BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. Trong bài tập có những bài về góc giữa hai mặt bên, các em nhớ rằng góc giữa hai mặt phẳng là
góc giữa hai đường thẳng a và b (với a và b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng) cùng vuông góc
với giao tuyến của hai mặt phẳng tại cùng một điểm.
2. TRONG LỜI GIẢI CÓ TRÌNH BÀY: PHƯƠNG PHÁP THAM KHẢO (BÀI GIẢNG KHÔNG
ĐỀ CẬP VÌ PHƯƠNG PHÁP NÀY KHÔNG THUẬN LỢI LẮM CHO THI TRẮC NGHIỆM –
PHÙ HỢP CHO MỘT VÀI BẠN KHÔNG NẮM VỮNG HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN).
Phương pháp tọa độ trong không gian
a) Phương trình mặt phẳng
+ Mặt phẳng
dạng:

 MNP 

 MNP 

đi qua điểm

M  xM ; yM ; zM  N  xN ; y N ; z N  P  xP ; y P ; z P 
,
,
:
r
uuuu
r uuur
�
n�
MN
� , MP �  A; B; C  có
và có vectơ pháp tuyến


�
�
d  I ,  MNP   
uuuu
r uuur
�
MN , MP �
�
� .
Công thức tính nhanh:
uuur uuur uuur
�
AB, CD �
. AC
�
�
d  AB, CD  
uuur uuur
�
AB, CD �
�
� .
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD là:
uuu
r uuur
AB
.CD
cos �
AB, CD   uuur uuur
AB . CD

cos �
 ABC  ,  MNP  

 ABC 

ur uu
r
n1.n2
 ur uu
r 
n1 . n2

A1 A2  B1B2  C1C2
A12  B12  C12 . A22  B22  C22

 ABC  ,  MNP  
�

?

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 MNP  :
e) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng
sin �
AB,  MNP  
r
uuuu
r uuur

giác SCD . Góc giữa đường thẳng BG và mặt phẳng
A.

arctan

85
17 .

B.

arctan

10
17 .

C.

arcsin

85
17 .

D.

arccos

85
17 .

Lời giải

Dùng định lý cosin ta có

BK 

a 34
6 .

GK
85

� 
tan �
BG,  ABCD    tan GBK
BK
17 .

Câu 2:

[2H1-3]Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB  a , SA  a 3 . Gọi G là trọng tâm tam
giác SCD . Góc giữa đường thẳng BG và đường thẳng SA bằng

A.

arccos

330
110 .

B.


Vì G, E lần lượt là trọng tâm tam giác SCD và ACD nên

1
a 3
GE  SA 
3
3 .

Kẻ GK song song với SO và cắt OM tại K ,

mp  ABCD 
suy ra K là hình chiếu của G trên
.
Ta có

AO 

a 2
a 10
1
a 10
2a 2
SO 
GK  SO 
BE 
2 ,
2 ,
3
6 ,
3 .


BG 2  GE 2  BE 2
33
�
cos BGE 

2 BG.GE
11 .
suy ra

Câu 3:

[2H1-3]Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , SA  a 3 . Gọi M là trung

 SDM  và  SBC  bằng
điểm cạnh BC . Góc giữa hai mặt phẳng
A.

arctan

2 11
110 .

B.

arctan

110
11 .


 HK //CM  , khi đó �
 SDM  ,  SBC    �
Kẻ HK  SM tại K
.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Ta có

SO  SA2  OA2 

a 110
a 10 EH  2 OI  2 SO.OM

3
3 SO 2  OM 2
33 .
2 ,

1
a
�  2 110
�
HK  CM 
�
 tan HKE
tan
SDM
,

6 .

B.

arctan

31
3 .

C.

arctan

93
3 .

D.

arctan

31
2 .

Lời giải
Chọn C.
Phương pháp dụng hình

mp  OBC 
Gọi H là hình chiếu của M lên
.


a 31
3 .

HC
93

HM
3 .

[2H1-3]Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC
và mặt phẳng

 OBC 

giữa hai mặt phẳng

A.

arcsin

bằng 60�, OB  a , OC  a 2 . Gọi M là trung điểm cạnh OB . Góc

 AMC 

3
35 .

