Chương 33

PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

CHUYÊN ĐỀ 3
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
MỘT ẨN
b
= a có nghiệm duy nhất khi:
Câu 1. Phương trình
x +1
A. a ¹ 0 .
B. a = 0 .
C. a ¹ 0 và b ¹ 0 .
D. a = b = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Điều kiện: x ¹ - 1
b
= a ( 1) Û a ( x +1) = b Û ax = b - a ( 2)
Phương trình
x +1
Phương trình ( 1) có nghiệm duy nhất
Û Phương trình ( 2) có nghiệm duy nhất khác - 1
ìï a ¹ 0
ï
ïì a ¹ 0
ïì a ¹ 0
Û ïí b - a
Û ïí

=
Phương trình 2 x +
x- 1 x- 1
ïì
Vậy S = í
ïîï

3 ïü
ý.
2 ïþ
ï

Câu 3. Tập nghiệm của phương trình
ì 3ü
A. T = ïí - ïý .
ïîï m ïþ
ï
C. T = ¡ .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Điều kiện: x ¹ 0

( m2 + 2) x + 3m
x

éx = 1 ( l )
ê
ê 3
.
êx = ( n)

1/15


Chọn A.
Điều kiện: x ¹ 0
m 2 + 2) x + 2m
- 2
(
2
Phương trình
= 2 Û m x =- 2m Û x =
m
x
ïì - 2 ïü
Vậy S = í
ý.
ïîï m ïþ
ï
Phương trình x - m = x - 2 có nghiệm duy nhất khi :
Câu 5.
x +1
x- 1
A. m ¹ 0 .
B. m ¹ - 1 .
C. m ¹ 0 và m ¹ - 1 . D. Không có m .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
ïì x ¹ 1
Điều kiện: ïí
ïïî x ¹ - 1

Câu 6.
x- 1
nghiệm nguyên. Vậy nghiệm đó là :
A. - 2 .
B. - 1 .
C. 2 .
D. 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Điều kiện: x ¹ 1
Phương trình ( 1) thành
x +a
x- 2+
= a Û x 2 - 3x + 2 + x + a = ax - a Û x 2 - ( 2 + a ) x + 2a + 2 = 0 ( 2)
x- 1
Phương trình ( 1) có nghiệm duy nhất
Û Phương trình ( 2) có nghiệm duy nhất khác 1 hoặc phương trình ( 2) có 2
nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng 1
éa = 2 + 2 2
ê
ìï a 2 - 4a - 4 = 0 ìï a 2 - 4a - 4 > 0
ê
ï
ï
Û í
Èí
Û êa = 2 - 2 2
ïïî a +1 ¹ 0
ïïî a +1 = 0
ê

2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Điều kiện: x ¹ - 1
2mx - 1
= 3 Û 2mx - 1 = 3 x + 3 Û ( 2m - 3) x = 4 ( 2)
Phương trình ( 1) thành
x +1
Phương trình ( 1) có nghiệm
3
ïìï
ìï 2m - 3 ¹ 0
ïï m ¹ 2
ïï
Û Phương trình ( 2) có nghiệm khác - 1 Û í 4
Û í
.
ïï
1
¹ - 1 ïï
ïî 2m - 3
ïï m ¹ 2
ïî
Phương trình ax + b = cx + d tương đương với phương trình :
Câu 8.
A. ax + b = cx + d
B. ax + b =- ( cx + d )
Câu 7.

C. ax + b = cx + d hay ax + b =- ( cx + d )

ê
ê 7
êx =
ê
ë 4
Phương trình 2 x - 4 + x - 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?
Câu 10.
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có
ìï 2 x - 4 = 0
ìï x = 2
2 x - 4 + x - 1 = 0 Û ïí
Û ïí
( vl )
ïïî x - 1 = 0
ïïî x = 1
Suy ra S =Æ.
Phương trình 2 x - 4 - 2 x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?
Câu 11.
éx - 2 = 3 x - 5
Û
x - 2 = 3x - 5 Û ê
ê
ëx - 2 = 5 - 3 x

A. 0 .

é2 x - 4 = 2 x - 4
2 x - 4 - 2x + 4 = 0 Û 2x - 4 = 2 x - 4 Û 2x - 4 ³ 0 Ç ê
ê2 x - 4 = 4 - 2 x ( vl )
ë

ïì x ³ 2
Û ïí
Û x³ 2.
ïïî x Î ¡
Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 x + 2ax =- 1 có nghiệm duy nhất:
Câu 12.
3
A. a > .
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.

Câu 13.

B. a

2
Vậy phương trình ( 1) có nghiệm duy nhất Û ê
.
ê 3
êa >
ê
ë 2
2
Phương trình: x +1 = x + m có 1 nghiệm duy nhất khi và chỉ khi :
A. m = 0
C. m =- 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.

