LỜI NÓI ĐẦU
Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, tích
phân được ứng dụng rộng rãi như để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, nó còn là
đối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân,
phương trình đạo hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn được ứng dụng rộng rãi trong Xác
suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học...
Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh ở lớp 12, tiếp theo được
phổ biến trong tất cả các trường đại học cho khối sinh viên năm thứ nhất và năm thứ hai trong
chương trình học đại cương. Hơn nữa trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh Đại
học phép tính tích phân hầu như luôn có trong các đề thi môn Toán của khối A, khối B và cả khối
D. Bên cạnh đó, phép tính tích phân cũng là một trong những nội dung để thi tuyển sinh đầu vào
hệ Thạc sĩ và nghiên cứu sinh.
Với tầm quan trọng của phép tính tích phân, chính vì thế mà tôi viết một số kinh
nghiệm giảng dạy tính tích phân của khối 12 với chuyên đề “TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ĐỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PHẦN” để phần nào củng cố, nâng
cao cho các em học sinh khối 12 để các em đạt kết quả cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi
Tuyển sinh Đại học và giúp cho các em có nền tảng trong những năm học Đại cương của Đại học.
Trong phần nội dung chuyên đề dưới đây, tôi xin được nêu ra một số bài tập minh họa cơ
bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến số, phương pháp
tích phân từng phần. Các bài tập đề nghị là các đề thi Tốt nghiệp THPT và đề thi tuyển sinh Đại học
Cao đẳng của các năm để các em học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích phân và phần cuối của chuyên
đề là một số câu hỏi trắc nghiệm tích phân.
Tuy nhiên với kinh nghiệm còn hạn chế nên dù có nhiều cố gắng nhưng khi trình bày
chuyên đề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý chân tình của quý Thầy
Cô trong Hội đồng bộ môn Toán Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai. Nhân dịp này tôi xin cảm
ơn Ban lãnh đạo nhà trường tạo điều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy cô trong tổ Toán trường
Nam Hà, các đồng nghiệp, bạn bè đã đóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành chuyên đề này. Tôi xin
chân thành cám ơn./.

Trang 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải



Bài tập đề nghị 1

9

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

10

II.4.

II.4.1 Phương pháp đñổi biến số loại 1

III.

5
5

10

Định lý về phương pháp đổi biến số loại 1

13

Một số dạng khác dùng phương pháp đổi biến số loại 1

14

Bài tập đề nghị số 2



22

Phương pháp tích phân từng phần

23

Bài tập đề nghị số 6: Các đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng

28

Kiểm tra kết quả của một bài giải tính tích phân bằng máy tính
CASIO fx570-MS

29

Bài tập đề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân

30

Phụ lục

36

Trang 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


I. NGUYÊN HÀM:
I.1. ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu với mọi


VD2: a)  2xdx = x 2 + C

b)  sin xdx = − cos x + C

c)

1

 cos

2

x

= tgx + C

I.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM:

1)

(  f ( x ) dx ) = f ( x )

2)

 a. f ( x ) dx = a  f ( x ) dx ( a  0)

3)

  f ( x )  g ( x )dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx

x +1
2/  x dx =
+ C (  −1)
 +1
dx
= ln x + C ( x  0)
3/ 
x
4/  e x dx = e x + C

2/  u du =

ax
+C
5/  a dx =
ln a

au
+ C ( 0  a  1)
5/  a du =
ln a



x

3/

( 0  a  1)





=  (1 + tg 2 x ) dx = tgx + C  x  + k 
x
2



dx
=  (1 + cot 2 x ) dx = − cot x + C
2
sin x

( x  k )

8/

du

 cos

9/ 

2




=  (1 + tg 2u ) du = tgu + C  u  + k 

a kx
+C
5/  a kx dx =
k .ln a
1
6/  cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C ( a  0)
a
7/
1

 sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + C ( x  2 + k )
8/ .  tgxdx = − ln cos x + C . ( x  k )


 +1

❖ CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA:
1/ a m .a n = a m + n
am
1
2/ a n = a m−n ; n = a − n
a
a
3/
❖ CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
a. CÔNG THỨC HẠ BẬC:
1
1
1/ sin 2 x = (1 − cos 2 x ) 2/ cos 2 x = (1 + cos 2 x )
2

