Header Page
1 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

LỜI NÓI ðẦU
Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học,
tích phân ñược ứng dụng rộng rãi như ñể tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay,
nó còn là ñối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết
phương trình vi phân, phương trình ñạo hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn ñược
ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học...
Phép tính tích phân ñược bắt ñầu giới thiệu cho các em học sinh ở lớp 12, tiếp theo
ñược phổ biến trong tất cả các trường ðại học cho khối sinh viên năm thứ nhất và năm thứ
hai trong chương trình học ðại cương. Hơn nữa trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ
thi Tuyển sinh ðại học phép tính tích phân hầu như luôn có trong các ñề thi môn Toán của
khối A, khối B và cả khối D. Bên cạnh ñó, phép tính tích phân cũng là một trong những
nội dung ñể thi tuyển sinh ñầu vào hệ Thạc sĩ và nghiên cứu sinh.
Với tầm quan trọng của phép tính tích phân, chính vì thế mà tôi viết một số kinh
nghiệm giảng dạy tính tích phân của khối 12 với chuyên ñề “TÍNH TÍCH PHÂN

BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ðỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PHẦN” ñể
phần nào củng cố, nâng cao cho các em học sinh khối 12 ñể các em ñạt kết quả cao trong
kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh ðại học và giúp cho các em có nền tảng
trong những năm học ðại cương của ðại học.
Trong phần nội dung chuyên ñề dưới ñây, tôi xin ñược nêu ra một số bài tập minh
họa cơ bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số,
phương pháp tích phân từng phần. Các bài tập ñề nghị là các ñề thi Tốt nghiệp THPT và ñề
thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng của các năm ñể các em học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích
phân và phần cuối của chuyên ñề là một số câu hỏi trắc nghiệm tích phân.

I.

Nguyên hàm:

I.1.

ðịnh nghĩa nguyên hàm

3

I.2.

ðịnh lý

3

I.3.

Các tính chất của nguyên hàm

3

I.4.

Bảng công thức nguyên hàm và một số công thức bổ sung

4

II.



Một số dạng khác dùng phương pháp ñổi biến số loại 1

14

Bài tập ñề nghị số 2

14

Bài tập ñề nghị số 3

15

Bài tập ñề nghị số 4: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng

16

II.4.2 Phương pháp ñổi biến số loại 2

16

Bài tập ñề nghị số 5

21

Các ñề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông

22

Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng

Trang 2


Header Page
3 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

I. NGUYÊN HÀM:
I.1. ðỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM:
Hàm số F(x) ñược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu với mọi
x∈(a;b):

F’(x) = f(x)
VD1: a) Hàm số F(x) = x3 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 trên R
b) Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số f(x) =

1
trên (0;+∞)
x

I.2. ðỊNH LÝ:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì:
a) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng ñó.
b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) ñều có thể viết
dưới dạng F(x) + C với C là một hằng số.
Theo ñịnh lý trên, ñể tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một
nguyên hàm nào ñó của nó rồi cộng vào nó một hằng số C.

VD3: a)

∫ (5x

4

-6x 2 + 8x )dx = x 5 - 2x 3 + 4x 2 +C

b) ∫6cosx.sinxdx = -6 ∫ cosx.d (cosx ) = -3cos 2 x +C

Footer Page
3 of 258.
Trường
THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 3


Header Page
4 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

I.4. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM:

BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP THƯỜNG GẶP



( α ≠ -1)

du
= ln u + C (u = u(x) ≠ 0)
u

4/ ∫ eu du = eu + C

ax
+C
lna

( 0 < a ≠ 1)

5/ ∫ au du =

au
+C
lna

( 0 < a ≠ 1)

6/ ∫ cosx dx = sinx + C

6/ ∫ cosu du = sinu + C

7/ ∫ sinx dx = -cosx + C

7/ ∫ sinu du = - cosu + C

1
dx = 2 x + C
x

2/ ∫ ( ax + b ) dx =
α

1/ a m . a n = a m+n

(x ≠ 0)

