TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
KHOA TOÁN
***** & *****

NGUYỄN THỊ THÚY

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN TÌM PHÂN PHỐI
CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
Th.s.Nguyễn Trung Dũng

HÀ NỘI, 5/2014


Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luân này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến các thầy, cô giáo trong khoa toán nói chung và thầy cô
giáo trong tổ toán ứng dụng nói riêng đã tạo điều kiện cho em trong
suốt thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy
Nguyễn Trung Dũng - người đã giúp em tận tình trong quá trình
chuẩn bị và hoàn thành khóa luận.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Thị Thúy

i

CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI XÁC SUẤT . . . . .
2.1.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min . . . . . .
2.1.3 Phân phối của tổng và hiệu hai biến ngẫu nhiên
2.1.4 Phân phối của tích và thương . . . . . . . . . .
2.2 PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH MÔMEN . . . . . . .
2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập
2.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác
suất rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác
suất liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH CỦA VECTƠ NGẪU
NHIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

1
1
1
1
3
3
4

9
9
9

dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội
và nhân văn. Đặc biệt nó gắn liền với khoa học thống kê, môt khoa
học về các phương pháp thu nhập, tổ chức và phân tích các dữ liệu,
thông tin định lượng.
Với đề tài "TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM
CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN" khóa luận trình bày một số phương pháp
tìm phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên. Khóa luận gồm
2 chương:
Chương 1. Một số kiến thức cơ sở
Trong chương này, trình bày một số biến ngẫu nhiên thường gặp và
hàm sinh mômen của nó.
Chương 2. Các phương pháp tìm phân phối của hàm các biến ngẫu
nhiên
Trong chương này, trình bày một số phương pháp để tìm phân phối
xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên.
Với khóa luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu bổ ích cho
những ai quan tâm về phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên.

v


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1
1.1.1

MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP
Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Hàm số FX (x) = P {ω ∈ Ω : X (ω) < x} , x ∈ R,

Định nghĩa 1.4 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson
với tham số λ(λ > 0), nếu

P (X = k) =

e−λ λk
, k=0, 1, 2, ...
k!

Kí hiệu X ∼ P oi(λ).
c. Phân phối chuẩn (phân phối Gauss)

Định nghĩa 1.5 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn
với tham số (µ, σ 2 ) với −∞ < µ < +∞, σ 2 > 0 nếu hàm mật độ có
dạng

(x − µ)2
fX (x)= √
· exp −
2σ 2
2πσ 2
1

, −∞ < x < +∞.

Kí hiệu X ∼ N (µ, σ 2 ).
Trường hợp đặc biệt, nếu µ = 0, σ 2 = 1 thì X được gọi là có phân
phối chuẩn tắc, kí hiệu X ∼ N (0, 1).
Chú ý Nếu X ∼ N (0, 1) thì
x


K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

e. Phân phối đều

Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều
trên đoạn [a, b] nếu hàm mật độ xác suất có dạng

 1
, x ∈ [a, b]
fX (x) = b − a
0
,x ∈
/ [a, b] .
Kí hiệu là X ∼ U (a, b).
f. Phân phối Gamma

Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gamma
với các tham số r > 0, λ > 0 nếu hàm mật độ xác suất có dạng

λ

 r xλ−1 e−rx , x > 0
fX (x) = Γ(λ)

0
, x ≤ 0.


t
t2 E(X 2 )
i
E(X ) = 1 + tE(X) +
+ ...
i!
2!

3

(1.1)

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Với t=0 ta có mX (0) = 1.
Từ điều kiện tồn tại của mX (t) ta đạo hàm 2 vế của (1.1) đối với t
ta được
t2 E(X 3 )
2
mX (t) = E(X) + tE(X ) +
+ ...
(1.2)
2!
Cho t = 0 ta được mX (0) = E(X).
Đạo hàm 2 vế của (1.2) đối với t ta được
mX (t) = E(X 2 ) + tE(X 3 ) + ...

t

Ta có mZ (t) = E(e ) = E(e

ai Xi
i=1

n

n
tai Xi

)=

Ee
i=1

1.2.2

=

mXi (ai t).
i=1

Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường
gặp

a. Biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối nhị thức B(n, p) thì


Cnk (et p) q n−k = (pet + q) , q = 1 − p.