II.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:
a

1/

 f ( x ) dx = 0
a

2/

a

b

b

a

 f ( x ) dx = −  f ( x ) dx
b

b

a

a

3/  k . f ( x ) dx = k . f ( x ) dx
b



6/ Nếu f ( x )  0, x  a; b thì

với c  ( a; b )

b

 f ( x ) dx  0
a

7/ Nếu f ( x )  g ( x ) , x  a; b thì

b



b

f ( x ) dx   g ( x ) dx

a

a
b

8/ Nếu m  f ( x )  M , x a; b thì m ( b − a )   f ( x ) dx  M ( b − a ) .
a
t

9/ t biến thiên trên  a; b   G ( t ) =  f ( x ) dx là một nguyên hàm của f ( t ) và G ( a ) = 0

)

= ( 23 − 2.22 + 3.2 ) − ( −1) − 2. ( −1) + 3. ( −1) = 12
3

2

Nhận xét: Câu 1 trên ta chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 1/ và 2/ trong
bảng nguyên hàm.

3x 4 − 6 x3 + 4 x 2 − 2 x + 4
dx
x2
1
2

2) I = 

Nhận xét: Câu 2 trên ta chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bảng nguyên hàm,
trước hết tách phân số trong dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) rồi áp dụng tính chất 4 và sử dụng
công thức 1/, 2/, 3/ trong bảng nguyên hàm.

3x 4 − 6 x3 + 4 x 2 − 2 x + 4
2 4

I =
dx =   3x 2 − 6 x + 4 − + 2  dx
2
x
x x 

chất 4 và sử dụng công thức 1/, 2/, 5/ trong bảng nguyên hàm.
1
1

1
5x
4
I =  e x ( 2 xe− x + 5x e− x − e− x ) dx =  ( 2 x + 5x − 1) dx =  x 2 +
− x =
ln 5

 0 ln 5
0
0




2 

5) I =   4 cos x + 2sin x −
 dx = ( 4sin x − 2 cos x − 2tgx ) 4 = 2 2 − 2 − 2 + 2 = 2
cos 2 x 
0
0
4

Nhận xét: Câu 5 trên ta chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/, 7/ và 8/ trong
bảng nguyên hàm.


Với câu 7 trước hết phải hạ bậc rồi sử dụng công thức 6/ trong bảng nguyên hàm phần các công
thức bổ sung.








1 12 
 
1 12


 I =  sin 2  2 x −  dx =  1 − cos  4 x −   dx =  (1 − sin 4 x ) dx
4
2 0
2 
20


0
12



1
1
1  1


1
 I =  cos 6 x.cos 2 xdx =
2
0

11
1

0 ( cos8 x + cos 4 x )dx = 2  8 sin 8 x + 4 sin 4 x 

11
 1   11
1
2 1
 11
=  sin + sin  −  sin 0 + sin 0  =  +
1+ 2
=
28
2 4
4  28
4
 2  8 8  16

(


0



−1

1

2

−2

−1

1

2
2
2
 ( x − 1) dx −  ( x − 1) dx +  ( x − 1) dx

 x3
 −1  x3
 1  x3
2
=  − x − − x + − x = 5
 3
 −2  3
 −1  3
1
3

10) I = 

=
4ln
x
−
5
−
ln
x
+
1
(
)

2
x − 4x − 5
x − 5 x +1 
2
2

như sau:

2

= 4 ln 2 − ln 4 − 4 ln 3 + ln 3 = 2 ln 2 − 3ln 3 = ln

4
27

a ' x + b'
Chú ý 2: Để tính I =  2

2



dx
+
b
x+
2a

ba '
dx
2a
2

a
b 

x
+


2a 


b' −

TH2: Nếu b2 − 4ac  0  ax2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) . Ta xác định A,B sao cho

A + B = a '

( x − a1 )( x − a2 ) ... ( x − an ) ( x − a1 ) ( x − a2 )
( x − an )

TH2: Để tính

P ( x)

( x − a1 ) ( x − a2 ) ... ( x − an )
m

k

P ( x)

=

r

ta làm như sau:

A1

+

A2

( x − a1 ) ( x − a2 ) ... ( x − an ) ( x − a1 ) ( x − a2 )
P ( x)
TH3: Để tính I = 
với P(x) và Q(x) là hai đa thức:


1) I =  x x + 2 x + 1 dx
3

0

2) I = 
1

x − 3x − 5 x + 3
dx
3) I = 
x−2
−1
0

2 x 2 x + x 3 x − 3x + 1
dx
x2

2

3

2

2

4) I =


4

dx
9) I =  2
x − 5x + 6
1

2

8) I =

x

+ 2 x − 3 dx

−2

4

dx
x +1 + x

10) I = 
1

11) I = 

x + 2x + 6
dx
( x − 1)( x − 2 )( x − 4 )