1 ( ax + b )
a
α +1

α +1

+ C (a ≠ 0)

2/

am
1
= a m-n ; n = a -n
n
a
a

3/


π
2

+ kπ )

9/ ∫ cotgx dx = ln sinx + C (x ≠ k π )

a = am ;

n
m

an = a m

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
a. CÔNG THỨC HẠ BẬC:

1/ sin2 x =

1
(1- cos2x )
2

2/ cos2 x =

1
(1+cos2x )
2

b. CÔNG THỨC BIẾN ðỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phẩn tử bất kỳ của K,
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hiệu F(b) – F(a) ñược gọi là tích phân từ
a ñến b của f(x). Ký hiệu:
b

b

∫ f(x)dx = F(x) = F(b)-F(a)
a

a

II.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:
a

1/

∫ f (x )dx

=0

a
a

2/

b

∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx


c

a
b

∫ f(x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx

a

a

với c∈(a;b)

c
b

6 / Nếu f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b ] thì ∫ f (x )dx ≥ 0 .
a
b

b

a

a

7 / Nếu f (x ) ≥ g (x ), ∀x ∈ [a;b ] thì ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx .
b

8 / Nếu m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a;b ] thì m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) .

-1

-1

1) I = ∫(3x 2 - 4x +3)dx =(x 3 - 2x 2 +3x)

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

= (2 3 - 2.2 2 +3.2) -((-1)3 - 2.(-1)2 +3.(-1)) = 12
Nhận xét: Câu 1 trên ta chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 1/ và 2/
trong bảng nguyên hàm.
2
3x 4 -6x 3 + 4x 2 - 2x + 4
2) I = ∫
dx
2
x
1
Nhận xét: Câu 2 trên ta chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bảng nguyên
hàm, trước hết tách phân số trong dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) rồi áp dụng tính chất 4
và sử dụng công thức 1/, 2/, 3/ trong bảng nguyên hàm.
2
2
3x 4 -6x 3 + 4x 2 - 2x + 4
2 4
⇒ I= ∫
dx = ∫(3x 2 -6x + 4 - + 2 )dx
2
x
x x

0
0

 x2
2
=  -6x +9ln | x +1 | = 2 -12 +9ln3 = 9ln3 -10
2
0
1

4) I = ∫e x (2xe -x +5 x e-x -e-x ) dx
0

Nhận xét: Câu 4: biểu thức trong dấu tích phân có dạng tích ta cũng chưa áp dụng
ngay ñược các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết nhân phân phối rút gọn rồi áp
dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 1/, 2/, 5/ trong bảng nguyên hàm.

 2 5x
1 4
⇒ I = ∫e (2xe +5 e -e ) dx = ∫ (2x +5 -1 ) dx =  x +
-x  =
ln5  0 ln5

0
0
1

1

x

7 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

π

π

8

6) I = ∫(4sin2x - 12cos4x)dx = (-2cos2x - 3sin4x)
0

8

= - 2 -3 + 2 = -1- 2

0

Nhận xét: Câu 6 trên ta cũng chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/ ,
7/ trong bảng nguyên hàm phần các công thức bổ sung.
π
12

7) I =

∫ sin



(2x -

0

π
4

)dx =

1
2

12

π



π 

1

12

∫  1 - cos(4x - 2 ) dx = 2 ∫ (1 - sin4x )dx

0

π

0

Nhận xét: Ở câu 8: biểu thức trong dấu tích phân có dạng tích ta cũng chưa áp dụng
ngay ñược các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết phải biến ñổi lượng giác biến
ñổi tích thành tổng rồi áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/ trong bảng nguyên hàm
phần các công thức bổ sung.
π