B.


AM  OA2  OM 2 

5a
2 .

CM  OC 2  OM 2 

3a
2 .

AC  OC 2  OA2  2 2a . Suy ra:
SACM 

a 2 14
2
(Dùng công thức Hê-rông)

1
a3 3
VA.OCM  OA.OC.OM 
6
6 . Suy ra
d  O,  ACM   

3VO. ACM
3
a
 d  B,  ACM  
S ACM
14


với

AC

và

OA.OC a 6

AC
2 .

Tam giác OIB vuông tại O có
sin �
 ACM  ,  ABC   
Câu 6:

tại

OI 

a 6
a 10
� BI 
2 , OB  a
2 .

d  B,  ACM  
BI


AC   BDF  � AC  BF
AC.BF   90�
�
Lại có AC  BD nên
. Vậy
.

C2: Phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có:

A  0; 0;0 

,

B  a; 0; 0  C  a; a;0  S  0;0; 2a 
,
,
.

�a a � uuur � a a � uuur
F � ; ; a � BF  �
 ; ;a�
2
2
2 2 �, AC   a; a;0  .
�
�
�
Suy ra
,

C.

cos  

7
14 .

D.

cos  

5
7 .

Lời giải
Chọn A.
C1: Phương pháp dựng hình

MH //SA � MH   ABC 
Gọi H là trung điểm của AC khi đó
.

 ABC  là BH .
Vậy hình chiếu của BM lên mặt phẳng
�
BH 
�
BM ,  ABC    �
BM , BH   MBH
Suy ra 

�
�2
�
H  0; 0;0   0;0; a 
�
�
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó
,
,

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


uuuu
r � a 3
�
uuuur
� BM  �
;
0;
a
�
� 2
� HM   0;0; a 
�
�,
.

mp  ABC 
Giả sử góc giữa BM và


Lời giải
Chọn B.
C1: Phương pháp dựng hình
Ta chứng minh được
Kẻ

BH  SC  1

BC   SAB  � BC  SB CD   SAD  � CD  SD
.

. Ta có

BD   SAC  � SC  BD  2 

 1 ,  2  � SC   BHD 
Từ

� SC  DH . Vậy

BH , DH 
 SBC  ,  SDC    �
�
.

Tam giác SBC vuông tại B , đường cao BH
� BH  DH 

.

BH , DH   � �
 SBC  ,  SDC    cos �
2   SBC  ,  SDC    60�.
Vậy

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


C2: Phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

A  0;0;0  B  a;0;0  C  a; a;0  D  0; a;0  S  0;0; a 
,
,
,
,
.
uur
uuu
r
uuu
r
SB   a;0;  a  SC   a; a;  a  SD   0; a;  a 
Suy ra
,
,
.
r
uur uuu
r

 SBC  ,  SDC    60�.
Vậy
Khi đó

Câu 9:

[2H1-3]Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  a .Hai mặt
phẳng

 SBC 

 SAB 

và

 SAC 

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng

a 2
là 2 . Tính góc  tạo bởi hai đường thẳng SB và AC .

B.   90�
.

A.   45�.

C.   30�
.


AK 

a 2
2 .

1
1
1
2 1
1


 2 2 2
2
2
2
AK
AB
a a
a
Tam giác SAB vuông tại A , đường cao AK nên ta có SA

� SA  a .
AC //BD � �
AC , SB   �
BD, SB 
Dựng hình bình hành ACBD như hình vẽ, khi đó
.
Tính được SD  a 2 , SB  a 2 , BD  a 2 nên tam giác SBD đều.


BS . AC 2 � �
AC , SB   60�
Vậy
.

 SAB 
Câu 10: [2H1-3]Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng
a3
 SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khôi chóp S . ABCD là 3 . Tính
và

 SCD  .
góc  giữa đường thẳng SB và mặt phẳng
C.   30�
.

B.   60�.

A.   45�.

D.   90�
.

Lời giải
Chọn C.
C1: Phương pháp dựng hình
Hai mặt phẳng

mp  ABCD 



Vậy diện tích tam giác SCD là:

S SCD 

1
a2 2
SC.CD 
2
2 .