II.4. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
II.4.1. Phương pháp đổi biến số loại 1:
b

Ta có chú ý (SGK trang 123): Tích phân

 f ( x ) dx

chỉ phụ thuộc vào hàm số f(x), cận a và

a

b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân. Tức là:
b



b

b

a

a

f ( x ) dx =  f ( t ) dt =  f ( u ) du =...

a



 2 sin t =
t =
2
2
6

x = 0  2 sin t = 0  t = 0 f ( x ) =




6

6

I =
0

2 cos t.dt
2 − 2sin t
2

=
0



2 cos t.dt



1

6
6

 3 sin t =
t =
2
2
4

dx
2 − x2

. Học sinh làm tương tự và được kết

Kết quả trên bị sai vì hàm số không xác định khi

x= 2 .
  
Do x = 3 sin t  dx = 3 cos tdt , t   − ;  đó khi ra đề ở dạng trên Giáo viên cần chú ý:
 2 2
hàm số f(x) xác định trên [a;b]

Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2


4

0

0

 I =  3 − 3sin 2 t . 3 cos t.dt =  3cos 2 t.dt =


a) Khi gặp dạng









a − x dx hay
2

2

dx
a2 − x2

3
(1 + cos 2t ) .dt =
2 0

'

'

  a − x dx =  a − a sin t .a cos tdt =  a 2 cos 2 tdt , hạ bậc cos 2 t
2

2

2



2

'



Hay

2







dx



a −u
2

2

( x )dx



hay




dx
a2 − u 2 ( x )

( a  0)

  
Đặt u ( x ) = a.sint  u ' ( x ) .dx = a.cost.dt , t   − ; 
 2 2

Trang 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

6
2




3 − ( x − 2 ) dx
2

2

  
Đặt x − 2 = 3 sin t  dx = 3 cos t.dt , t   − ; 
 2 2
6
2

 sin t =
t =
2
2
4
x = 2  sin t = 0  t = 0

Đổi cận: x = 2 +




4

4

 I =  3 − 3sin 2 t . 3 cos t.dt =  3cos 2 t.dt

0

Nhận xét: Ta thấy tam thức bậc hai ở mẫu số vô nghiệm nên ta không sử dụng phương pháp
hệ số bất định như ví dụ 4.10 và không phân tích biểu thức trong dấu tích phân được như chú ý 2
và chú ý 3.
  
Đặt: x = 2tgt  dx = 2. (1 + tg 2t ) dt , t   − ; 
 2 2

Đổi cận: x = 2  2tgt = 2  t =
4
x = 0  2tgt = 0  t = 0


2. (1 + tg 2t ) dt

4

I =

2 + 2tg 2t

0



c) Khi gặp dạng


 a

 2 2
  
Đổi cận: x =   t =  ’   − ; 
 2 2
  
x =   t =  ’  − ; 
 2 2

Ta xét ví dụ tương tự tiếp theo:
1+ 2

dx
x − 2x + 3
1
Nhận xét: Ta thấy tam thức bậc hai ở mẫu số vô nghiệm nên ta phân tích mẫu số ñược

VD8: Tính tích phân sau: I =



2

thành: a2 + u2(x).
1+ 2



Ta có: I =

1


0


4

=
0



2
2
2
dt =
t 4=
2
2
8
0

Vậy:


d) Khi gặp dạng


 a

2


a



f ( x ) dx =  f u ( t )u 't.dt


Từ đó ta rút ra quy tắc đổi biến số dạng 1 như sau:
B1: Đặt x = u ( t ) (với u(t) là hàm có đạo hàm liên tục trên [α;β], f(u(t)) xác định trên [α;β] và

u( ) = a, u (  ) = b) và xác định α,β
b



a



B2: Thay vào ta có: I =  f ( u ( t ) ).u ' ( t ) dt =  g ( t ) dt = G ( t )


= G (  ) − G ( )


Một số dạng khác thường dùng phương pháp đổi biến số dang 1:
a
1
* Hàm số trong dấu tích phân chứa a 2 − b2 x 2 hay

3) I = 
0
2

5) I = 
1

x

x2 −1
dx
x

2

4) I =

dx

3 + 2x − x2
x +1
dx
x (2 − x)