π

16

16

1
⇒ I = ∫ cos6x.cos2xdx =
2
0
=


1 1
1
∫0 (cos8x +cos4x )dx = 2  8 sin8x + 4 sin4x 

π
16
0

 1 1


Nhận xét: Câu 9 biểu thức trong dấu tích phân có chứa giá trị tuyệt ñối, ta hướng
học sinh khử dấu giá trị tuyệt ñối bằng cách xét dấu biểu thức x2 – 1 trên [-2;2] và kết hợp
với tính chất 5/ của tích phân ñể khử giá trị tuyệt ñối.
Footer Page
7 of 258.
Trường
THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 7


Header Page
8 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
2

⇒ I=

∫x

-1
2

-1dx =

-2

∫ (x


3

3x +9
dx
x - 4x -5
2
Nhận xét: Câu 10 trên ta không thực hiện phép chia ña thức ñược như câu 2 và 3,
mặt khác biểu thức dưới mẫu phân tích ñược thành (x -5)(x +1) nên ta tách biểu thức
3x+9
A
B
4
1
=
+
=
trong dấu tích phân như sau: 2
(phương pháp hệ số
x - 4x -5 x -5 x+1 x -5 x+1
bất ñịnh)
3
3
3
3x +9
1 
 4
⇒ I= ∫ 2
dx = ∫ 
dx

27

(b2 - 4ac ≥ 0) ta làm như sau:

TH1: Nếu b 2 - 4ac = 0 , khi ñó ta luôn có sự phân tích ax 2 +bx + c = a(x +
⇒ I= ∫

b 2
)
2a

b
ba'
ba'
)+b' b' a'
dx
dx
2a
2a dx =
2a
+
∫
∫
b
b
a x+ b
a
a(x + )2
(x + )2
2a

9 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

Chú ý 3:
TH1: ðể tính I = ∫

P(x)
dx ta làm như sau:
(x -a1 )(x -a2 )...(x -an )

P(x)
A1
A2
An
=
+
+...+
(x -a1 )(x -a2 )...(x -an ) (x -a1 ) (x -a2 )
(x -an )

TH2: ðể tính I = ∫

P(x)
dx ta làm như sau:
(x -a1 ) (x -a2 )k ...(x - an )r
m


1

1) I = ∫(x x + 2x 3 +1)dx
0

2

2x 2 x + x 3 x - 3x + 1
dx
2
x
1

2) Ι = ∫

0

3) I =

5) I =

x 3 -3x 2 -5x +3
dx
∫-1
x -2

2

4) I =


7) I =

∫ cos

2

4

2xdx

8) I =

∫x

2

+ 2x -3 dx

-2

0
4

dx
9) I = ∫ 2
x -5x +6
1
2

1

Trang 9


Header Page
10 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

II.4. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ:
II.4.1. Phương pháp ñổi biến số loại 1:
b

Ta có chú ý (SGK trang 123): Tích phân

∫ f(x)dx

chỉ phụ thuộc vào hàm số f(x),

a

cận a và b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân. Tức là:
b

b

b

a

ðổi cận:

x=

2
2
π
⇒ 2sint =
⇒t =
2
2
6

x =0 ⇒
π
6

⇒ I= ∫
0

2sint = 0 ⇒ t = 0
π

π

π

6
2cost.dt 6 2cost.dt
π

1
không xác ñịnh khi x= 2 .
2-x2

Do ñó khi ra ñề ở dạng trên Giáo viên cần chú ý: hàm số f (x) xác ñịnh trên [a;b]

Footer Page
10 of 258.
Trường
THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 10


Header Page
11 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

6
2

2) I =

∫

3 - x 2 dx



π

34
3
1
3 π 1 
4
3 -3sin t . 3cost.dt = ∫ 3cos t.dt = ∫ (1+cos2t ).dt =  t+ sin2t  =  + 
20
2 2
24 2

0
4

2

2

0

β

a) Khi gặp dạng

∫
α

β

 2 2
π π

π π

Lưu ý: Vì t ∈ - ;  ⇒ α ', β ' ∈ - ;  ⇒ cost > 0
 2 2
 2 2
β

⇒ ∫ a - x dx =
2

α

β'

