HTTP://DETHITHPT.COM

VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.
Phương trình mũ cơ bản:

ax  m với 0  a �1 .



Nếu m�0 thì phương trình vô nghiệm.



Nếu m 0 thì

ax  m� x  loga m.

Ví dụ mở đầu: Giải các phương trình sau:
a)

10x  1.

b)

2x  8.

c)

4x  4.

5

e)

 1.

Lời giải:
a)

10x  1 � x  log1  0.

b)

2x  8 � x  log2 8  3.

4x  4 vô nghiệm, vì 4x  0 với x ��.
d) ex  5 � x  ln5.
e) 3x  2 � x  log3 2.
c)

f)

3x 

1
�1 �
� x  log3 � �� x  log3 33  3.
27
�27 �


.
2

x

�1 �
�2 �  0 với x ��.
��

Bài tập trắc nghiệm: PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

Câu 1. Phương trình 52x1  1 có nghiệm là
A. x  1.

B.

1
x .
2

C.

1
x .
3

D. x  0.

Câu 2. Giải phương trình 3x1  4 . Ta có tập nghiệm bằng
A.

A.

x  log2 7.

B. x  16.

C.

x  log2 3.

D. x  3.

Câu 5. Tích các nghiệm của phương trình 2x  5x 6  1 là
2

A. 2.

B. 0.

C. 4.

D. 6.

Câu 6. Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: 7x25x9  343. Tổng x1  x2 bằng
A. 5.

B. 3.

C. 4.


B.

C.

m 1.

D.

�
m 0
.
�
m 1
�

32x1  2m2  m 3  0 có nghiệm.

� 3�
m��
1; �
.
� 2�

C.

�1 �
m�� ;0�
.
�2 �


0  a �1
a  a  ��
hoặc
�
�
� f  x  g x
�
�

�
a 0
�
.
�
�
f
x

g
x

0
�a 1 �




�
�



B.

B.

3

3x1

�1 �
��
�9 �

x  1.

Nghiệm của phương trình

x  1.

x 4

C.
4x6

5

là

6
x .

.
5

x1

�1 �
Tập nghiệm của phương trình � �  1252x bằng
�25 �

Câu 14.
A.

 1 .

B.

 4 .

C.

� 1�
 �.
�
�4

x2  2x 3

Câu 15.

x1 , x2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình 7

2

Phương trình

x  1.
Phương trình

x  100.

B.

D. 6.

5x1  5x  2.2x  8.2x là

8
x  log 5 .
3
2

C.

x  1.

7.3x1  5x 2  3x 4  5x 3 có nghiệm là
B. x  1.
C. x  2.

D.


 2

 0,25.

2
x  1, x   .
7

C.

7x

1
.
10

D.

x

D.

2
x  1, x  .
7

D.

x  7.



�2 ��25 � 125
Nghiệm của phương trình � �� � 
là
�5 ��8 � 64
x  2.

B.

x  3.

Tích hai nghiệm của phương trình

C.
4

x  1.
2x 3

x 8

1
3.243 x8  .9x 2 là
9


HTTP://DETHITHPT.COM
102
186
A. 




62
.
41

 III  : 5

x 2

 22 x .

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

 I

và

 II 

B.

 I

và

 III 



 I  ,  II  ,  III 

Giải phương trình

 x  2

đều vô nghiệm.

x2 x 5

 1; 5;3 . B.  1;5 .

C.

  x  2

x10

, ta được tập nghiệm là

 1;3 .

D.

 1; 3;5 .

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA
1. Phương pháp


ma
.    nb
.   ��� 
m
�b�

 vì b    0 � f  x  log
f x

a
b

n
m

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 25.
A.

Câu 26.

x

Giải phương trình

x

34  43 , ta có tập nghiệm là









B.
C.
D.
� 3
�
� 2
�
� 4
�
� 4
�.
3
3
4
3
� 4
�
� 3
�
� 3
�
� 3
�

 15

số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8. Khi đó
A. 13.

Câu 28.

A.

log9 x

2 x 2  x  3  0.

 1
C.  1
A.

Câu 31.

x

x

4 3
B.

Giải phương trình

1
2



1 log 3 .

1 log2 3; 1 1 log2 3 .
1 log2 3; 1

2

2
2x 1  5x1 , ta có tập nghiệm bằng

 1;1 log2 5 .