�
�
SCD 
SB,  SCD    �
SB, SI   BSI


I
B
Gọi là hình chiếu của
lên mặt phẳng
, khi đó
.
BI 

Mặt khác

3VB.SCD 3VS . ABCD a 2


D  a;0;0  B  0; a; 0  C  a; a;0  S  0;0; a 
,
,
,
,
.
uuu
r
uuu
r
uur
SD   a;0;  a  SC   a; a;  a  SB   0; a;  a 
Suy ra
,
,
.
r
uuu
r uuu
r
�  a 2 ; a 2 ; 2a 2 
n�
SD
,
SC
SCD 

�
�
Mặt phẳng

cos  

1
5.

B.

5
7 .

cos  

C.

cos  

7
7 .

D.

cos  

1
3.

Lời giải
Chọn A.
C1: Phương pháp dựng hình
Hai mặt phẳng

 SAB  ,  SBC    �
Vậy IM  SB , CI  SB 
.
AB.SA
a 3
SA SB
MB.SA 


� MI 
2
2
4 .
2 SA  AB
SB
Hai tam giác SAB và MIB đồng dạng nên MI MB

Tam giác CMB vuông tại M nên
Tam giác IMB vuông tại I nên
Tam giác CIB vuông tại I nên

CM  CB 2  MB 2 

IB  MB 2  IM 2 
CI  CB 2  IB 2 

a 3
2 .

a

0;
0
S
;0;
a
3
�
�
�
B
0;
;
0
�2
� �
�
� �2
M  0; 0;0 
2
�
�
�
�.
�
�
Khi đó
,
,
,


�
�2
� MB  �
2 �.
�
�
�
�
�
,
,
,

r
uur uur
�a 2 3 3a 2 �
� �
n�
SA
,
SB
�
� � 2 ; 2 ;0 �
�
SAB 

�
�.
Mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là

Câu 12: [2H1-3]Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA  a , SB  a 3 và
mặt phẳng

 SAB 

vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC . Tính côsin của góc giữa đường thẳng SM và DN .

5
A. 5 .

5
B. 4 .

a 5
C. 5 .

a 5
D. 4 .

Lời giải
Chọn A.
C1: Phương pháp dựng hình
Gọi E là trung điểm của AD , F là trung điểm của AE .

� �
SM , DN   �
SM , MF 
Ta có MF //BE //ND


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


a 5
2 ( SHF vuông tại H ).

SF  SH 2  HF 2 

2
2
2
�
Định lí côsin trong SMF : SF  SM  MF  2 SM .MF .cos SMF

�

5a 2
5a 2
a 5
5
�
�  5 � cos �
 a2 
 2a.
.cos SMF
� cos SMF
SM , MF  
4
4

Vậy

uuur uuur
SM .DN
5
cos �
SM , DN   uuur

5
SM . DN

.

Câu 13: [2H1-3]Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 . Tam giác SBC

 ABCD  , đường thẳng SD tạo
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy
với mặt phẳng


A. 2 .

 SBC 

 SBD  và  ABCD  .
một góc 60�. Tính góc giữa

B. 3 .



�  60�
� �
SD,  SBC    DSC
DC

SH
�
Ta có
và DC  SC .

� SC 

SB.SC a 2
CD

 a � SH 
BC
3 � SH  IH � SHI vuông cân tại H .
tan 60�

� 
SIH
4.
Vậy

C2: Phương pháp tọa độ

SH   ABCD 
Từ S dựng SH  BC , suy ra
. Từ H dựng HI //AC , I �BD suy ra HI  BD .

BC
3
3.
tan 60�

� a 2 � �2a
� � a
�
a
S�
0;0;
�
B � ;0;0 � D �

; a 3;0 � HC  BC  BH 
�
�
H  0; 0;0 
3
�, � 3
3 ).
�, � 3
�(vì
, �

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


uur uuu
r














� 
SIH
4.
Vậy

B C có cạnh bên 2a , góc tạo bởi A�
B và mặt
Câu 14: [2H1-3]Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A���
C và
đáy là 60�. Gọi M là trung điểm của BC . Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng A�
AM .