∫
α

β'

a -a sin t .acostdt = ∫ a 2cost 2dt , hạ bậc cos2t.
2

2

2

α'

α

β

a 2 -u 2(x)dx hay

∫
α

dx
(a > 0)
a 2 - u 2(x)
π π

ðặt u(x) = a.sint ⇒ u'(x).dx = a.cost.dt , t ∈ - ; 
 2 2
Footer Page
11 of 258.
Trường
THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 11


Header Page
12 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
 π π



3 - (x -2 ) dx
2

2

π π

ðặt x - 2 = 3 sint ⇒ dx = 3 cost.dt , t ∈ - ; 
 2 2
ðổi cận:

x = 2+

6
2
π
⇒ sint =
⇒t =
2
2
4

x = 2 ⇒ sint = 0 ⇒ t = 0
π

π

4


=

0

3 π 1 
+
2  4 2 

dx
dx
2+x 2

Nhận xét: Ta thấy tam thức bậc hai ở mẫu số vô nghiệm nên ta không sử dụng
phương pháp hệ số bất ñịnh như ví dụ 4.10 và không phân tích biểu thức trong dấu tích
phân ñược như chú ý 2 và chú ý 3.
 π π
ðặt: x = 2tgt ⇒ dx = 2. (1+tg 2t )dt , t ∈  - ; 
 2 2
x = 2 ⇒ 2tgt = 2 ⇒ t =

ðổi cận:

x =0 ⇒
π
4

⇒ I= ∫
0

π

c) Khi gặp dạng

∫
αa

2

 2 2

Footer Page
12 of 258.
Trường
THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 12


Header Page
13 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
 π π
ðổi cận:
x = β ⇒ t = β’ ∈  - ; 
 2 2
 π π
x = α ⇒ t = α’ ∈  - ; 
 2 2

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

1 2+ ( x -1)

 π π
ðặt x -1= 2tgt ⇒ dx = 2. (1+tg 2t )dt , t ∈  - ; 
 2 2

ðổi cận:
π

x = 1+ 2 ⇒ tgt = 1 ⇒ t =
x = 1 ⇒ tgt = 0
π
4

⇒ I= ∫
0

4

⇒t = 0

π

2.(1+tg 2t )dt 4 2
2
= ∫ dt =
t
2
2+2tg t
2

 2 2
 π π
ðổi cận:
x = β ⇒ t = β’ ∈  - ; 
 2
 π
x = α ⇒ t = α’ ∈   2

2
π
; 
2

Tóm lại: Phương pháp ñổi biến số dạng 1:
ðịnh lý: Nếu
1. Hàm số x = u(t) có ñạo hàm liên tục, ñơn ñiệu trên ñoạn [α;β].
2. Hàm số hợp f [u(t)] ñược xác ñịnh trên ñoạn [α;β].
Footer Page
13 of 258.
Trường
THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 13


Header Page
14 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”


Một số dạng khác thường dùng phương pháp ñổi biến số dang 1:
1
a
* Hàm số trong dấu tích phân chứa a 2 -b 2 x 2 hay
ta thường ñặt x = sint
b
a 2 -b 2 x 2
1
a
* Hàm số trong dấu tích phân chứa b 2 x 2 - a 2 hay
ta thường ñặt x =
bsint
b2 x 2 - a 2
a
1
* Hàm số trong dấu tích phân chứa 2
ta thường ñặt x = tgt
2 2
b
a +b x
a
* Hàm số trong dấu tích phân chứa x(a -bx) ta thường ñặt x = sin 2t
b
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 2: Tính các tích phân sau:
1
1
x2
2
1) I = ∫ x 1 - x dx
2) I = ∫

∫
1
1

x +1
dx
x(2 - x)

dx
0 x + x +1

6) I = ∫

Hướng dẫn: Câu 4: ðặt x =

1
sint

2

Câu 5: ðặt x = 2sin 2t

π
VD9: Chứng minh rằng: Nếu hàm số f(x) liên tục trên 0;  thì
 2
π

π

2

of
258.
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
2

4

Trang 14


Header Page
15 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

Giải
π
2

VT =

∫ f (sinx )dx

ðặt x =

0

ðổi cận x = 0 ⇒ t =

2

Áp dụng phương pháp trên ñể tính các tích phân sau :
π

sin 4x
dx
∫ 4
4
0 sin x + cos x
2

1) I =

π

ðặt x =

2

- t ⇒ dx = -dt .

