BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NINH THỊ HẠNH

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI–2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NINH THỊ HẠNH

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI–2017


Tác giả

Ninh Thị Hạnh


iii

Mục lục
MỞ
1
2
3
4
5
6

ĐẦU
Lý do chọn đề tài . . . . . . . . .
Mục đích nghiên cứu . . . . . . .
Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . .
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu . . . . .
Dự kiến đóng góp mới . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.


v
v
vi
vi
vi
vi

.
.
.
.
.
.

1
1
2
2
2
3
4

Chương 2. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN 5
2.1. Cơ sở lý thuyết của phương pháp nhiễu đồng luân . . . . . . . . . . 5
2.2. Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân . 6
2.3. Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình tích phân 8
2.3.1. Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình
tích phân Fredholm loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiều
tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong đó lớp phương trình vi phân và tích phân,
phương trình đạo hàm riêng, tuyến tính và phi tuyến đóng vai trò quan trọng.
Các kết quả của lĩnh vực này tìm được nhiều ứng dụng trong vật lí, hóa học,
sinh học và trong việc nghiên cứu các mô hình kinh tế, quân sự, . . .
Một trong những phương pháp mạnh để giải xấp xỉ phương trình vi phân,
phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, tuyến tính và phi tuyến
là phương pháp nhiễu đồng luân ( Homotopy pertubation method ) viết tắt là
HPM. Phương pháp này là kết hợp của phương pháp nhiễu truyền thống và
kỹ thuật đồng luân trong tôpô. Theo phương pháp nhiễu đồng luân giải một
phương trình phi tuyến được đưa về giải một dãy các phương trình tuyến tính.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp nhiễu đồng luân và các
ứng dụng của phương pháp này, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Khuất Văn
Ninh, tôi đã chọn đề tài : “Phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng”
để thực hiện luận văn của mình.

2

Mục đích nghiên cứu
- Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân.
- Ứng dụng của phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân,
phương trình tích phân, phương trình vi - tích phân, giải bài toán biên đối
với phương trình đạo hàm riêng, giải hệ phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến.


vi

3



1

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này trình bày một số kiến thức về phương trình vi phân thường,
một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân và một số khái niệm
về phương trình tích phân. Nội dung của chương này được tham khảo trong các
tài liệu [1], [3], [4].

1.1.

Định lý tồn tại duy nhất nghiệm phương
trình vi phân cấp n

Xét bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp n
y (n) = f (x, y, y , . . . , y (n−1) )

(1.1)

y (x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 , . . . , y (n−1) = y0n−1 .

(1.2)

với điều kiện ban đầu

Định nghĩa 1.1.1. Hàm f (x, u1 , u2 , . . . , un ) xác định trong miền G ⊂ Rn+1 được
gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo các biến u1 , u2 , . . . , un nếu tồn tại hằng
số L > 0 (hằng số Lipschitz) sao cho đối với hai điểm bất kỳ (x, u1 , u2 , . . . , un ) ∈
G, (x, u1 , u2 , . . . , un ) ∈ G ta có bất đẳng thức

tích thành chuỗi Taylor:
y (x) = y (x0 )+

y (x0 )
1!

(x−x0 )+

y ”(x0 )
2!

y (n) (x0 )
(x−x0 ) + · · · +
(x−x0 )n + · · · (1.3)
n!
2

Từ điều kiện (1.2) cho ta các giá trị y (k) (x0 ), k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Trong khai
triển (1.3) giá trị y (n) (x0 ) tìm được nhờ phương trình (1.1) và điều kiện ban đầu
(n−1)
(1.2) y (n) (x0 ) = f (x0 , y0 , y0 , . . . , y0
).
(k )
Lấy đạo hàm phương trình (1.1) và thay x = x0 , y (k) (x0 ) = y0 (k = 0, 1, 2, . . . )
ta tìm được các giá trị y (n+1) (x0 ), y (n+2) (x0 ), . . .
Người ta chứng minh được rằng nếu hàm f (x, y, y , . . . , y (n−1) ) giải tích trong
(n−1)
lân cận của điểm (x0 , y0 , y0 , . . . , y0
) thì trong lân cận đủ nhỏ của điểm x0 bài
toán (1.1) - (1.2) có nghiệm duy nhất và nghiệm đó khai triển được thành chuỗi

rn xn .

qn x , r(x) =
n=0

n=0

(1.6)


3

Ta tìm nghiệm của bài toán (1.4)-(1.5) dưới dạng
∞

an xn ,

y (x) =

(1.7)

n=0

trong đó an cần phải xác định.
Lấy đạo hàm cấp một và cấp hai hai vế của (1.7), ta có
∞

y (x) =

∞


∞
n−1

nan x
n=1

∞
n

qn x .

+
n=0

∞
n

rn xn (1.8)

an x =
n=0

n=0

Nhân các chuỗi và cân bằng hệ số của những lũy thừa cùng bậc ở hai vế của
(1.8) ta được hệ phương trình
x0 |2a2 + a1 p0 + a0 q0 = r0
x1 |3.2a3 + 2a2 p0 + a1 p1 + a1 q0 + a0 q1 = r1
x2 |4.3a4 + 3a3 p0 + 2a2 p1 + a1 p2 + a2 q0 + a1 q1 + a0 q2 = r2

Nếu hàm f (x, y ) thỏa mãn điều kiện của Lipschitz theo biến y,
|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ N |y1 − y2 |, N = const,
trong hình chữ nhật D = {(x, y ) ∈ R2 |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b}, thì dãy
hàm

yn (x)

hội tụ đều tới nghiệm y (x) của phương trình (1.9) trên đoạn

[x0 , x0 + h], h > 0 là một số dương nào đó và y0 (x) ≡ y0 tùy ý cho trước.

Sai số giữa yn (x) và y (x) được đánh giá bởi công thức sau
εn = |yn (x) − y (x)| ≤ M N n
trong đó M = max |f (x, y )|, h = min a,
(x,y )∈D

1.3.

(x − x0 )n+1
,
(n + 1)!

b
.
M

Một số khái niệm về phương trình tích
phân

Định nghĩa 1.3.1. Cho hàm K (x, t) liên tục trên miền D = [a, b] × [a, b], hàm

ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân, phương trình
tích phân, phương trình vi - tích phân. Nội dung chương này tác giả tham khảo
trong các tài liệu [2], [7], [8], [9].

2.1.

Cơ sở lý thuyết của phương pháp nhiễu
đồng luân

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử f và g là hai ánh xạ liên tục từ không gian tô pô X
vào không gian tô pô Y . Một biến đổi đồng luân giữa f và g được định nghĩa là
ánh xạ liên tục H : X × [0, 1] → Y sao cho với mỗi x ∈ X ta có H (x, 0) = f (x)
và H (x, 1) = g (x).
Để truyền tải ý tưởng cơ bản của phương pháp nhiễu đồng luân, chúng ta
xét một phương trình tổng quát sau
L(u) = 0,
trong đó L là một toán tử từ X vào Y .

(2.1)


6

Ta định nghĩa một đồng luân lồi H (u, p) bởi
H (u, p) = (1 − p)F (u) + pL(u),

(2.2)

trong đó F (u) là một toán tử có nghiệm u0 mà có thể dễ dàng tìm được. Xét
phương trình

+ y = 0, y (1) = 1,
dx

(2.6)

trong đó ε cho trước, y (x) là hàm cần tìm.
Chúng ta có thể xây dựng một đồng luân thỏa mãn
(1 − p) εY

dY
dy0
dY
+ p (x + εY )
− εy0
+Y
dx
dx
dx

= 0, p ∈ [0, 1].

(2.7)


7

Giả sử nghiệm Y (x)của phương trình (2.7) có dạng
Y (x) = Y0 (x) + pY1 (x) + p2 Y2 (x) + . . . ,

(2.8)


(2.11)

để cho phần dư của phương trình (2.6) tại x = 0 triệt tiêu. Thế (2.11) vào (2.10)
ta được
dY1 x
1
εY1
− = 0, Y1 (1) = 1 + .
(2.12)
dx
ε
ε
Nghiệm của phương trình (2.12) có thể viết lại như sau
Y1 =

1

ε

(x2 + 2ε + ε2 ).

Nếu xấp xỉ đầu tiên là đủ thì ta nhận được nghiệm xấp xỉ của phương trình
(2.6)
y1 (x) = Y0 (x) + Y1 (x) =

1

ε



8

Bằng cách tương tự như trong Ví dụ 2.2.1, chúng ta đặt
xn
Y0 (x) = y0 (x) = − ,
ε
để cho phần dư của phương trình (2.13) tại x = 0 bằng 0. Do đó, ta có
εY1

dY1
dY0
1
+ (xn + εY0 )
+ nxn−1 Y0 − mxm−1 = 0, Y1 (1) = b + ,
dx
dx
ε

(2.14)

hoặc
εY1

dY1
+
dx

−



2.3.

xn
+
ε

1

2

x2n + xm + b2 +
ε2
ε

2b − 2

ε

.

Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân
giải phương trình tích phân

2.3.1.

Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương
trình tích phân Fredholm loại hai

Xét phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại hai trong trường hợp

k (x, t)u(t)dt.

(2.19)

a

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng (2.4)
u(x, p) = u0 + pu1 + p2 u2 + . . .
Thay u(x, p) vào (2.19) và cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của p
ta có
p0 : u0 = f (x),
b
1

p : u1 = λ

k (x, t)u0 (t)dt,
a
b

2

k (x, t)u1 (t)dt,

p : u2 = λ
a
b
3

p : u3 = λ


sn+1 (x) = f (x) + λ

k (x, t)sn (t)dt.
a

(2.21)


10
∞

Định nghĩa 2.3.1. Cho u1 , u2 , u3 , . . . là một dãy các hàm số. Chuỗi

un gọi
n=1

là hội tụ đến u nếu dãy tổng riêng (sn ) được xác định bởi
n

sn (x) =

uk (x),
k=1

hội tụ đến u.
Định lí 2.3.2. Xét sơ đồ lặp
s0 (x) = f (x),
b


1

x+λ

xtu(t)dt,

(2.23)

(xt)sn (t)dt,

(2.24)

0

Ta có công thức lặp tổng quát
sn+1 (x) =

√

1

x+λ
0

và
u0 (x) =

√

x,

1

p : u1 (x) = λ

5

0
1

2λt
2λ2
xt
dt =
x,
5
15

1

2λ3
2λ2
tdt =
x,
xt
15
45

2

p : u2 (x) = λ

λ
+
λ
+
·
·
·
+
λ
x
+
=
5.30
5.31
5.3n−1
5

n

i=1

λ
3

i

x .

λ
hội tụ nếu | | < 1 tức là |λ| < 3. Cho nên u(x) = lim sn (x) hội


do đó, nếu |λ| < 3 phương trình (2.24) hội tụ.
Ví dụ 2.3.4. Xét phương trình tích phân
1

(1 − 3xt)u(t)dt,

u(x) = x + λ

(2.26)

0

ta có công thức lặp
1

(1 − 3xt)sn (t)dt,

sn+1 (x) = x + λ

(2.27)

0

và
u0 (x) = x.
Theo phương trình (2.19) ta có
1

(1 − 3xt)u(t)dt.

1
3

(1 − 3xt)

p : u3 (x) = λ

λ2

0

4

λ
2

− λx,

− λt dt =
λ3

tdt =

8

−

λ2
4



1
λ
−x
2

+

λ
2

+

λ3

λ2

8

+ ...

i

4

+

1 + (−1)n

λ2n+2

0

0

1
= B 2,
2

√
√
2 tức là − 2 < λ < 2 thì dãy hàm (2.27) hội tụ.

Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương
trình tích phân Volterra loại hai

Xét phương trình tích phân Volterra loại hai
x

u(x) = f (x) + λ

K (x, t)u(t)dt,

(2.29)

a

trong đó K (x, t) là hạt nhân của phương trình tích phân, λ là tham số, u(x) là
hàm cần tìm. Như đối với phương trình Fredholm loại hai, chúng ta có thể sử
dụng phương pháp nhiễu đồng luân để giải phương trình tích phân Volterra loại
hai.


(x − t)u(t)dt,

u(x) = x + pλ

(2.32)

0

thế (2.4) vào (2.32), ta có kết quả sau
p0 : u0 (x) = x
x
1

(x − t)tdt =

p : u1 (x) = λ
0

x
2

(x − t)

p : u2 (x) = λ
0

x
3


λ2 ,

x7
7!