=
k=0

b. Biến ngẫu nhiên có phân phối Poison

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Poisson P oi(λ) thì
t

mX (t) = eλ(e −1) .
Thật vậy, ta có
∞
tX

mX (t) = E(e ) =
k=0
t k

∞

= e−λ
=e

e

tk λ

k=0

5

.

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Thật vậy,
+ Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N (0, 1) thì
+∞
−x2
1
√ etx e 2 dx
2π

mX (t) = E(etX ) =
−∞
+∞

=
−∞

+∞
t2 −x2 −t2
1
√ etx e 2 e 2 e 2 dx =
2π


√

=
−∞
+∞

√

=
−∞

1

(x−µ)
tx − 2σ2

2πσ 2
1

e e

tx

2πσ 2
1

2

e e


dx

2 2

e

tµ+ σ 2t

dx

+∞
2 2
tµ+ σ 2t

√

=e

2 2

tµ+ σ 2t

=e

−∞

1
2πσ 2

2


etx λe−λx dx

mX (t) = E(etX ) =

0
+∞

+∞

λ
λe−(λ−t)x dx =
λ−t

=

e−(λ−t)x d(λ − t)x
0

0

λ
=
.
λ−t
e. Biến ngẫu nhiên có phân phối đều

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối đều thì

et

.

Thật vậy, ta có
+∞

rλ λ−1 −rx
x e dx
e
Γ(λ)
tx

tX

mX (t) = E(e ) =
0
+∞

e−(r−t)x

=

rλ λ−1
x dx,
Γ(λ)

0

trong đó
+∞


PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC
BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1
2.1.1

PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Mô tả phương pháp

Cho X1 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên và g1 (·, . . . , ·), g2 (·, . . . , ·), . . . ,
gk (·, . . . , ·) là các hàm đo được trên Rn . Khi đó hàm phân phối xác
suất đồng thời của các biến ngẫu nhiên Y1 ,...,Yk được xác định bởi

FY1 ,...,Yk (y1 ,y2 ,...,yk ) = P [Y1
2 y 2π
y
1
d
(FY (y)) = √ √ e− 2
Suy ra fY (y) =
dy
y 2π
1
1
1
√ e− 2 y
=
với y > 0.
1
2y
Γ
2







1
1
1
√ e− 2 y
1


K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định lý 2.1 Nếu X1 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và có các
hàm phân phối xác suất tương ứng là FXi (·), Yn = M ax[X1 , . . . , Xn ]
thì
n

FYn =

FXi (y).
i=1

Nếu X1 , . . . , Xn có cùng hàm phân phối xác suất là FX (·) thì

FYn (y) = [FX (y)]n .
Chứng minh.

FYn (y) = P [Yn < y] = P [X1 < y,...,Xn < y] (do X1 , ..., Xn độc lập)
n

n

P [Xi < y] =

=
i=1

n

FY1 (y) = 1 −

[1 − FXi (y)].
i=1

Nguyễn Thị Thúy

11

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Nếu X1 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phân
phối xác suất là FX (.) thì
FY1 (y) = 1 − [1 − FX (y)]n .
Chứng minh.
Nếu X1 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lâp và có hàm phân phối
xác suất tương ứng là FXi (·), Y1 = M in[X1 , . . . , Xn ] thì

FY1 (y) = P [Y1 < y] = 1 − P [Y1 ≥ y] = 1 − P [X1 ≥ y, ..., Xn ≥ y].
n

=1−

P [Xi ≥ y]


đèn tắt đầu tiên).
Giả sử X1 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, và
1
1
Xi ∼ Exp(λi ) với λi =
=
.
EX i
100

Nguyễn Thị Thúy

12

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Theo Hệ quả 2.2 thì

10−1 1
−1
−1
10 e 100
y
e 100 y
fY1 (y) =
100
0


fX,Y (x, z − x)dx =

fZ (z) =
−∞

+∞

fX,Y (x, x − v)dx =

fV (v) =

(1)

−∞

+∞

và

fX,Y (z − y, y)dy,

−∞

fX,Y (v + y, y)dy.

(2)

−∞


−∞

fX,Y (x, u − x)du dx. Do đó

−∞
+∞

d
fZ (z) =
[FZ (z)] =
dz

fX,Y (x, z − x)dx.
−∞

Nguyễn Thị Thúy

13

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Tương tự, bằng cách thay x = u − y ta cũng có
 z

+∞

FZ (z)

=


−∞

x−y≤v

Thay y = x − u vào biểu thức trên ta được
 v
+∞

FV (v) =

fX,Y (x, y)dy  dx.

−∞



fX,Y (x, x − u)du dx.


−∞



−∞
+∞

Do đó

d
fV (v) =
[FV (v)] =
dv

fX,Y (v + y, y)dy.
−∞

Vậy ta có (2).

Nguyễn Thị Thúy

14

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Hệ quả 2.3 Nếu X và Y là 2 biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập và
Z = X + Y thì
+∞

+∞

fY (z − x)fX (x)dx =

fZ (z) = fX+Y (z) =
−∞


d
d 
FZ (z) =
dz
dz



FY (z − x)fX (x)dx

−∞
+∞

+∞

d
[FY (z − x)]fX (x)dx =
dz

=
−∞

fY (z − x)fX (x)dx.
−∞

Chứng minh tương tự, ta cũng có
+∞

fX (z − y)fY (y)dy.


=
−∞

+∞

=

I(0,z) (x)I(0,1) (z) + I(z−1,1) (x)I[1,2) (z) dx
−∞
z

= I(0,1) (z)

1

dx + I[1,2) (z)
0

dx

z−1

= zI(0,1) (z) + (2 − z)I[1,2) (z).
Vậy 0 ≤ Z = X + Y ≤ 2.

2.1.4

Phân phối của tích và thương

Định lý 2.4 Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm

+∞

và

|y| fX,Y (uy, y)dy.

fU (u) =

(5)

−∞

Chứng minh. Ta có

FZ (z) = P [Z < z] = P [XY < z]
=

fX,Y (x, y)dxdy
xy≤z 
−∞
0

=

Nguyễn Thị Thúy



+∞


Khóa luận tốt nghiệp

Bằng cách thay u = xy ta có
 −∞
0

FZ (z)

=

+∞





z



u du
 fX,Y (x, u ) du dx
fX,Y (x, ) dx +
x x
x x
 z0
 0 −∞


z

=
−∞

−∞

Do đó,
+∞

fZ (z)

d
=
[FZ (z)] =
dz

1
z
fX,Y (x, )dx.
|x|
x
−∞
+∞

1
z
fX,Y ( , y)dy.
|y|
y

Chứng minh tương tự, ta cũng có fZ (z) =

Thay z =

 −∞
uy

uy


0



fX,Y (x, y)dxdy.

−∞

x
ta được
y

Nguyễn Thị Thúy

17

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

0

−∞
u
+∞

0



−∞
+∞



fX,Y (zy, y)ydz dy



(−y)f X,Y (zy, y)dy dz +


−∞
u



fX,Y (zy, y)ydz dy +



u


fU (u) =

−∞
+∞

|y| I(0,1) (uy)I(0,1) (y)dy
−∞

|y| I(0,1) (u)I(0,1) (y) + I[1,+∞) I(0, 1 ) (y) dy

=

u

−∞
1
u

1

= I(0,1) (u)

ydy + I[1,+∞) (u)
0

ydy
0

1

1

z

0

Nguyễn Thị Thúy

dx
= −lnzI(0,1) (z).
x

I(z,1) (x)dx =I(0,1) (z)

18

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
1

1
= EU =
2

X
Y

và E

t1 g1 (X1 ,...,Xn )+...+tk gk (X1 ,...,Xn )

...
R

e

n

fX1 ,...,Xn (x1 ,...,xn )

dxi . (6)
i=1

R

Phương pháp tìm hàm phân phối xác suất dựa trên khái niệm hàm
sinh mômen được gọi là phương pháp hàm sinh mômen.
Nhận xét: phương pháp hàm sinh mômen là phương pháp hiệu quả
trong việc tìm phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên của
toán học hiện đại. Trong nhiều trường hợp, ta có thể tìm được mối
quan hệ giữa hàm phân phối cần tìm với hàm sinh mômen thu được.
Đặc biệt, với k = 1 thì hàm sinh mômen là hàm của một biến số
nên ta có thể đoán nhận được hàm phân phối tương ứng với nó là gì,
còn trong trường hợp k > 1 thì kĩ thuật này bị hạn chế vì ta chỉ có
thể đoán nhận được một vài hàm phân phối tương ứng với hàm sinh
mômen tìm được.

Ví dụ 2.5. Giả sử biến ngẫu nhiên X ∼ N (0, 1). Tìm hàm phân
phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X 2 .