B. m = 1 .
D. Không tồn tại giá trị m thỏa.

ìï - x 2 + x +1 khi x ³ 0
.
x +1 = x 2 + m Û m = f ( x ) = ïí 2
ïï - x - x +1 khi x < 0
î
Biểu diễn đồ thị hàm số f ( x ) lên hệ trục tọa độ như hình vẽ bên trên. Dựa

vào đồ thị ta suy ra không tồn tại m để phương trình m = f ( x ) có duy nhất 1
nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình: x - 2 = 2 x - 1 là:
Câu 14.
A. S = { - 1;1} .
Hướng dẫn giải


Vậy S = {1}
Câu 15.

Tập nghiệm của phương trình
ïì 11 + 65 11 + 41 ïü
ïý.
;
A. ïí
ïï
14
10 ïþ
ï
î
ïì 11 + 65 11- 65 ïü
ïý .
;
C. ïí
ïï
14
14 ïþ
ï
î
Hướng dẫn giải
Chọn C.

x - 1 - 3x +1
=
( 1) là :
2x - 3

é 11 + 65
êx =
( n)
ê
14
2
2
2
ê
Phương trình thành x - 1 =- 6 x +11x - 3 Û 7 x - 11x + 2 = 0 Û
ê 11- 65
êx =
( n)
ê
14
ë

TH2: x
x2 - 4x - 2
= x - 2 Û x2 - 4 x - 2 = x - 2 Û x2 - 5x = 0 Û
x- 2

D. S = { 5} .

éx = 0
ê
êx = 5
ê
ë

( l)
( n)

Vậy S = { 5} .
2
Cho x - 2 ( m +1) x + 6m - 2 = x - 2 ( 1) . Với m là bao nhiêu thì ( 1) có nghiệm duy
Câu 17.
x- 2
nhất
A. m >1 .
B. m ³ 1 .
C. m 0 Û x > 2 .
( 1) Û x 2 - ( 2m + 3) x + 6m = 0 ( 2) , phương trình luôn có nghiệm là x = 3 và x = 2m


Phương trình thành ê
êx - a = 0
ê
ë
êx = a
ë
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Û 1 £ a < 4 .
Câu 19.

Số nghiệm của phương trình: x - 4 ( x 2 - 3 x + 2) = 0 là:
A. 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Điều kiện: x ³ 4

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

éx = 4 ( n)
ê
2
ê
Phương trình thành x - 4 ( x - 3x + 2) = 0 Û êx = 1 ( l ) Û x = 4 .
ê
ê
ëx = 2 ( l )
Phương trình ( x 2 - 3x + m) ( x - 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi :

9
ìïï 9 - 4m > 0
ïï m

Cõu 23.
ữ
ỗ
x
1
x
1
ố
ứ
ỳng 4 nghim.
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Hng dn gii
Chn A.
x2
t t =
x- 1
Phng trỡnh ( 1) thnh t 2 + 2t + a = 0 ( 2)

D. 3 .

Phng trỡnh ( 1) cú ỳng 4 nghim
phng trỡnh ( 2) cú 2 nghim dng phõn bit
ùỡù 4 - 4a > 0
ùù
ớ - 2 > 0 ( vl ) a ẽ ặ.
ùù
ùùợ a > 0
ổ 1ử

B. m .
C. m Ê - .
D. ờ
.
1
4
4
4
4
ờ
m
Ê
ờ
ờ
2
ở
Hng dn gii
Chn D.
iu kin x ạ 0
1
t t = x + suy ra t Ê - 2 hoc t 2 . Phng trỡnh ó cho tr thnh
x
2
t - 2mt - 1 + 2m = 0 , phng trỡnh ny luụn cú hai nghim l t1 = 1 ; t2 = 2m - 1 .
ộ
3
ờm
ộ2m - 1 2
ờ
2

Chn B.
2
ổ 2ữ
ử
4
2
2
2


ỗ
x
+
4
x
+
k
1
=
0
Ta cú:
ữ
x ữ 4 x ữ+ k + 3 = 0 ( 1) .
ỗ
2
ữ
ỗ
ố
ứ
x

12 − 2 −

Tìm m để
Câu 26.

(
(

xét trên, phương trình ( 1) có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 khi và chỉ

)
1 − k ) .1 − 2 < 0

1 − k .1 − 2 < 0 ⇔ −8 < k < 1

(x

phương trình :

2

2
+ 2 x + 4 ) – 2m ( x 2 + 2 x + 4 ) + 4m –1 = 0 có đúng hai

nghiệm.
A. 3 < m < 4 .

