SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013

—————————

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————

Câu I (3.0 điểm).
�x  y  m  2
Cho hệ phương trình � 2
(trong đó m là tham số; x và y là ẩn)
2
2
x

y

2
x

2
y


m

�5 5 �
Câu VI (1.0 điểm).
1
Xác định hàm số f (x) biết: f  x   2 f    x  1 ; với x 0
 x
-------------Hết-------------

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm).

Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
Nội dung
Câu I.1 (1.5 điểm)
Đặt S  x  y ; P  xy . Khi đó hệ phương trình trở thành

Điểm

�S  m  2
�
�2
2
S


m 2



m2

4

2

m

 m 2
Hệ có nghiệm duy nhất khi 
. Thử lại ta thấy cả hai giá trị cùng thoả mãn
 m  2
Câu I.2 (1.5 điểm)
Ta có A 2 P  S  2013 2m 2  3m  2011

2

0,5
0,5

0,5
m
A

-2


 2 x  2   2 x  1  7  2 x  2   x  3

x  3  2x 1  7 2x  2





x  3  2 x 1  6  2 x  2   0
0,25

Đặt a  x  3  2 x  1; b  2 x  2 thay vào phương trình trên ta được
2a 2  7 ab  6b 2  0 �  2a  3b   a  2b   0 � 2a  3b; a  2b

0,25
0,25

+) a  2b � x  3  2 x  1  2 2 x  2 phương trình này vô nghiệm
+) 2a  3b � 2 x  3  2 2 x  1  3 2 x  2 giải phương trình này được nghiệm x  1 . 0,25
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x  1 .
Câu III. ( 2.0 điểm)
Từ (1) : (x +2)(x+1)(x-1)(x-2)
Ta có E  0;2  thuộc đường thẳng đã cho và d  E ; d  2 2  
 x  y  6 0

0,25

0,25
M lần lượt là giao điểm của l và hai đường thẳng vừa tìm. Vậy toạ độ M là nghiệm hệ:
  x  y  2 0

  x  3 y  3 0
  x  y  6 0 Vậy M(9/4;1/4); M(-15/4;9/4)

  x  3 y  3 0

0,5

2. (1.0 điểm)
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Do tứ giác BCB’C’ nội
�  FCA
� �
tiếp nên FDA
ABE  �
ADE � H nằm trên đường phân giác trong hạ từ D của tam
giác DEF, tương tự ta cũng chỉ ra được H nằm trên đường phân giác trong hạ từ đỉnh E của

0,25

tam giác DEF. Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF.
Ta lập được phương trình các đường thẳng DE, DF lần lượt là
DE : 3 x  y  5  0; DF : 3 x  y  7  0 . Do đó phương trình phân giác trong và ngoài của


F
B

0,25

H
A'

C

D

Câu VI. (1.0 điểm)



Theo đề ra ta có hệ: 



1
f ( x)  2 f    x  1
 x

1
1
f    2 f  x   1
x
 x