λ3 ,

..
.
Tiếp tục theo cách như vậy đến vô cùng, ta nhận được nghiệm xấp xỉ của
phương trình là
n
2i−1
i x
u(x) ≈ sn (x) =
λ
.
(2i − 1)!
i=0
Dãy trên hội tụ với mọi λ.
Ví dụ 2.3.6. Xét phương trình tích phân
x

u2 (t)dt,

u(x) = 1 − λ
0

Ta có công thức lặp của phương trình trên là
x


p : u1 (x) = −λ
0

x

p2 : u2 (x) = −λ

2u0 u1 dt = −λ2 x2 ,
0

3

x

(2u0 u2 + u21 )dt = −λ3 x3 ,

p : u3 (x) = −λ
0

..
.
Tiếp tục theo cách như vậy đến vô cùng, ta nhận được nghiệm xấp xỉ của
phương trình là
n

(−1)i λi xi .

u(x) ≈ sn (x) =
i=0

(2.36)


15

Như phương pháp đã biết ta định nghĩa đồng luân H (u, p) như sau
H (u, 0) = F (u),
H (u, 1) = L(u),
trong đó, F (u) là một toán tử với nghiệm đã biết u0 mà có thể dễ dàng tìm
được.
Ta định nghĩa: u0 (x) = a + bx + cx2 + dx3 điều này phụ thuộc vào bậc của
phép tính vi phân. Thông thường ta có thể chọn một đồng luân lồi bởi
H (u, p) = (1 − p)F (u) + pL(u) = 0,

(2.37)

và kiểm tra tính liên tục của một đường cong ngầm được định nghĩa từ một
điểm bắt đầu u0 là nghiệm của phương trình F (u) = 0 đến nghiệm u của phương
trình L(u) = 0. Tham số nhúng p đơn điệu tăng từ 0 đến 1 và bài toán F (u) = 0
được biến đổi liên tục thành bài toán L(u) = 0. Giả sử nghiệm của phương trình
(2.37) phân tích được dưới dạng chuỗi lũy thừa theo p
u(x, p) = u0 + pu1 + p2 u2 + . . .

(2.38)

Khi p → 1 thì (2.37) trở thành (2.36). Nghiệm của (2.36) có dạng
u = lim u(x, p) = u0 + u1 + u2 + . . .
p→1

(2.39)


(4)

x

x

(x) − x(1 + e ) − 3e − u(x) +

u(t)dt

= 0.

(2.41)

0

thế (2.38) vào (2.41) và cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của p, ta
có
(4)

p0 : u0 (x) = xex + x + u0 (x) + 3ex ,
1

p :

(4)
u1 (x)

x

u0 (x) = a + bx + cx2 + dx3 ,
1
3

1
2

1
4

u1 (x) = 6d + ax + bx2 + cx3 + dx4 ,
1
2

1
6

u2 (x) = 2c + 12dx + ax2 + bx3 +

1 4
1
cx + dx5 ,
12
20

..
.
Khi p → 1 nghiệm xấp xỉ của phương trình vi - tích phân Volterra tuyến tính
bậc 4 có dạng
u(x) = u0 (x) + u1 (x) + u2 (x),



17

Nghiệm của các phương trình (2.46) - (2.49) là
a = −1.970351743, b = 1.599415315, c = 1.185468215, d = 0.0999025525.
Do đó, nghiệm gần đúng của phương trình (2.40) là
u(x) = 1.0000000002 + 0.827894202x + 1.0000000001x2
+ 0.761627843x3 + 0.123764656x4 + 0.004995127625x5 .
∞

Trong thực tế, tất cả các số hạng của chuỗi u(x) =

un (x) không thể xác
n=0

định được, vì vậy chúng ta thường xấp xỉ nghiệm bởi tổng riêng của chuỗi như
m−1

sau u( x) ≈

m−1

un (x), u(x) = lim

m→∞

n=0

un (x).

1.211871486

0.32409066.10−1

0.3

1.404957642

1.359946847

0.45010795.10−1

0.4

1.596729879

1.543121390

0.53608489.10−1

0.5

1.824360636

1.767041972

0.57318664.10−1

0.6