B. m < 2 - 3 Ú m > 2 + 3 .
m = 2 + 3
D. 

m = 2 + 3
⇔  2m > 3
⇔
.
m > 4

2
1. ( 3 − 2m.3 + 4m − 1) < 0

Câu 27.

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình :
nào dưới đây?
A. 2,5.
Lời giải
Chọn D.
Ta

có

:

B. 3.

x2 +

25 x 2

( x + 5)


.
= 11
÷
ç
÷
è
x +5 ç
x +5ø
x+5
x+5

 x2
2
 x +5 =1

x2  x2
 x2 
x2
⇔
+ 10 ÷ = 11 ⇔ 
− 11 = 0 ⇔  2

÷ + 10
x+5 x+5
x
+
5
x
+
5


2

Trang
8/15


Câu 28.

Có

bao

nhiêu

giá

trị

nguyên

của

m

để

phương

trình:

2

⇔
( 1) ⇔ x + 2 x − = 0
2

−2 − 6
∈ [ −3; 0 ]
x =

2
2

2

( 2 ) ⇔ ( x + 1)

2

2

= 2m . Phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn [ −3; 0] khi

phương trình ( 2 ) có hai nghiệm thuộc đoạn [ −3; 0]

m > 0
 2m > 0


1

ìï D ³ 0
ïï
ìï D > 0
ìï D > 0
A. D < 0 .
B. D < 0 Úí S < 0 . C. ïí
.
D. ïí
.
ïïî S < 0
ïïî P > 0
ïï
ïïî P > 0
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
Đặt t = x ( t ³ 0)
2
Phương trình ( 1) thành at + bt + c = 0 ( 2)

Phương trình ( 1) vô nghiệm
Û phương trình ( 2) vô nghiệm hoặc phương trình ( 2) có 2 nghiệm cùng âm
ìï D ³ 0
ïï
Û D

D. 0.

)

3 - 4.2. 8 + 63 = 4 - 2 195 - 8 63 < 0

Suy ra phương trình vô nghiệm.
Phương trình - x 4 - 2 2 - 1 x 2 + 3 - 2 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?
Câu 32.

(

)

A. 2.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
2
Đặt t = x ( t ³ 0)

(

)

B. 3.

C. 4.

2

2+ 3+ 5
, x =2

B. Có 2 nghiệm x =
C.

Có 2 nghiệm x =

D. Có 4 nghiệm x =

2+ 3+ 5
.
2
2 + 32

2+ 3+ 5
, x =2

5

, x =-

2 + 32

2+ 3+ 5
, x=
2

5


=- > 0
Ta có ïí ïï
a
2
ïï
ïï 12 c
= >0
ïï
a
ïî 2
Suy ra phương trình ( 2) có 2 nghiệm dương phân biệt

(

Câu 34.

)

Vậy Phương trình ( 1) có 4 nghiệm.
Cho phương trình x 4 + x 2 + m = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Phương trình có nghiệm Û m £

1
.
4

B. Phương trình có nghiệm m £ 0 .
C. Phương trình vô nghiệm với mọi m .
Trang
10/15

ïï
4 ïï
ïïî P > 0
ïïî m > 0
ïî m > 0
Phương trình có nghiệm Û m £ 0 .
Phương trình - x 4 + 2 - 3 x 2 = 0 có:

(

A. 1 nghiệm.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có

B. 2 nghiệm.

C. 3 nghiệm.

D. 4 nghiệm.

éx 2 = 0
- x + 2 - 3 x =0 Û x - x + 2 - 3 =0 Û ê
Û x2 = 0 Û x = 0 .
ê2
x
=
2
3
vl


)

C. 2 .

D. 3 .

Phương trình ( 1) thành t 2 - 2005t - 13 = 0 ( 1)
Phương trình ( 2) có a.c = 1.(- 13) < 0
Suy ra phương trình ( 2) có 2 nghiệm trái dấu
Ruy ra phương trình ( 1) có một nghiệm âm và một nghiệm dương.
Câu 37.
nghiệm là :
- 4
A. x =
.
B. x =- 4 .
3
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Trường hợp 1: x

Hướng dẫn giải
Chọn A.
ïì 2 x - 4 = 0
ïì x = 2
2 x - 4 + x - 1 = 0 Û ïí
Û ïí
( vl ) Û x Î Æ
ïïî x - 1 = 0
ïïî x = 1
Câu 39.
Cho phương trình: a x + 2 + a x - 1 = b .
Để phương trình có hai nghiệm khác nhau, hệ thức giữa hai tham số a, b là:
A. a > 3b .
B. b > 3a .
C. a = 3b .
D. b = 3a .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu 40.
Phương
trình:
x + 2 + 3x - 5 - 2 x - 7 = 0 , có nghiệm là :
é 5ù
A. " x Î ê- 2; ú.
B. x =- 3 .
C. x = 3 .
D. x = 4 .
ê
ë 3ú

