4
2 3
3
4
4
4
I =∫
tdt
1 1
1
1 t− 2
= ∫
+
dt = ln
÷
2
4 t+ 2 3
t − 4 t 4 3 t − 2 t + 2
(
dx
LG
x + 1 = t ⇒ x + 1= t2; dx = 2tdt
Đặt
Đổi cận:
x
1
2
t
2
3
3
t3 t2
t −1
I = 2∫
tdx = 2 ∫ t2 − t dx = 2 − ÷
1+ t
3 2
2
2
3 2
e
I=∫
1
4 2
3
1 + 3 ln x . ln x
dx
x
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
13
LG
2
Đặt 1+ 3ln x = t ⇒ 1+ 3ln x = t ;
1
2
dx = tdt
x
3
Đổi cận:
x
t
Vậy I =
21)
ln 5
e2x
∫
I=
ex −1
ln 2
dx
LG
ex − 1 = t ⇒ ex = t2 + 1; exdx = 2tdt
Đặt
Đổi cận:
x
t
2ln
1
5ln
7
∫1+
0
)
x3
3
x4 +1
dx
LG
Đặt
3
3
x4 + 1 = t ⇒ x4 + 1= t3; x3dt = t2dt
4
Đổi cận:
x
0
t
=
12
3
3 22
1
3 3 3
−
2
+
ln
2
+
1
÷− − 1+ ln1+ 1 ÷ = ln3+ − ln2 = ln +
4 2
2
4 2 8
2
4
Vậy: I =
3 3 3
+ ln
8 4 2
23)
1
3
3
=
2
(
2
3 3− 2 2
9
)
3 3−2 2
9
1
I = ∫ x x 2 + 1dx
0
LG
x2 + 1 = t ⇒ x2 + 1= t2; xdx = tdt
Đặt
Đổi cận:
15
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1)
1/ 2
x2
∫
I=
1− x2
0
dx
LG
§Æt x = sint ⇒ dx = costdt
§æi cËn:
x
0
t
0
I=∫
1 π 1
= − ÷
2 4 2
1 π 1
VËy I = − ÷
2 4 2
2)
2
I = ∫ x 2 4 − x 2 dx
1
LG
Đặt x = 2sint ⇒ dx = 2costdt
Đổi cận:
x
t
1
π
6
2
π
2
÷
÷
2 6 4 2
3 8
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
16
π
3
Vậy I = 2 +
3 8
3)
2/ 3
1
∫
I=
x x2 −1
π
3
π
2
π
sint − cot t
.
dt = ∫ dt = t π2
cot t sint
π
3
I=∫
π
2
=
1
3
π π π
− =
2 3 6
Vậy I =
1
dt
cos2 t
Đổi cận:
x
t
1
π
6
3
π
4
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
17
I=
3
3 3+ x2
dx
x2
∫
I = −2 ∫
−
π
2
0
π
4
π
4
1+ cos2t
1+ cost
sin2tdt = −2 ∫
sin2tdt =
1− cos2t
1− cos2t
π
−
2
6)
0
I =
∫
π
π
4
a + acos2t
2cos t
2
2asin2tdt = −4a∫
sin
t
cos
tdt
=
−
4
a
cos
tdt
=
−
2
a
∫
∫π (1+ cos2t)dt
a − acos2t
2sin2 t
π
π
4
18
1
7)
I = ∫ x x 2 + 1dx
0
8)
3
I=
∫
4 − x 2 dx
−1
LG
Đặt x = 2sint ⇒ dx = 2costdt
Đổi cận:
x
t
I=
π
π
6
π
π
π
3 π
3
3
1
3
= 2 t + sin2t ÷ = 2 +
−
−
−
=
2
+
÷
÷
=π + 3
÷
÷
2 2
2
t
I=
π
6
∫
−
π
4
3
2
π
6
−3 2
2
π
−
4
3costdt
( 9− 9sin t)
2
3
π
4
π
dt
1
6
=
tan
t
+1
π =
2
−
cos t
3
4
6
10)
I=
∫
3 2
1
x x2 − 9
1 π4 π
2
2(tan
t
+
1
)
dt
=
t =
4 + 4tan2 t
2 0 8
0
I=∫
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
20
Copyright: Tài liệu đại học ©