SKKN: DY GII BI TP
PHNG TRèNH QUY V PHNG TRèNH BC HAI
Mục lục
Trang
Phần I : phần mở đầu 1
I. Đặt vấn đề 2
II.Nhiệm vụ và phơng pháp nghiên cứu 4
Phần II: Nội dung đề tài
Chơng I :Lý luận chung 6
Chơng II: phơng trình quy về phơng trình bậc hai
I . Phơng trình bậc hai có 1 ẩn số 10
II. Phơng trình quy về phơng trình bậc hai
1. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu 13
2. Phơng trình đa về dạng tích 16
3. Phơng trình bậc bốn
3.1 Phơng trình trùng phơng 18
3.2 Phơng pháp đặt ẩn phụ 20
3.3 Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 21
3.4 Phơng trình chứa ẩn dới dấu căn 22
3.5 Phơng trình hồi quy 22
3.6 Phơng trình dạng af
2
(x)
+bf
(x)
+c=0 24
3.7 Phơng trình dạng (x+a)
4
+(x+b)
4
=0 26

năng tiếp thu kiến thức của học sinh đối với bộ môn toán chủ yếu thông qua giải
bài tập. Thông qua việc giải bài tập nhằm củng cố hoàn thiện kh¾c sâu nâng cao
( mức độ cho phép ) những nội dung kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng, thuật
giải , nguyên t¾c giải toán. Đối với học sinh lớp 9 ngoài việc truyền cho học sinh
những kiến thức, kĩ năng toán học theo yêu cầu của nội dung chương trình giáo
khoa đại trà chúng ta còn rất cần đầu tư bồi dưỡng cho một bộ phận học sinh khá,
giỏi đây là một việc rất cần thiết và phải được tiến hành thường xuyên ở trong các
nhà trường thcs. Nhằm tạo điều kiện để cho học sinh phát huy được năng lực
trí thông minh sáng tạo, giúp nâng cao chất lượng mũi nhọn, bồi dương đội ngũ
học sinh giỏi các cấp, phát triển nhân tài cho đất nước.
Ngêi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn
2
SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
- Một trong những chuyên đề kiến thức quan trọng đối với học sinh lớp 9 cần nắm
vững đó là giải bài tập về “Giải phương trình” nhưng nội dung chương trình sách
giáo khoa lớp 9 môn đại số mới chỉ quan tâm hướng dẫn kĩ học sinh cách giải
phương trình bậc hai,những phương trình có thể quy về phương trình bậc hai để
giải còn ít dạng, bài tập còn ít và dễ do các yêu cầu về nội dung chương trình
khung của Bộ giáo dục đã đề ra. Chưa đáp ứng được yêu cầu học tập nâng cao tri
thức kĩ năng của nhưng em học sinh có năng lực học tập khá, giỏi . Vì vậy chúng
ta cần quan tâm đến việc hướng dẫn, bồi dưỡng cho học sinh lớp 9 cách giải các
phương trình có thể quy về phương trình bậc hai. Những phương trình quy về
phương trình bậc hai này không mới, nhưng nó có thể mới với nhiều thầy cô, nhất
là đối với các em học sinh. Bởi vì những phương tr×nh quy về phương trình bậc
hai là vấn đề dạy giải các bài tập có đặc thù riêng. Lí thuyết chỉ dạy về phương
trình bậc hai nhưng ở đây dạy giải những phương trình ở những dạng khác có thể
đưa về phương trình trung gian là những phương trình bậc hai thường gặp trong
chương trình lớp 9 những bài toán hay và khó đặc biệt thường gặp trong việc thi
chọn HSG, thi vào trường chuyên.

mẫu mực cho học sinh noi theo.
- Rèn luyện cho học sinh nề nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện các thao
tác tư duy, phương pháp học tập chủ động, tích cực sáng tạo. Cũng thông qua đó
giáo dục cho học sinh giá trị đạo đức , tư tưởng lối sống phù hợp với mục tiêu,
giúp trau dồi cho các em các kiến thức phổ thông cơ bản gắn với cuộc sống cộng
đồng và thực tiễn địa phương có kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào thực
tiễn cuộc sống giải quyết một số vấn đề thường gặp trong cuộc sống của bản
thân, gia đình và cộng đồng. Đồng thời giúp các em tự tin giải toán trong các kì
thi cử.
2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
- Học sinh lớp 9 trường THCS Gia Têng – Nho Quan – Ninh Bình
- Giúp học sinh có các cách giải các phương trình bậc cao và một số phương
trình dạng khác
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong quá trình nghiên cứu để tìm ra phương pháp giảng dạy “Giải phương trình
Ngêi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn
4
SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
quy về phương trình bậc hai”có hiệu quả tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
- Tham khảo thu nhập tài liệu
- Thông qua các tổ chức hoạt động học tập của học sinh “Cách tốt nhất để hiểu
là làm” _ (Kant). Tự lực khám phá những điều mình chưa biết làm phát huy
tính tích cực chủ động của học sinh
- Phân tích tổng kết kinh nghiệm
- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra kết quả học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng
dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học, theo dõi quá trình học tập tiếp thu
kiến thức của học sinh, từ đó điều chỉnh và sử dụng linh hoạt các phương pháp
dạy học.
- Trưng cầu, tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhất là những giáo viên

+ Bài tập về tính toán
+ Bài tập về rút gọn
+ Bài tập về phân tích
+ Bài tập về giải phương trình, khảo sát hàm số
Ngêi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn
6
SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
- Các bài tập đưa ra cả đơn giản lẫn phức tạp. Có bài thuần tuý toán học và có cả
những bài mang nội dung thực tế.
2.2 Hệ thống bài tập phải đảm bảo tính mục đích của việc dạy học.
- Hệ thống bài tập chọn phải củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản – vì kiến thức cơ
bản là cơ sở để giải quyết nh÷ng vấn đề có liên quan. Có nắm vững kiến thức cơ
bản mới có hướng để vận dụng vào thực tế giải bài tập.
- Hệ thống bài tập phải đảm bảo trang bị kiến thức cho học sinh một cách có hệ
thống, chính xác. Góp phần rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh.
- Hệ thống bài tập chọn phải có tác dụng giáo dục tư tưởng cho học sinh thấy rõ
vai trò của toán học với thực tiễn, làm cho học sinh yêu thích môn toán có hứng
thú học tập đối với môn toán.
2.3. Hệ thống bài tập phải đảm bảo yêu cầu vừa sức, phù hợp với đối tượng học
sinh. Phải làm cho học sinh thấy cần và có khả năng giải các bài tập đã ra. Nếu ra
bài tập quá khó sẽ gây tâm lí lo ngại cho học sinh. Vì vậy khi bài tập thích hợp
chúng ta có thể chia ra thành các loại bài tập:
Loại 1: bài tập có tính chất củng cố lí thuyết. Loại bài này đòi hỏi tư duy ít phức
tạp, nên ra với học sinh trung bình, yếu.
Loại 2: Bài tập có sự vận dụng bước đầu các hình thức tư duy như áp dụng lí
thuyết có tính chất không đơn giản. Loại này thường ra với học sinh trung bình,
Khá.
Loại 3: Loại bài tập có tính phức tạp hơn, đòi hỏi các thao tác tư duy khéo léo,
mềm dẻo hơn, sử dụng lí thuyết phức tạp thường là kông trực diện. Loại bài này

phải tự tìm tòi tài liệu, biên soạn lấy bài tập vì thế nội dung giảng dạy chưa thống
nhất chung được.
- Sách giáo khoa và chương trình hiện hành đã đưa ra cho học sinh một số loại
phương trình quy về phương trình bậc hai, song mới chỉ dừng lại ở việc nhận
dạng, biết giải các phương trình đó ở diện học sinh đại trà.
Ngêi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn
8
SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
- Căn cứ vào tình huống dạy học: Bài tập của mỗi tiết học phải đảm bảo phù
hợp với đặc điểm của tiết học ấy. Chẳng hạn mới học song lí thuyết ta có thể đưa
ra cho học sinh những bài tập áp dụng đơn, giản trực tiếp về những phương trình
có thể quy về phương trình bậc hai, phương trình chứa ẩn ở mẫu,phương trình
trùng phương, phương trình vô tỷ...
- Ngoài hệ thống bài tập ở nhà , bài tập ôn tập... yêu cầu kiến thức phải nhiều
hơn về khối lượng cũng như yêu cầu cao hơn về tư duy.
B. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ KĨ NĂNG CẦN THIẾT KHI
HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.
- Các quy tắc tính toán về biểu thức đại số.
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Phép phân tích đa thức thành nhân tử.
- Giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số.
- Điều kiện để biểu thức có nghĩa.
- Phép biến đổi ( hay đặt ẩn phụ) trong phép biến đổi đại số trong giải
phương trình .
Ngêi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn
9
SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
CHƯƠNG II

2
b
a
− ± ∆
∆
= 0: phương trình bậc hai có nghiệm kép x
1
= x
2
=
2
b
a
−
∆
< 0: phương trình bậc hai vô nghiệm:
*) Đặc biệt khi b chẵn (b= 2b’, b
∈
Z) ta có thể nghiên cứu về nghiệm số của
phương trình bậc hai qua biệt số thu gọn
∆
’.
Do b= 2b’ nên
∆
= 4
∆
’ vì vậy
∆
và
∆

biệt và trái dấu ( vì
∆
> 0 )
b) Đối với một số phương trình bậc hai đơn giản ( với hệ số nguyên) trong
trường hợp phương trình có nghiệm (
∆

≥
0) ta có thể dùng định lí viet để
tính nhẩm nghiệm của phương trình.
ĐỊNH LÍ VIET:
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c=0 (với a
≠
0) có nghiệm số x
1
,x
2
(
∆

≥
0) thì
1 2
1 2
b
x x
a
c

bậc hai .
Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu khi:
1 2
0
0x x
∆ ≥


>

hay
2
4 0
0
b ac
c
a

− ≥


>


Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dương khi:
2
1 2
1 2
4 0
0

1 2
4 0
0
0 0
0
0
b ac
c
x x hay
a
x x
b
a


− ≥
∆≥


 
> >
 
 
+ <

−

<




=

Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu , trong đó nghiệm âm có giá trị
tuyệt đối lớn hơn khi:
1 2
1 2
0
0

0
0
c
x x
a
hay
x x b
a

<

<


 
+ > −


>


Sau khi dạy định lí viét tôi cho học sinh cách giải phương trình bậc hai theo
lược đồ
Ngêi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn
12
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
xác định
Phương trình có 2 nghiệm
x
1
= 1; x
2
=
Tính a + b + c
=0
Tính a - b + c
Phương trình có 2 nghiệm
x
1
= -1; x
2
=
=0
Tính = b
2
– 4ac
phương trình bậc hai có
hai nghiệm phân biệt:
x


⇔
2x
2
- 5x - 3 = 0
Tính
∆
= 25 + 24 = 49 =>
∆
= 7
Vậy
1
5 7
4
2.2
x
+
= =
;
2
5 7 1
2.2 2
x
−
= = −
b) x
2
- 3x + 3 = 0
Tính
∆

- Phương trình vô nghiệm ( không có nghiệm thực) khi
∆
<0
- Phương trình có nghiệm khi
∆

≥
0 khi đó phương trình có hai nghiệm phân
biệt hoặc có hai nghiệm trùng nhau ( nghiệm kép), tránh nhận thức sai lầm
khi
∆
= 0 phương trình bậc hai chỉ có một nghiệm.
II. PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :
Ta thường gặp một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai trong
trường phổ thông sau đây:
1.Phương trình chứa ẩn số ở mẫu:
a. Khái niệm:
Phương trình chứa ẩn số ở mẫu là những phương trình có ẩn số nằm ở mẫu
thức của phương trình nhờ các phép biến đổi tương đương ta đưa được
phương trình về dạng trung gian: phương trình bậc hai .
b. Cách giải:
Thực hiện các bước giải như trong quy tắc chung giải một phương trình: chú
ý biến đổi phương trình là tương đương ta làm như sau:
- Tìm điều kiện xác định của phương trình chính là đặt điều kiện để
phương trình có nghĩa ( giá trị của mẫu thức phải khác không)
- Khử mẫu ( nhân cả hai vế của phương trình với mẫu thức chung của 2
vế)
Ngêi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn
13
SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP

1 0
1
1 0
x
x
x
− ≠

⇒ ≠ ±

+ ≠

Mẫu thức chung :
2( 1)( 1)x x− +
Khử mẫu ta có:
2
3 ( 1) 2( 1) 2( 2)x x x x+ − − = +
Mở dấu ngoặc:
2 2
3 3 2 2 2 4x x x x+ − + = +
Chuyển vế đổi dấu :
2 2
3 3 2 2 2 4 0x x x x+ − + − − =
Thu gọn:
2
2 0x x+ − =
(b)
Giải phương trình (b) ta được hai nghiệm:
1 2
1; 2x x= = −

( 2)(2 3)
x x x
x x
= + + +
= + +
(a)
4 1 4 1
(2 3)( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)(2 3) 2 3x x x x x x x x
⇔ − − +
+ − + − + + + +
Điều kiện:
2 0
2
2 0
3
2 3 0
2
x
x
x
x
x
− ≠

≠ ±

 
+ ≠ ⇒
 
≠ −

Nhân hai vế của phương trình (4) với ta được phương trình hệ quả
(4) .
.
.
Phương trình cuối có hai nghiệm là và .Ta thấy không thỏa mãn
điều kiện của phương trình (4), đó là nghiệm ngoại lai nên bị loại, còn thỏa
mãn điều kiện và là một nghiệm của phương trình (4).
Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là .
Ngêi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn
15
SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
d. Nhận xét:
- Loại phương trình ở 2 ví dụ trên là dạng có nhiều ở trường trung học cơ sở.
- Khi giải cần lưu ý: Tìm miền xác định của phương trình, cuối cùng phải
nhận định kết quả và trả lời.
2. Phương trình đưa về dạng tích :
a. Dạng tổng quát: A.B = 0
0
0
A
B
=

⇔

=

b. Cách giải:
Để giải một phương trình bậc lớn hơn 2 ( đối với học sinh cấp 2) thường

=

⇔





±
=
±=
6
135
2
x
x
Vậy S =
5 13 5 13
2;2; ;
6 6
 
− +
 
−
 
 
 
b) (2x
2
+ x - 4)

= 1; x
2
= -2.5; x
3
= -1; x
4
= 1.5
Vậy S =
{ }
1 2 3 4
x = 1; x = -2.5; x = -1; x = 1.5
*Ví dụ 2: Giải phương trình:
3 2
2 7 7 2 0x x x+ + + =
(a)
Chú ý hệ số ở vế trái, phân tích thành nhân tử:
( ) ( )
xxx
xxx
7722
2772
23
23
+++=
=+++
3
2( 1) 7 ( 1)x x x= + + +
2
2( 1)( 1) 7 ( 1)x x x x x= + − + + +
( )

1
= -1; x
2
= -2; x
3
=
1
2
d. Nhận xét:
-Giải phương trình đưa về dạng tích chủ yếu dùng phép phân tích đa thức
thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích ta sẽ được một
phương trình mà vế trái gồm các phương trình bậc nhất, phương trình bậc
hai đã biết cách giải.
- Chú ý tới hai tính chất của phương trình bậc 3: ax
3
+ bx
2
+ cx+ d= 0
Nếu a+ b+ c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x
1
=1
Nếu a – b + c – d = 0

thì phương trình có một nghiệm x
1
= -1.
Ngêi thùc hiÖn: §Æng ThÞ Hång Quyªn
17