ê 3û
ú
ë
Câu 41.
Phương
trình
2
2
x
3
x
3
- 2 x + + - 3x + 4 = có nghiệm là :
2
2
2
4
1
7
13
, x= , x= .
2
2
3
7
5
13
C. x = , x = , x = .
5
4

19
x2
3 x2
3
2
- 2 x + + - 3x + 4 = Û x - 5 x + = 0
4
2
2 2
4

é 5+ 6
êx =
( l)
ê
2
Û ê
.
ê 5- 6
êx =
( l)
ê
2
ë

TH 2: 1 < x < 2

Trang
12/15


2 2
4

13
x2
3 x2
3
( n) .
- 2x + + 3x - 4 = Û x =
4
2
2 2
4

thành:

19
x2
3 x2
3
2
- 2 x + + - 3x + 4 = Û x - 5 x + = 0
4
2
2 2
4

é 5+ 6
êx =
( l)

C. - 1 < k < 4 .
D. k >- 1 .
Hướng dẫn giải
Câu 44.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
2
æx - 2 x +1 ö
x +2
÷
÷
- m
= 12 có đúng 4 nghiệm?
phương trình: ç
ç 2
÷
÷
ç
x- 1
èx + 4 x + 4 ø
A. 14 .
B. 15 .
C. 16 .
D. Nhiều hơn 16 nhưng hữu hạn.
Hướng dẫn giải
Câu 45.
Cho
phương
trình:
3mx +1
2 x + 5m + 3

Phương trình ( 1) vô nghiệm Û

Phương trình

( 2) vô nghiệm hoặc phương

trình ( 2) có nghiệm duy nhất nhỏ hơn bằng - 1

Trang
13/15


ỡù 3m - 1 ạ 0
ử
5m +1 Ê - 3m +1 khi 3m - 1 0ữ
ùỡù 3m - 1 = 0 ùù
1 ổ 1 ộ
ờ
ữ
ớ
ẩ ớ 5m +1
m
ạ
ầ
m= ẩ ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ùùợ 5m +1 ạ 0 ùù
3 ờ

ữ
1ữ
3 ờ
3 ỗ
3
ỗ
ữ
ỗ
ờm 0 khi m < ữ
ữ
ỗ
ữ
ố
ờ
3ứ
ở
ộm < 0
ờ
Vy Phng trỡnh cú nghim ờ 1 .
ờm >
ờ
3
ở
x +m x- 2
+
= 2 .
Cõu 46.
Cho phng trỡnh:
x +1
x

ùỡ x ạ 0
iu kin: ùớ
ùùợ x ạ - 1
2
2
2
Phng trỡnh thnh x + mx + x - x - 2 = 2 ( x + x) ( m - 3) x = 2 ( 2) .

Phng trỡnh ( 1) vụ nghim
Phng trỡnh ( 2) vụ nghim hoc phng trỡnh ( 2) cú nghim duy nht
bng 0 hoc bng - 1 .
ổ
ử
ộ 2
ỗ
ờ
= 0 ( vl ) ữ
ữ
ỗ
ữ
ộm = 3
ỗ
ùỡù m ạ 3
ờm - 3
ữ
.
ữ
ờ
m
3

ỗ
ố
ờm - 3
ứ
ở
x 2 - 1 + x +1
= 2 . Cú
Cõu 47.
Cho phng trỡnh:
x ( x - 2)
nghim l:
A. x = 1 .
B. x = 3 .
C. x = 4 .
D. x = 5 .
Hng dn gii
Chn A.
ỡù x ạ 0
iu kin: ùớ
ùùợ x ạ 2
2
Phng trỡnh thnh x - 1 + x +1 = 2 x ( x - 2)
TH 1: x
2x - m
= m - 1 ( m là tham số).
x- 2
A. m = 3 .
B. m = 4 .
C. m = 3 Ú m = 4 .
D. m = 3 Ú m =- 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Điều kiện: x ¹ 2
Phương trình thành 2 x - m = mx - 2m - x + 2 Û ( m - 3) x = m - 2(2)
Phương trình (1) vô nghiệm
Û Phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm duy nhất
bằng 2
ïì m - 3 ¹ 0
ém = 3
ïìï m - 3 = 0 ïï
Û í
Èí m- 2
Û ê
.
ê
ïïî m - 2 ¹ 0 ïï
m=4
=2
ë
îï m - 3
3- 2x - x
= 5 có các
Câu 49.

1
( n) .
Phương trình thành 3 - 2 x + x = 15 +10 x + 5 x - 10 Û 16 x =- 2 Û x =8
3
TH 3: 0 < x