Cho phương trình

nhiêu?
A. 10.

D. x  3.

cũng là nghiệm của phương trình
C.


1 log 3 .

B.

D. 5.

A. x  12.

x   loga b , với a và b là các

C.

 1;1 log2 5 .

D.

 1; 1 log2 5 .

xlog x  1000x2 . Tích các nghiệm của phương trình là bao

B. 1.

C. 100.

D. 1000.

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

 

f  x
0
Loại 1: Phương trình dạng P a

1. Phương pháp
 Đặt t  af  x , điều kiện t  0 .

Nghiệm của phương trình

D. 2.

D. Đáp án khác.

32 x  32 x  30 là

A.

x  0.

B. Phương trình vô nghiệm.

C.

x  3.

D.

Câu 36.

Giải phương trình

 7  4 3

x




 1;2 .

31 x  31 x  10

A. có hai nghiệm âm.

Câu 39.

D.

5x1  5.0,2x2  26 có tổng các nghiệm là

A. 4.

Câu 38.

 0 .

C.

D. có một nghiệm âm và một nghiệm dương.

32x1  4.3x  1  0 có hai nghiệm x1, x2 trong đó x1  x2 , chọn phát

biểu đúng.
A.

2x1  x2  0.

Câu 40.


B. 0.
Cho phương trình





log2 6  4 2 .

Câu 43.
A.

x1.x2  1.

2x

A. 1.

Câu 42.

D.

2

x  1; x  2.

Câu 41.

x1  x2  2.


1.

C.

Tập nghiệm của phương trình

2

2.2sin

D.

 4x2 6

4

 2.2x

 2x2 3

1.
2

x

 2cos

x


A.

Câu 48.
A.

Câu 49.

B. 1.

4x

1
m .
4

B.

x2 5

 12.2x1

C. 0.

Với giá trị nào của m thì phương trình

m 0.

C.

 1 0 bằng


m 2.

Tìm m để phương trình

m �2.

Tìm m để phương trình

�
m 2
.
�
m  2
�

C. 2  m 2.

B. m 2.

Tìm m để phương trình

A. 2  m 3.

9x – m.3x  1  0 có 2 nghiệm phân biệt.

B. m  3.

2


3

Câu 52.

8
 m 9.
3

C.

D.

m 9.

 m 1 .16x  2 2m 3 4x  6m 5  0

Để phương trình

có hai nghiệm trái dấu

thì m phải thõa mãn điều kiện nào?
A.

4  m 1.

Câu 53.

Câu 54.

Phương trình

1  m 
12
2x

5
.
6

D. Không tồn tại m.

 1  * . Khi đó, phương trình  *

C. có 3 nghiệm.

D. Vô nghiệm.



log2 4x  2k3  x có 2 nghiệm phân biệt khi
B.

1
k .
2

C.

k  0.

D.


C.

C  :y 3  3
x

1

x

2  m�9.

D.

2 �m 9.



 m 2  m2  3m và  C2  : y  3x  1 . Tìm m để

2

A.

Câu 57.
A.

Câu 58.

5 40


 m 45.

C.

1�m 45.

D.

13
9

 m 65.

 2|x|1  3  m có đúng 2 nghiệm.
B. m�2.
C. m 2.
D. m 2.

Tìm m để phương trình 4|x|

Tìm m để phương trình

�
m 0
.
�
m

4

D.

�
m�1
.
�
m


4
�

2
2
 2;1�
�
.
9x  4.3x  8  m có nghiệm x ��
�
B. m�5.
C. m�4.
D. 5 �m�6245.

Tìm m để phương trình

4 �m�6245.

54
 3  m có nghiệm thì
3x

HTTP://DETHITHPT.COM
A. 3  m 9.
B.  13  m  9.
Câu 63.
A.

41�m�32.

Câu 64.
A.

4 x1 
B. m�41.

3 x

Tìm m để phương trình

Tìm m để phương trình

12 �m�2.

B.

9x

1 x2

9  m 3.


9

f  x
2. f x
2. f x
ma
.    n. ab
. 
 pb
.   0

1. Phương pháp

Chia cả 2 vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất (thông thường chia cả 2 vế cho cơ số nhỏ nhất).
Ví dụ: Chia cả 2 vế cho

b 2. f  x  , ta được:

2. f  x

�a�
m.� �
�b�

2
f  x
f  x
f  x
�
�a�

Câu 65.

Phương trình

A. 4.

Câu 66.
A.

Câu 67.
A.

Câu 68.

B. 3.
Phương trình

x  1; x  2.
Phương trình

�3
�
� ; 1;4;5�.
�2
Phương trình

A.

x  log



x  1; x  2.

D. Vô nghiệm.

6.22x  13.6x  6.32x  0 có tập nghiệm là tập con của tập
B.


4

1
x

�2
1 �
 ; 1; ;2�.
�
3
�3


6

1
x



9

D.

� 5  1�
x  log 3 �
.
� 2 �
�
�
2�

Phương trình

3.8x  4.12x  18x  2.27x  0 có tập nghiệm là

 2; 1;1;3 .


HTTP://DETHITHPT.COM
A.  1 .
B.  1;1 .
Câu 70.

log2 2x

Nghiệm của phương trình:

1
x  0; x  .
4



là
D. Vô nghiệm.

f x
f x
. 1
a    b    c với ab

1. Phương pháp

Đặt

f  x

ta

f  x
�1�
1
1
��  f x 


t
�a�
a

f  x


�m�
�b �
1
�� � 
t
�m�

2. Bài tập trắc nghiệm
x

Câu 71.

Phương trình

x  �2.

A.

Câu 72.
 1.

A.

Câu 73.

Câu 74.

B.



� ;4�.
�2

 2 3   2 3
x

B.

D.

1
x � .
2

x

C. 0.

3 5
B.

x  �4.

2  1  2 2  0 có tích các nghiệm bằng

B. 1.

 1;1 .

A.

D.

 2;2 .

D.

m��
2; � .
�

 m có nghiệm khi
C.

m� 2; � .

f x gx
f x g x
�
a   .a    a    
�
f  x
gx
f x
�
  .a    b  0
Loại 4: Phương trình dạng  .a
a 
f  x  g x
�g x  a
�


Câu 76.

2

2

42x  2.4x

Giải phương trình

 3;6 .

Câu 78.

Phương trình

B.

C. –1.
2

phương trình là bao nhiêu?
A. 0.
B. 1.

A.

 42x  0 có tích các nghiệm bằng



2

2

D. 2.

 2x 4  0 ta được tập nghiệm bằng

 3; 2 .

D.

 3; 2;1 .

2

3x  2x 3  3x  3x 2  32x  5x1  1

A. vô nghiệm.

B. có hai nghiệm thực phân biệt.

C. có ba nghiệm thực phân biệt.

D. có bốn nghiệm thực phân biệt.

Loại 5: Một số loại đặt ẩn phụ khác

Câu 79.

 1;log 10 .

C.

2

 1;4 .

D.

 1;log 14 .
2

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ ĐẶT ẨN PHỤ
KHÔNG HOÀN TOÀN

Câu 81.

Phương trình

A. 4.

Câu 82.
A.

Câu 83.
A.

Câu 84.



x 3  2

 x2.2

x  �1; x  3.

x 3  4

C.

 2;log 3 .

D.

3

 1;2 .

 2x1 có nghiệm là

1
x  � ; x  3.
4

D. Một kết quả khác.

x2.2x  4x  8  4.x2  x.2x  2x1 có tập nghiệm là



C.

 1;1 .

C.

 x  4 .9   x  5 .3
B.  0;2 .
x

 1;1;2 .

 1 .

D.

 2 .



2

x



 1;2 .

D.


B.

Phương trình

C.

B.

 1;0;2 .

Khi giải phương trình

C.

 1� 2 . D.  0;1� 2 .

3.9x 2   3x  10 .3x 2  3 x  0

 * , một học sinh lí luận

qua các giai đoạn sau:


 I  : đặt t  3 , điều kiện t  0.
Khi đó:  * trở thành: 3t   3x  10 t  3 x  0  **
x 2

2

�


Trong lí luận trên, giai đoạn nào sai?
A.

 I

C.

 II 

và

 II  .

và

 III  .

B.

 I  và  III  .

D.

 I  ,  II 

và

 III  .




HTTP://DETHITHPT.COM


Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:



Bước 2: Chứng minh hàm số

f  x  g x .

y  f  x đồng biến và hàm số y  g x là hàm nghịch

biến

� phương trình f  x  g x có nghiệm duy nhất


Bước 3: Nhẩm nghiệm



Bước 4: Kết luận

x0 sao cho f  x0   g x0  .

x  x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.



D.

 2 .

4x  3x  1.
A. Phương trình đã cho có nghiệm x  0.
Cho phương trình

B. Phương trình có đúng 2 nghiệm

x  0; x  1.

C. Phương trình có nghiệm duy nhất x  1.
D. Phương trình có nhiều hơn 2 nghiệm.

Câu 92.

Phương trình

A. 2 nghiệm.

Câu 93.
A.

3 x 

B. Vô nghiệm. C. 1 nghiệm.

Giải phương trình


B. 1.

C. 0.

D. 2.

3x  5x  6x  2.
A. Phương trình có đúng 2 nghiệm x  0; x  1.
Cho phương trình

B. Phương trình có đúng 3 nghiệm.
C. Phương trình có nghiệm duy nhất

x  1.

D. Phương trình vô nghiệm.

Câu 96.

Cho phương trình

A. 28.

Câu 97.

2 x

2x


Câu 99.

2x

Số nghiệm của phương trình

Câu 100.

Câu 103.

x

C.

B. 3.

D. 3.
x

 3x2 là

x  1; x  1.

0

x

0

x

6x  5x  2x  3x bằng

Tích các nghiệm của phương trình

A. 3.

2x 5

 3 5   3 5

x  0; x  1.

B.

 21

C. 1.

Nghiệm của phương trình

A. 4.

Câu 102.

2x 5

B. 2.

x  2; x  3.


 32x1 có nghiệm là . Khi đó giá trị biểu

1
log 9 2 bằng
2
2

A.

1
1 log9 2.
2
2

Câu 104.

B. 1.

C.
2x2  m 2 x 2m

2

4x  mx m1  4
A. vô nghiệm với m��.
Phương trình

B. có ít nhất 1 nghiệm thực với

1 log 9 2.

.
�
m 0
�

Câu 106.

 4mx 2

m 1.

B.
2

C.
2

 x2  2mx  m 0. Tìm tất cả các giá trị
0  m 1.

D.

m 0.

2

2sin x  31sin x  m.3sin x
A. vô nghiệm với m��.
B. có nghiệm với m��.
Phương trình

0  a �1 và b, c  0 :
loga b  loga c � b  c.



Khi a 1 thì



Khi 0  a  1 thì

loga b  loga c � b  c.

Hệ quả: Cho 0  a �1 và

b, c  0 :



Khi

a 1 thì loga b  0 � b  1.



Khi

0  a  1 thì loga b  0 � b  1.

Chú ý: Sử dụng kiến thức sau để xử lí các bài toán chứa tham số.

Xét bất phương trình



ax  m

 * .

m�0 thì tập nghiệm là S  � (vì ax  0 với x ��).
�  a  1
�
x  loga m    nêu
Nếu m 0 thì:  * � �
x  loga m    nê�
u  0  a  1
�
Nếu

2. Bài tập trắc nghiệm


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 107. Tập nghiệm của bất phương trình 52x2  25 là
A. x  2.

Câu 108.
A.

A.


x2

 1 là
C. x  0.

2

5x 7x12  1 là

�
x 2
.
�
x 4
�

C.

�
x 3
.
�
x 4
�

D. 3  x  4.

2
2x  x �4 có nghiệm
B. x �1.

x 2
.
�
x 0
�

Tập nghiệm của bất phương trình

 �;0 .

Câu 109.
A.

B.

Bất phương trình

x �log6 4.

B.

D. 1�x �2.

2x1.3x 2 �36 có nghiệm
x �log 3 8.

C.

2


f x
gx
a    a   � f  x  g x .

TH2: Cơ số a có chứa ẩn:

f x
gx
a    a   �  a 1 �
�f  x  g x �
� 0.

2. Bài tập trắc nghiệm
2 x

4x

Câu 113.
A.

� 2�
.
��; 5�
�
�

Câu 114.
A.

�2 � �3 �


x 2

C.

�
2
�
; ��
.
�
5
�
�

D.

� 2�
.
��; 3�
�
�

D.

 6; � .

 2x 3 có tập nghiệm là

 �;0 .


 2 3   2 3
x

C.

 1; � .



Số nghiệm nguyên của bất phương trình

A. 1.

B. 3.



10  3

3 x
x1

�2 �
Tập nghiệm của bất phương trình � �
�5 �

C.

 1; � .



10  3

x

B.

.
 �;0�
�



x 1
x 3

�2 �
 � � là
�5 �

.
 1;2�
�

A.



 �; 2 .


D.

�
0;2�
.
�
�

có tập nghiệm bằng

A.

 2; 1 � 2; � .

B.

 4; 1 � 2; � .

C.

 4;1 � 4; � .

D.

 2; 1 � 4; � .

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA

Câu 121.

2� �

x

x  log  log2 3 . B. x  log  log2 3 . C. x  log  log2 3 . D. x  log  log2 3 .
3
2
2
3

Câu 123.

3

Bất phương trình

�
x 3
.
�
x
�
1
�

Câu 124.
A.

�20 �
x  log 2 � �

2

có nghiệm

C. 3 �x �1.

D.

�
x 1
.
�
x
�
3
�

�2x1 có nghiệm

�
x 1
.
log3 2  1�x �1. B. �
x �1 log3 2
�

C.

�
x log3 2 1

1 x  4.

Câu 127.
A.

A.

1
1
 x .
16
2

B.

�
1;0 .
�

B.

 4;0 .

Câu 129.
A.

A.

A.


x1
.
�
x �2
�

D.

 3;1 .

D.

�\  0 .

D.

�
x 2
.
�
x �2
�

�14 có nghiệm
�
x 1
.
�
x �1
�

B.

Bất phương trình

m 3.

1�x �0.

C.

m 0.

D.

m 3.

4x   m 2 2x1  m2  2m 2  0 có tập nghiệm là � khi
m 2.

C.

m 2.

D.

m 1.

m.9x   2m 1 6x  m.4x �0 với x ��
0;1�
�


1

Số giá trị nguyên âm của m để

A. 6.

Câu 137.

 1;1 .

32.4x  18.2x  1 0 là tập con của tập

5.4x  2.25x  7.10x �0 có nghiệm là
B. 1�x �2.
C. 2 �x �1.

Bất phương trình

m 1.

Câu 136.

B.

Bất phương trình

m 3.

Câu 135.

�

Câu 132.

B.

Bất phương trình

1�x �1.

Câu 131.

4  x  1.

1 x
1 x
Bất phương trình � �  � �  12  0 có tập nghiệm là
�� ��
�3 � �3 �

 0; � .

Câu 130.

.
 0;1�
�

C.



x2  2x  3 �0 có nghiệm
�
x 3
�
x1 .
C. �
�
x �2
�

4x  3.2x  1  8
�0 có nghiệm
2x  1  1

D.

�
x 3
.
�
x �2
�


HTTP://DETHITHPT.COM
�
1�x �1
.
A. �

�
0

x

1
�

�
1
 x �1
�
.
C. 2
�
x �4
�

�
1 x �1
.
B. �
x �2
�

D.

�
x  1
.




�
x 0
.
�
1

x

2
�

C.

 



2



2x  2  1 . 2x1  5 có nghiệm

x  1.

x  2.



m�2 2.

D. m�4.

Với điều kiện nào của tham số m thì bất phương trình

nghiệm?
A.

0 �m�3.

B.

3 �m�5.

m�3.

D.

2x  7  2x  2 �m có
D.

m�3.

DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Phương pháp




D. x  1.

6x  4  2x1  2.3x có nghiệm
1 x  log2 3.

Nghiệm của bất phương trình

A. x  3.

Câu 148.

C.

5x  3x  8x có nghiệm
B. x  2.
C. x  2.

Bất phương trình

log2 3  x  1.

Câu 147.

 1; � .

Bất phương trình

A. x  1.

Câu 146.


HTTP://DETHITHPT.COM
A.  �;4 .
B.  4; � .
Câu 149.

Nghiệm của bất phương trình

A. x �0.

Câu 150.
A.

B.

Bất phương trình

�
 3 x  1
.
�
x 2
�

B.

1
0 �x � .
2


x2  x  6
�
x  3
.
�
1 x  2
�

C.

�
x  2
.
�
1 x  3