ðổi cận x = 0 ⇒ t =
sin 4(

0

I= - ∫
π



2
cos t
cos 4x
dt
=
dx
∫ 4
∫ 4
4
4
0 sin t + cos t
0 sin x + cos x
2

π

- t)+ cos 4(

2

dt =
- t)
π

π

2
sin x
cos x

4

ðổi cận x = 0 ⇒ t =

π
4

;x=

π

π
4

⇒t =0

π

π

4

4

π

4
1-tgt
⇒ I = - ∫ ln[1+tg( -t)]dt = ∫ ln(1+
)dt = ∫ [ln2 -ln(1+tgt)]dt = ln2. ∫ dt - I

Header Page
16 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

1)

π

π

2

2

n
n
∫ sin xdx = ∫ cos xdx

0

HD: ðặt x =

0

π
2

GV: NGUYỄN DUY KHÔI



ππ

0

20

4) Chứng minh rằng: ∫ xf(sinx)dx =
π

Áp dụng: Tính I =

∫ f(sinx)dx (HD: ðặt x = π - t )

xsinx

∫ 4+ sin 2 x dx .

0

BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 4: Tính các tích phân sau: (Các ñề tuyển sinh ðại học)
a) I =

2
2

∫
0
2



0

3
2

1

2 3

0
a

0

e) I =

(1- x ) dx

b) I = ∫

2

dx

(1+ x )

2 2

(ðH TCKT 2000)

ðặt: u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx
ðổi cận:

x = b ⇒ u2 = u(b)
x = a ⇒ u1 = u(a)

u2

⇒ I = ∫ f (u )du
u1

Footer Page
16 of 258.
Trường
THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 16


Header Page
17 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

a) Một số dạng cơ bản thường gặp khi ñổi biến số loại 2:(Dạng nghịch)
Trong một số trường hợp tính tích phân bằng phương pháp phân tích hay tính tích
phân bằng tích phân ñổi biến số loại 1 không ñược nhưng ta thấy biểu thức trong dấu tích
phân có chứa:

5 2
1. a) I = ∫(x +1) x dx
0
3
2
2
ðặt: u = x +1 ⇒ du = 3x dx ⇒ x dx =

du
3

ðổi cận:
x

0

1

u

1

2

2

⇒ I = ∫ u5
1

du 1 2 5

Header Page
18 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
⇒ 2udu = 6xdx ⇒ 12xdx = 4udu

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

ðổi cận:
x

0

2

u

2

4

4

4

⇒ I = ∫ u.4u.du = ∫ 4u 2 .du =
2

2


...
2

x2
dx
1+7x 3

c) I = ∫ 3
0

u2 -1
2

ðặt u 3 = 3 1+7x 3 ⇒ u 3 = 1+7x 3
⇒ 3u 2du = 21x 2dx ⇒ x 2dx =

u 2du
7

ðổi cận:
x

0

u
2

1

1

14 14 14
1

x 2 .x
dx
x 2 +1
0

dx

Ta có: I = ∫

x

0

1

u

1

2

x 2 +1
ðặt u = x 2 + 1 ⇒ x 2 = u - 1
du
⇒ du = 2xdx ⇒ xdx =
2
ðổi cận:

Footer Page
18 of 258.
Trường
THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 18


Header Page
19 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

π
6

4
4.a) I = ∫ sin x.cosx.dx

ðặt: u = sinx ⇒ du = cosx.dx

0

ðổi cận:
x

0


sinx
dx
1+3cosx
0
2

b) I = ∫

(HD: ðặt u = 1+3cosx )

π
2

c) I = ∫ 1+3sinx.cosxdx

(HD: ðặt u = 1+3sinx )

0

π

sin2x +sinx
dx
1+3cosx
0
2

5.a) I = ∫

π

x
u

2

2

1

 u -1
 -2udu 
+1  
2

3
  3  dx = 2
⇒I = ∫
2

1

2

=

u

2

(2u



Header Page
20 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

Nhận xét: ðối với những bài chứa căn thức, học sinh có thể ñặt u bằng biểu thức
trong dấu căn, nhưng sau khi ñổi biến thì tích phân mới vẫn còn chứa căn thức nên việc
tính tiếp theo sẽ phức tạp hơn (tức là học sinh phải ñưa về xα). Ví dụ: Cách 2 của câu 5
π

sin2x +sinx
dx
1+3cosx
0
2

5.a) I = ∫

(ðề ðH khối A – 2005)

π

π

2
sinx (2cosx +1 )

π
2

1

-du 
 u -1
+1 
2
1 4 (2u+1 )
3
3 


⇒I = ∫
du = ∫
du
1

9

u

4

u

1

4

1  32
4  34
= 
+4- -2  =
9 3
3  27

=

Nhận xét: Rõ ràng cách giải 2 ñặt u bằng biểu thức trong căn thấy phức tạp hơn so
với cách 1.
π

sin2x.cosx
dx
1+cosx
0
2

b) I =

∫

π
4

6.a) I = ∫
0

(tgx +1 ) dx


 u3  2 8 1 7
 = - =
3 1 3 3 3

⇒ I = ∫ u 2du = 
1

Footer Page
20 of 258.
Trường
THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 20


Header Page
21 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

π
4

tg 2 x - 3tgx +1
dx
cos 2 x
0

1

0

0

1

1

1

0

0

⇒ I = - ∫e udu = ∫e udu = e u = e - 1
π
2

b) I =

3cotgx +1
dx
sin 2 x

∫
p
4
e3


2

⇒ I = ∫ u.2udu = 2 ∫ u 2du =
1

1

2u 3
3

2

=
1

2.2 3 2.13 14
=
3
3
3

e7

lnx.3 1+lnx
dx
x
1

b) I = ∫

7
7 4 1
7 4 

⇒ I = ∫ (u 3 -1 ) .u.3u 2du = 3 ∫ (u 6 -u 3 )du = 3 
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 5:
Footer Page
21 of 258.
Trường
THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai

Trang 21


Header Page
22 of 258.
CHUYÊN
ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

1. Tính các tích phân sau:
π
2

2

a) I = ∫ (5sinx -1 ) cos x.dx
3



sinx
dx
1+3cosx
0

e) I = ∫ sin 4x.cosx.dx

d) I = ∫

f) I = ∫ cos5 x.dx

0

π

0

π

π

6

4

2

g) I = ∫ sin 2 x.cos 3 x.dx


sin2x
k) I = ∫
dx
1+cos 2 x
0

j) I = ∫ sinx - sin x .dx
3

0

dx

1+ 26x 3

2. Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tốt nghiệp)
π
2

a) I = ∫ sin 5 x.dx (TNTHPT Năm 93-94)

2

x2

b) I = ∫

x3 + 2

1

6

e) I = ∫(sin6xsin2x+6).dx (TNTHPT 00-01)
0

2

f) I = ∫(x+sin2x)cosx.dx (TNTHPT 04-05)
0

3. Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tuyển sinh ðại học)
π

sin2x +sinx
dx
1+3cosx
0
2

∫

a) I =

(ðH khối A – 2005)

π

sin2x.cosx
dx
1+cosx


d) I =

∫

2

(ðH khối A – 2006)
(ðH khối B – 2006)

1

f) I = ∫(x -2)e 2xdx

(ðH khối D – 2006)

0

4. Tính các tích phân sau: (Các dạng khác)
13

a) I =

∫
0

dx
3
2x +1


d) I = ∫
dx
6cosx - 2
0

e7

1

e4

h) I =

1+e x

0

1
5
4

1

∫

x +1
.dx
x -1

i) I = ∫

e7

lnx.3 1+lnx
g) I = ∫
dx
x
1

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

e

(x +1)
x
dx (HD: t = xe )
x
x(1+
xe
)
0

m) I = ∫

e x -1 dx

0

5. Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tuyển sinh ðại học)
1


3) I = ∫

xdx
(ðHQGTPHCM 1998)
2x +1

∫

4) I =

0

π

π

5) Ι = ∫ cosx sinxdx (ðHBKHN98);
0
7
3

7) I = ∫ 3
0

x +1
dx (ðH GTVT 1998);
3x +1

2



π

π

2

sin 4x
dx (ðH GTVT 1999)
sin 4x +cos 4x
0
2

11) I = ∫ sin2x (1+ sin 2 x ) dx (ðHNT 1999); 12) I = ∫
3

0
1

dx
(ðH Cñoàn 2000);
2x
e +3
0

13) I = ∫

14) I =

ln2

6

2

sin x
dx (ðH Huế 2000);
6
cos x + sin 6 x
0

17) I = ∫

2

18) I = ∫
0

cosx
dx (ðHNN1-KB 01)
sinx + cosx

π
2

dx
4
1 x ( x +1 )

19) I = ∫


3

2 3

25) I =

∫

5

)

4

1- 2sin 2 x
dx (ðHCð khối B 2003)
1+ sin2x
0

cosx - sinx dx (CðSPQN 2002); 24) I = ∫
3

dx
x x2 + 4

1

(ðH-Cð khối A 2003); 26) I = ∫ x 3 1- x 2 dx (ðH-Cð khối D 2003)

Footer Page

a

b

∫ u(x).dv = [u(x).v(x)]

b

a

a

b

b

b

a

a

a

b

− ∫ v(x).u'(x).dx
a

b

a

Chú ý: Khi tính tích phân từng phần ta phải nắm nguyên tắc sau:
+ Chọn phép ñặt dv sao cho dễ xác ñịnh ñược v
+

b

∫ vdu
a

phải dễ xác ñịnh hơn

b

∫ udv
a

b) Một số dạng thường dùng phương pháp tích phân từng phần:
Nếu biểu thức trong dấu tích phân có chứa:
Dạng 1: P (x ) sin(nx).dx ; P ( x ) cos(nx).dx ; P ( x ) .enxdx ; P (x ).a nxdx ta nên ñặt:
u = P(x)

nx
nx
dv = sin(nx)dx hay cos(nx)dx hay e dx hay a dx

Dạng 2: P ( x )lnx.dx ; P ( x ) loga x.dx ta nên ñặt:
u = lnx hay u = loga x



dv = cos3xdx

du = 3dx

⇒
1
v = sin3x

3
π

π

π

3
3
2
⇒ I = 1 (3x -1)sin3x - ∫ sin3xdx = 0+ 1 cos3x = 3
3
3
0
0
0
3

1

2. I = ∫(2x +1)ln(x +1)dx

2 0
2
2

1

2
2x
3. I = ∫ ( 4x - 2x -1 )e dx (ðH GTVT 2004)
0



du = (8x - 2)dx

u = 4x 2 - 2x -1
⇒
ðặt: 
1
2x
 v = e2x
dv = e dx

2
1 1
1
1
⇒ I = (4x 2 - 2x -1). e 2x - ∫(4x - 1) e 2xdx = A - Β
2
2

⇒ ( 4x -1 ) e 2x
2

1

0

1
2

1

3
1
− ∫ 2e 2x dx = e 2 + -e 2x
2
2
0
0

1

0

1
3
= e2 +
2
2