35 bài tập - Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O. Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với ∆
cho trước?
A. Vô số

B. 2

C. 3

D. 1

Câu 2. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song
C. Một mặt phẳng ( α ) và một đường thẳng a không thuộc ( α ) cùng vuông góc với đường thẳng b thì

(α )

song song với a.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi I, J, K lần lượt là
trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. ( IJK ) / / ( SAC )

B. Góc giữa SC và BD có số đo 60°

C. BD ⊥ ( IJK )

D. BD ⊥ ( SAC )


Câu 7. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
C. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một
đường thẳng thì song song nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.


Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. SA ⊥ ( ABCD ) . Các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A. SA ⊥ BD

B. SC ⊥ BD

C. SO ⊥ BD

D. AD ⊥ SC

Câu 9. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước?
A. 1

B. Vô số

C. 3

D. 2

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có tâm O, SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi I là trung điểm
của SC. Khẳng định nào sau đây sai?
A. BD ⊥ SC

A. SC ⊥ ( AFB )

B. SC ⊥ ( AEC )

C. SC ⊥ ( AED )

D. SC ⊥ ( AEF )

Câu 15. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng ( P ) , trong đó a ⊥ ( P ) . Chọn mệnh đề sai
trong các mệnh đề sau?
A. Nếu b ⊥ ( P ) thì a / / b

B. Nếu b / / ( P ) thì b ⊥ a

C. Nếu b / / a thì b ⊥ ( P )

D. Nếu a ⊥ b thì b / / ( P )


Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng ( P ) và đường thẳng b vuông góc với a thì b vuông
góc với mặt phẳng ( P ) .
B. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng ( P ) thì a song song
hoặc thuộc mặt phẳng ( P ) .
C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng ( P ) và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng ( P )
thì a vuông góc với b.
D. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc
với mặt phẳng đó.
Câu 17. Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB ⊥ ( ABC )

1
=
+
+
2
2
2
OH
OA OB OC 2

Câu 20. Trong không gian cho đường thẳng Δ không nằm trong mp ( P ) . Đường thẳng Δ được gọi là
vuông góc với mp ( P ) nếu:
A. vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp ( P ) .
B. vuông góc với đường thẳng a mà a song song với mp ( P ) .
C. vuông góc với đường thẳng a nằm trong mp ( P ) .
D. vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp ( P ) .
Câu 21. Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
A. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a / / c .
B. Nếu a vuông góc với mặt phẳng ( α ) và b / / ( α ) thì a ⊥ b .
C. Nếu a / / b và b ⊥ c thì c ⊥ a .
D. Nếu a ⊥ b, c ⊥ b và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng ( a, c ) .


Câu 22. Cho tứ diện SABC có SA ⊥ ( ABC ) và AB ⊥ BC . Số các mặt của tứ diện SABC là tam giác
vuông là:
A. 1

B. 3

C. 2

D. Tam giác SCD vuông ở D

Câu 26. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến
B. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với
mặt phẳng kia
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau
D. Với mối điểm A ∈ ( α ) và mỗi điểm B ∈ ( β ) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với d
D. Nếu hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) đều vuông góc với mặt phẳng ( γ ) thì giao tuyến d của ( α ) và ( β )
nếu có sẽ vuông góc với ( γ ) .
Câu 27. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng
vuông góc với đường thẳng kia.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Cho hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc
với mặt phẳng kia.
D. Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc
với đường thẳng kia.
Câu 28. Cho tứ diện ABCD có AB, BC , CD đôi một vuông góc. Điểm cách đều A, B, C, D là:
A. Trung điểm BC

B. Trung điểm AD

C. Trung điểm AC

D. Trung điểm AB


Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của S lên ( ABCD ) .
Khẳng định nào sau đây sai?

C. Tam giác cân

D. Tam giác vuông

Câu 33. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, O là trung điểm của đường cao AH của tam
giác ABC, SO vuông góc với đáy. Gọi I là điểm tùy ý trên OH (không trùng với O và H). Mặt phẳng ( P )
qua I và vuông góc với OH. Thiết diện của ( P ) và hình chóp S.ABC là hình gì?
A. Hình thang cân

B. Hình thang vuông

C. Hình bình hành

D. Tam giác vuông

Câu 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Mặt
phẳng ( P ) đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB, cắt AC, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác
MNPQ là hình gì?
A. Hình thang vuông

B. Hình thang cân

C. Hình bình hành

D. Hình chữ nhật

a 3
Câu 35. Cho tứ diện SABC có hai mặt ( ABC ) và ( SBC ) là hai tam giác đều cạnh a, SA =
. M là
2



HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án A
Rõ ràng A là đáp án đúng
Câu 2. Chọn đáp án B
Dựa vào đáp án, ta có các nhận xét sau:
• Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc chéo nhau.
• Một mặt phẳng ( α ) và một đường thẳng a không thuộc ( α ) cùng vuông góc với đường thẳng b thì

(α )

song song với a hoặc cắt nhau.

• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Câu 3. Chọn đáp án B
Ta có
 IJ / / AC
⇒ ( IJK ) / / ( SAC ) .
+) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB nên 
 IK / / SA
+) Gọi M là trung điểm của SA và O là tâm của hình vuông ABCD nên OM / / SC .
Khi đó (·SC , BD ) = (·OM , BD ) = 90° vì tam giác MBD cân tại M.
+) Ta có BD ⊥ AC và SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD
suy ra BD ⊥ ( SAC ) mà ( IJK ) / / ( SAC ) ⇒ BD ⊥ ( IJK ) .
Câu 4. Chọn đáp án A
Ta có HA = SA2 − SH 2 , HB = SB 2 − SH 2 , HC = SC 2 − SH 2 .
Bài ra SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC ⇒ H là tâm đường tròn
ngoại tiếp ∆ABC .
Mà ∆ABC vuông tại A ⇒ H là trung điểm của cạnh BC.

Mà K là trực tâm của ∆SBC ⇒ K ∈ SM ⇒ AH , SK , BC đồng quy tại M.
Câu 7. Chọn đáp án B
Rõ ràng A đúng.
Đáp án B sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Hiển nhiên C và D đúng.
Câu 8. Chọn đáp án D
Từ SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD ⇒ A đúng.
Từ SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD ⇒ BD ⊥ SA mà
 BD ⊥ SC
BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ 
⇒ B và C đúng.
 BD ⊥ SO
Rõ ràng BC không vuông góc với ⊥ SC mà AD / / BC ⇒ AD không vuông góc với SC ⇒ D sai.


Câu 9. Chọn đáp án A
Rõ ràng A là đáp án đúng.
Câu 10. Chọn đáp án D
Từ SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD ⇒ BD ⊥ SA mà
BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SC ⇒ A đúng.
Xét trên ( SAC ) , ta có OI là đường trung bình của
∆SAC ⇒ OI / / SA .
Mà SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ OI ⊥ ( ABCD ) ⇒ B đúng.
Theo trên thì BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SAC ) ⊥ BD mà OB = OD ⇒ C
đúng.
Từ SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AB ⇒ SB > SA ⇒ D sai.
Câu 11. Chọn đáp án A
Kẻ

HM ⊥ AB, HN ⊥ BC , HP ⊥ CA ( M ∈ AB, N ∈ BC , P ∈ CA ) Bài ra ta có ngay

d ⊂ α
 1 ( )
d 2 ⊂ ( α )

Rõ ràng B là đáp án đúng.
d ⊥ d1

d ⊥ d 2

Xét đáp án C → d1 / / d 2 ⇒ d có thể cắt ( α ) ⇒ C sai.
d ⊂ α
 1 ( )
d 2 ⊂ ( α )

Rõ ràng D là đáp án đúng.
Câu 13. Chọn đáp án A
Nhận định A chưa chắc đúng trong không gian.
Câu 14. Chọn đáp án D
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AE mà AE ⊥ SB
Ta có 
 BC ⊥ SA
⇒ AE ⊥ ( SBC ) ⇒ AE ⊥ SC .
CD ⊥ SD
⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AF mà AF ⊥ SD
Ta có 
CD ⊥ SA
⇒ AF ⊥ ( SCD ) ⇒ AF ⊥ SC .
 SC ⊥ AE
⇒ SC ⊥ ( AEF ) .

=
+
=
+
+
.
2
2
2
2
2
OH
OA OM
OA OB OC 2

Câu 20. Chọn đáp án D
Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ( P ) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt
phẳng ( P ) .
Câu 21. Chọn đáp án A
Trong không gian nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì chưa chắc a / / c . Tính chất này chỉ luôn đúng trong hình học
phẳng.
Câu 22. Chọn đáp án D
Các mặt của tứ diện là tam giác vuông là SAB, SAC, SAD, SBC.
Câu 23. Chọn đáp án B
Nếu a / / mp ( P ) và b ⊥ mp ( P ) thì a ⊥ b .
Câu 24. Chọn đáp án C
Ta có
+) SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC vì BC ⊂ ( ABC ) .
+) SA ⊥ BC và AB ⊥ BC suy ra BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH vì AH ⊂ ( SAB ) .
+) AH ⊥ BC và AH ⊥ SB suy ra AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC vì SC ⊂ ( SBC ) .

R = HA = HB = HC = HD ⇒ A và B đúng.
Từ đó tứ giác ABCD không nhất thiết là hình bình hành ⇒ D
sai.
(·SA, ( ABCD ) ) = SAH
·
·
, (·SB, ( ABCD ) ) = SBH

Lại có 
·
·
(·SC , ( ABCD ) ) = SCH
, (·SD, ( ABCD ) ) = SDH
·
·
·
·
Hơn nữa do SA = SB = SC = SD ⇒ sin SAH
= sin SBH
= sin SCH
= sin SDH
·
·
·
·
⇒ SAH
= SBH
= SCH
= SDH
⇒ C đúng.

và CM =

AC 3 12 3
=
= 6 3 ⇒ ∆BCM cân tại M.
2
2

Khi đó gọi H là trung điểm của cạnh BC ⇒ MH ⊥ BC
⇒ S BCM =

1
1
BC.MH = .12 BM 2 − BH 2 = 6 72 − 62 = 36 .
2
2

Câu 32. Chọn đáp án D
 M = ( P ) ∩ SC
⇒ thiết diện cần tìm chính là
Gọi 
 N = ( P ) ∩ AC
∆BMN .
Ta có SC ⊥ ( BMN ) ⇒ SC ⊥ BN ⇒ BN ⊥ AC .
Từ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BN ⇒ BN ⊥ SA .
Như vậy
 BN ⊥ SA
⇒ BN ⊥ ( SAC ) ⇒ BN ⊥ MN ⇒ ∆BMN

 BN ⊥ AC

BC ⇒ 
⇒ BC ⊥ ( SAI ) .
AI
⊥
BC

M kẻ MN vuông góc với BC, kẻ MP song song với
SA, P ∈ SB .
⇒ ( P ) ≡ ( MNP ) / / ( SAI ) ⊥ BC nên thiết diện là mặt phẳng

( MNP ) .
Ta
MN BM
BM
a −b a 3
3
=
⇒ MN =
. AI =
.
=
( a − b) .
AI
BA
BA
a
2
2
Và