Hướng dẫn: Câu 4: Đặt x =


1
1


sin x + cos 4 x
0

1) I = 

2

2) I =  ln (1 + tgx ) dx
0

Trang 15 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Giải

2

VT =

 f ( sin x ) dx

Đặt x =

0



Đổi cận x = 0  t =

2

sin 4 x + cos 4 x
0
2

1) I = 
Đặt x =


2

− t  dx = −dt

Đổi cận x = 0  t =


2

; x=


2

t =0





sin 4  − t 
4

2
sin x
cos x


dx
+
dx
=
dx =  I =
4
4
4
4


sin x + cos x
sin x + cos x
2
4
0
0
0
4

2

 2I = 

4




4
 1 − tgt 



 I = −  ln 1 + tg  − t  dt =  ln 1 +
dt
=
ln
2
−
ln
1
+
tgt
dt
=
ln
2.


(
)


0 
0 dt − I



2

2

0

0

1)  sin n xdx =  cos n xdx

HD: Đặt x =


2

−t

a

2) Cho I =

 f ( x ) dx . CMR:

−a

a

a) I = 2 f ( x ) dx nếu f(x) là hàm số chẵn.




Áp dụng: Tính I = 
0





2 0

f ( sinx ) dx (HD: Đặt x =  − t )

x sin x
dx
4 + sin 2 x

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 4: Tính các tích phân sau: (Các đề tuyển sinh ðại học)
2
2



a) I =

0

1



0

c) I =  x 2 4 − x 2 dx (ĐH T.Lợi 1997)
3
2

(1 − x ) dx

b) I = 

dx
1− x

2

dx

(1 + x )

2 2

(ĐH TCKT 2000)

f) I =

(ĐH N.Ngữ 2001)

h) I =


 f ( u ) du

u1

Một số dạng cơ bản thường gặp khi đổi biến số loại 2:(Dạng nghịch)
Trong một số trường hợp tính tích phân bằng phương pháp phân tích hay tính tích
phân bằng tích phân đổi biến số loại 1 không được nhưng ta thấy biểu thức trong dấu tích phân
có chứa:

1. Lũy thừa thì ta thử đặt u bằng biểu thức bên trong của biểu thức có chứa lũy thừa cao
nhất.

2. Căn thức thì ta thử đặt u bằng căn thức.
3. Phân số thì ta thử đặt u bằng mẫu số.
4. cosx.dx thì ta thử đặt u = sinx.
5. sinx.dx thì ta thử đặt u = cosx.
dx
hay (1 + tg x ) dx thì ta thử đặt u = tgx
cos 2 x

6.

dx
hay (1 + cotg 2 x ) dx thì ta thử đặt u = cotgx .
sin 2 x
dx
8.
và chứa lnx thì ta thử đặt u = lnx.
x
VD 10: Tính các tích phân sau:

1  1
1
du =  1 −  du = ( u − ln u ) = ( 2 − ln 2 − 1) = (1 − ln 2 )
1 2
2u
2 1 u
2
1
2

2

I =


2

a) I =  (1 + sin x ) .cos x.dx
3

(Tương tự)

1

Trang 18 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2

2.a) I =  4 + 3x 2 .12 x.dx

4u 3 4 4.43 4.23 224
=
−
=
3 2
3
3
3
2

2

(HD: I =  x 2 . 1 + 2 x 2 .xdx )

b) I =  1 + 2 x 2 .x 3 .dx

0

0

Đặt u = 1 + 2 x  u 2 = 1 + 2 x 2  x 2 =
 2udu = 4 xdx  xdx =
1

c) I =  3
0

x2
1+ 7x


2

2

2
u2
1
1u 2 2 22 12
3
du =  udu =
= − =
7u
71
14 1 14 14 14
1

I =

1

3.a) I = 
0

1

x3
dx
x2 + 1

Ta có: I =

2 1 u
2
1
2

I =

2

b) I = 
1

x2
x +2
3

dx

(HD: Đặt u = x3 + 2)

Trang 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải




1
2

1
 u5 


sin x
dx
1 + 3cos x
0

b) I = 

(HD: Đặt u = 1 + 3cosx )


2

c) I =  1 + 3sin x .cos xdx

(HD: Đặt u = 1 + 3sinx )

0



sin 2 x + sin x
dx
1 + 3cos x
0
2

5.a) I = 



0


2

u

2

1

 u − 1   −2udu 
+ 1 

2
2
3
2
 3 


I =
dx =  ( 2 x 2 + 1) du
u
91
2
2

1


(Đề ĐH khối A – 2005)