2
A. 4 .

3
B. 2 .

3
.

N //AM � �
A�
C , AM   �
A�
C , A�
N
C � A�
Gọi N là trung điểm của B��
.
Suy ra

��
cos �
A�
C , AM   cos �
A�
C , AN   cos CA
N

NC có
Xét tam giác A�
N  AM  a ,
Ta có A�
Vậy

��
cos CA

C , AM  
4
4 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


C2: Phương pháp tọa độ
�a
�
C � ;0;0 �
M  0;0;0  A  0; a;0 
 0; a; 2a  .
�, A�
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó
,
, �3
uuuu
r � a
�
A�
C �

; a; 2a �� A�
C
3
�
�
Ta có
uuuu

phẳng

AB 
 C�

5 3
A. 6 .

và

 ABC  .
5 3
B. 2 .

3
C. 6 .

3
D. 2 .

Lời giải
Chọn A.
C1: Phương pháp dựng hình
Ta có

AB   ABC  � C �
AB 

AB   C �
CH 

� 
cos CAB

AC
� AC  4  cm 
AB
.

CH  AC.sin 60� 2 3  cm 
Trong AHC có
.

1
S A��
C�
A��
.C C � C �
C  5  cm 
CC 
2
Có
.

CH có
Trong C �

� �
tan CHC



C�
A   0; 4;  5  C �
� A, C B � 20;  20 3;  16 3 .
Lại có
,
r
ur
n  5;5 3; 4 3
C�
AB 
ABC 
n�
  0;0;1


Suy ra
có VTPT là
và
có VTPT là
.
ur r
�
n
.n
2 3
�
cos �
C
AB
,

AB  ,  ABC   
 C�
2
cos 
6 .

B C có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB  2a . Hình chiếu
Câu 16: [2H1-3]Cho hình lăng trụ ABC. A���

 ABC  trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa
vuông góc của A�lên mặt phẳng
C và  ABC  là
cạnh bên và mặt đáy bằng 60�. Góc giữa đường thẳng A�

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất



B. 6 .


A. 4 .


C. 3 .

D.

arcsin


A�
C ,  ABC   
�
4

tan �
A�
CH 

A�
H
1
CH
.

.

C2: Phương pháp tọa độ





H  0; 0;0  B  a; 0; 0  A  a; 0;0  C 0; a 3; 0
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
,
,
,
,


C ,  ABC    r r 

A�
C ,  ABC   
�
2
u.k
4.
Khi đó
. Vậy





http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


B C có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB  2a . Hình chiếu
Câu 17: [2H1-3]Cho hình lăng trụ ABC. A���

 ABC  trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa
vuông góc của A�lên mặt phẳng
B�
 BCC �
 và  ABC  là
cạnh bên và mặt đáy bằng 60�. Góc giữa hai mặt phẳng
A.

arctan

K , EK   B
KE
 BCC �
 ,  ABC    �
�
.

a 3
EK  BE sin 60�
�
2 .
Xét tam giác KEB vuông tại K và KBE  60�, ta có

��
tan B
KE 
EK vuông tại E , ta có
Xét tam giác B�

Vậy

B�
E a 3

2
EK a 3
2
.

B�

Mặt phẳng

có vectơ pháp tuyến
.
r
uuur uuur
� a 2 3 3;1;  1
n�
BC , BB�
BCB�


�
�
Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
.
rr
n.k
5
cos �
B�
 BCC �
 ,  ABC    r r 
5 � tan �
n.k
B�
 BCC �
 ,  ABC    2 .
Khi đó


B.

arccos

1
3.

C.

arccos

3
5 .

D.

arccos

6
12 .

Lời giải
Chọn D.
C1: Phương pháp dựng hình
Tính được AI  a 3 ,

AG 

2

6
A�
 ABB�
 ,  ABC    arccos
�
12

tan �
A�
EG 

A�
G
6
 23 � cos �
A�
EG 
EG
12 .

.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


C2: Phương pháp tọa độ






.

r
uuu
r uuur
�
69 2 3 �
� a 2 �
�
n�
AB
,
AA

23;
;
�
�
� �
3
3 �
ABB�
A�


�
�
Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến