BÀI TOÁN VẬN DỤNG
VỀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Oxyz

 Dạng 132. Bài toán vận dụng viết phương
trình mặt phẳng

Câu 01. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương
ABCD.A ’B’C ’D ’ , biết

A ( 0;0;0) , B ( 1;0;0) , D ( 0;1;0)  và A ’ ( 0;0;1) .

Phương trình

nào dưới đây là phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng CD ’ và tạo
với mặt phẳng ( B B’D ’D ) một góc lớn nhất?
A. x − y + z = 0 .

B. x − y + z − 2 = 0 .

C. x + 2y + z − 3 = 0 .

D. x + 3y + z − 4 = 0 .
Lời giải tham khảo
Ta có:

B ( 1;0;0) , B’ ( 1;0;1) , C ( 1;1;0) , D’ ( 0;1;1) . 

Do đó ( BB’D ’D ) có phương trình: x + y − 1 = 0

( P)



D. x + 4y − z + 1 = 0.
Lời giải tham khảo

Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng bất kỳ chứa ∆ không vượt quá khoảng
cách từ M đến đường thẳng ∆ và khoảng cách đó sẽ đạt giá trị lớn nhất khi mặt
uuuur
phẳng này chứa ∆ và nhận MH làm vectơ pháp tuyến trong đó H là hình chiếu
của M lên ∆.
uuuur
Ta có H ( 3;1;4) và MH ( 1; −4;1) .

Câu

03.

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ


3 a2 + b2 + c2

=

b
a2 + b2 + c2

0
Nếu b = 0 ⇒ cos ( (P ),(Q)) = 0 ⇒ ( (P ),(Q)) = 90

2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Nếu

b ≠ 0 ⇒ cos ( (P ),(Q)) =

1
2

 c
 c
2 ÷ + 4 ÷ + 5
 b
 b

=


A. 2x − y + 2z − 1 = 0 .

B. 10x − 7y + 13z + 3 = 0 .

C. 2x + y − z = 0 .

D. − x + 6y + 4z + 5 = 0 .
Lời giải tham khảo

Gọi A là giao điểm của d và ( P ) , m là giao tuyến của ( P ) và ( Q ) . Lấy điểm I trên d
.
·
Gọi H là hình chiếu của I trên ( P ) , dựng HE vuông góc với m, suy ra φ = IEH
là góc
giữa ( P ) và ( Q )
•

tan ϕ =

IH
IH
≥
. Dấu " = " xảy ra khi E ≡ A .
HE HA

uur
uu
r uur
Khi đó đường thẳng m vuông góc với d , chọn um = dd ; nP 
uur

Oxyz,

cho

mặt

cầu

x− 6 y− 2 z− 2
. Phương
=
=
−3
2
2

trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua M ( 4;3;4) , song song
với đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu ( S) ?
A. 2x + y + 2z − 19 = 0 .

B. x − 2y + 2z − 1 = 0 .

C. 2x + 2y + z − 18 = 0 .

D. 2x + y − 2z − 10 = 0.
Lời giải tham khảo
3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Lời giải tham khảo
Kiểm tra ta được AB song song với CD nên có vô số mặt phẳng mặt phẳng đi
qua hai điểm A và B và cách đều C và D .
Câu

07.

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz,

Cho

các

điểm

A ( 1;0;0) , B ( 0;1;0) , C ( 0;0;1) , D ( 0;0;0) . Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều 4 mặt


MN AN AP 1
.
.
= thì
AB AC CB 2

mp( MNP ) chia khối tứ diện ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau có vô số
mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu.
5

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu

09.

Trong

không

gian

với

A ( 1;–2;0) , B ( 0;–1;1) , C ( 2;1;–1) và

hệ


Do đó có 7 mặt phẳng cách đều 4 điểm đã cho bao gồm.
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và song song với mặt phẳng ( ABC )
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng ( ACD )
+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AC và song song với mặt phẳng ( ABD )
+) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng ( BCD )
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và CD đồng thời song song với BC và AD
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và BC đồng thời song song với AB và CD
+) Mặt phẳng qua trung điểm của AC và BD đồng thời song song với BC và AD
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1;2;3) và mặt
phẳng

( P)

qua M cắt Ox , Oy , Oz tại A ( a;0;0) , B ( 0; b;0) , B ( 0;0; c)

(với

a, b, c > 0). Với giá trị nào của a, b, c thì thể tích khối tứ diện OABC (O là gốc tọa
độ) nhỏ nhất?
A. a = 9, b = 6, c = 3.

B. a = 6, b = 3, c = 9.

C. a = 3, b = 6, c = 9.

D. a = 6, b = 9, c = 3.
Lời giải tham khảo

Phương trình mặt phẳng là ( P ) :


≥ 27 . Vậy thể tích lớn nhất là: V = 27 .
a b c
abc
..
6

x y z
Vậy a = 3; b = 6; c = 9 . Phương trình là: ( P ) : + + = 1 ⇔ 6x + 3y + 2z − 18 = 0.
3 6 9
Câu

11.

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz,

cho mặt phẳng

x− 1 y+ 3 z− 5
và điểm M ( 2 ;3 ;1) .
=
=
1
2
−1
Gọi A là điểm thuộc đường thẳng d, B là hình chiểu của A trên mặt phẳng

( P ) : 3x − 3y + 4z + 16 = 0 ,
( P ) . Tìm tọa độ điểm

gian

với

hệ

tọa

+ ( y + 1) + ( z − 1) = 1 và mặt phẳng
2

2

độ

Oxyz,

cho

( P) : x + y + z + 5 = 0.

mặt

cầu

Điểm M

thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho qua M kẻ tiếp tiếp tuyến đến mặt cầu ( S) tiếp
xúc với mặt cầu ( S) tại N thỏa mãn MN nhỏ nhất. Mệnh đề nào dưới đây là
đúng?

A. M ( 3;0;0) .

B. M ( 6;0;0) .

C. M  9 ;0;0÷.
2


D. M ( 9;0;0) .

Lời giải tham khảo
Gọi ( α ) là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: ( α )
Tọa độ hình chiếu của O trên đường thẳng là M . Ta có tọa độ M là: M ( 3;3; −3)

(

)

Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng cần lập ta có: d O , ( α ) = OH ≤ OM .
Vậy khoảng các lớn nhất băng OM ⇒ ( α ) : x + y − z − 9 = 0
Vậy tọa độ giao điểm của ( α ) với Ox là N ( 9;0;0) .
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S) và mặt phẳng

( P)

không có điểm chung. Có bao nhiêu điểm thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho

qua điểm đó kể tiếp tiếp tuyến đến mặt cầu ( S) thỏa mãn khoảng cách từ
điểm đó đến tiếp điểm đạt giá trị nhỏ nhất?
A. 1 điểm.

đây là phương trình đi qua A và song song với ( P ) , đồng thời khoảng cách từ
B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất?
A.

x+ 1 y z− 2
.
=
=
31 12
−4

B.

x−1 y+ 4 z
=
= .
3
12
11

C.

x y+ 3 z−1
.
=
=
21
11
−4


tọa

độ

Oxyz,

cho

hai

điểm

A ( 1;2;2) ; B ( 5;4;4) và mặt phẳng ( P ) : 2x + y − z + 6 = 0. Gọi M là điểm thay đổi
thuộc ( P ) , tính giá trị nhỏ nhất của MA 2 + MB2 .
A. 60.

B. 50.

C.

200
.
3

D.

2968
.
25


A. một đường tròn.
B. một mặt cầu. C. một điểm.
D. một mặt phẳng.
Lời giải tham khảo
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có
uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuuu
r
uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuur
1
MA.MB + .MB.MC + .MC.MA = 0 ⇔ 3MG2 + GA.GB + .GBGC
.
+ .GC.GA = 0 ⇔ MG =
3
Vì d( G,(α )) =
Câu

18.

1
nên M là hình chiếu của G trên ( α ) : 3x + 6y − 6z − 1 = 0 .
3

Trong

B. M ( −3;1;1) .

C. M ( −2;1;3) .

D. M ( 3; −1;1) .

Lời giải tham khảo

(

)

2
2
2
2
Áp dung công thức 2 MA + MB = 4MI + AB   với I là trung điểm của đoạn AB.

Vậy để MA 2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất. Hay M là hình chiếu
vuông góc của I trên ( P ) .
I ( 2;3;1) , ta tìm được M ( −2;1;3) .
Câu

19.

Trong

không

gian

1
.
9

B. cosα =

1
.
6

C. cosα =

2
.
3

D. cosα =

1
3

.

Lời giải tham khảo
10

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Mặt phẳng ( Q ) đi qua điểm B nên có phương trình dạng

cosα =

3b
3. 5b2 + 4bc + 2c2

=

b
5b2 + 4bc + 2c2

+) Nếu b = 0 ⇒ cosα =0 ⇒ α =900 .

+) Nếu

b ≠ 0 ⇒ cosα =

1
2

 c
 c
2 ÷ + 4 ÷ + 5
 b
 b

=

1
2


03B

04B

05A

06D

07A

08D

09C

11A

12A

13D

14A

15D

16A

17C

18C