2
sin x ( 2 cos x + 1)
2sin x cos x + sin x
dx = 
dx
Ta có I = 
1 + 3cos x
1 + 3cos x
0
0
2

u −1
3
−du
 du = −3sinxdx  sinxdx =
3
Đổi cận:
x
0

Đặt u = 1 + 3cos x  cos x =


2

u

+
u

=  u u +2 u




9 1
u  91
1
 93
1  32
4
 34
=  + 4 − − 2 =
9 3
3
 27
Nhận xét: Rõ ràng cách giải 2 đặt u bằng biểu thức trong căn thấy phức tạp hơn so với cách 1.

=


2

sin 2 x.cos x
dx
1 + cos x
0

0

u

1
u  2 8 1 7
 I =  u 2 du =   = − =
 3 1 3 3 3
1
2


4
2

3

Trang 22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải




tg 2 x − 3tgx + 1
dx
cos 2 x
0
4

b) I = 




2
0


4
1

x

0

1
= e −1
0


2

b) I = − 
p
4

e3

8.a) I = 
1

3cot x + 1

2

2u 3 2 2.23 2.13 14
 I =  u.2udu = 2 u du =
=
−
=
3 1
3
3
3
1
1
2

e7

b) I = 
1

ln x. 1 + ln x
dx
x

Đặt u = 3 1 + lnx  u 3 = 1 + lnx  u 3 − 1 = lnx  3u 2 du =

dx
x

Đổi cận:

2

a) I =  ( 5sin x − 1) cos x.dx
3

2

0

p
2

sin x
dx
1 + cos x
0

0

0



p
4

e) I =  sin 4 x.cos x.dx

6





2

j) I =  sin x − sin 3 x .dx

1 + 26 x 3

i) I =  (1 + sin 2 x ) .cos 2 x.dx



p
2

3

0



h) I =  1 + 3sin x .cos xdx

I =  sin x.cos x.dx
3

x2

f) I =  cos5 x.dx

1. Tính các tích phân sau: (Các đề thi tốt nghiệp)

2

a) I =  sin 5 xdx (TNTHPT Năm 93-94)
0

2

b) I = 
1

x2
x3 + 2

dx (TNTHPT Năm 95-96)


2

c) I =



x 2 + 2.x3 .dx (TNTHPT Năm 96-97)

2

d) I =  cos 2 4 x.dx I(TNTHPT Năm 98-99)




2

sin 2 x.cos x
dx
1 + cos x
0

b) I = 

(ĐH khối B – 2005)


2

(

)

c) I =  esin x + sin x cos xdx

(ĐH khối D – 2005)

0


2

d) I = 

0

4. Tính các tích phân sau: (các dạng khác)

Trang 24 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


13

a) I = 
0

3

3

dx
2x +1

2sin 2 x + 3sin x
dx
d) I = 
6 cos x − 2
0

g) I = 
1

1


l) I =

x



5
4

i) I = 
5
3

e

m) I = 

e x − 1dx

0

3

1 + ln x .dx
x.ln x

f) I = 

 x.ln x.ln ( ln x ) dx


x (1 + xe

x

)

dx( HD : t = xe x )

5. Tính các tích phân sau: (Các đề thi tuyển sinh Đại học)
7

1) I =



1

x3dx

(ĐH T.Mại 1997);

1 + x2

0

5
3
2) I =  x (1 − x ) (ĐH KTQD 1997)
6


0

7
3

7) I = 
0

x +1
dx (ĐH GTVT 1998);
3
3x + 1

6) I =  cos 2 x ( sin 4 x + cos 4 x ) dx (ĐHBKHN 98)
2

0

1

dx
(ĐH QGHN 1998)
e +1
0

8) I = 

x



2

12) I = 

1

dx
(ðH Cđoàn 2000);
2x
e
+
3
0

13) I = 

ln 2



14) I =

0

e 2 x dx
ex + 1

(ðH BKHN 2000)



17) I = 
6
cos x + sin 6 x
0

2

18) I = 
0

cos x
dx (ĐHNN1-KB 01)
sin x + cos x


2

dx
19) I = 
(ĐH Aninh 2001)
4
1 x ( x + 1)

2

20) I =  cos 2 x sin 2 xdx (ĐH NL HCM 2001)
0

Trang 25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải