CHUYÊN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Khái niệm nguyên hàm của một hàm số:
Hàm số f (x) xác định và liên tục trên khoảng D
Hàm số F ( x ) được gọi là một nguyên hàm của f ( x ) nếu F ' ( x) = f ( x), " x Î D
Và nguyên hàm của f (x) được xác định theo công thức, thực chất đây chỉ là ký hiệu của nguyên hàm của
một hàm số:

F ( x) =

ò f ( x)dx

Để tìm nguyên hàm của một hàm số ta dựa vào nguyên hàm của một số hàm cơ bản:
Nguyên hàm của một số hàm cơ bản:
a
ò x dx =

ò

xa + 1
+ c, a ¹ - 1
a+1

dx
= ln x + c
x

Khái niệm tích phân của một hàm số:
Tích phân của một hàm số f ( x ) được xác định trên một đoạn [a, b ]là giá trị của F (b) - F (a) và được ký
b


Lời giải:
1

Ta có I =

1

ò (2 x - 1)( x - 1)

100

1

ò (2( x - 1) + 1)( x - 1)

100

dx =

0

0

1

= 2ò ( x - 1) d ( x - 1) +

ò ( x - 1)

100

( x - 1)102 +
( x - 1)100 =
0 101
0 5151
51

0

0

0

2

2

2

3
2

0

1
(2 x + 1) - 1
1
1
2 x + 1dx = ò (2 x + 1) dx - ò (2 x + 1) 2 dx
Bài 2. Tính tích phân I = ò x 2 x + 1dx = ò
2

1
d
2
x
+
1
2
x
+
1
dx
2
x
+
1
=
2
x
+
1
2
x
+
1
(
) (
) ò(
) (
)
(


ò
0

1

=

1

x4 + 5
dx =
x+ 1

ò
0

1

3
2
ò (x - x + x - 1)+
0

ò
0

Bài 4. Tính tích phân I =

x4 - 1+ 6


æ1 4 1 3 x 2
ö1
1 - 7
çç x - x +
÷
- x÷
+ 6ln x + 1 =
÷
÷
çè 4
0 12
3
2
ø0

dx
x + 1+ x- 1

Lời giải:
Ta có I =

ò

dx
1
= ò
x+ 1+ x- 1 2
4




Lời giải:
4

ò

Ta có I =

1

2

æ 1
1ö
çç
+ x÷
÷
÷ dx =
çè 2 x e ø

Bài 6. Tính tích phân I =

4

æ 1

ò çççè2
1


ò 1- sinx dx =

ò cos xdx + ò cos x sinx dx = ò (13

3

ò cos

sin 2 x)d (sinx )-

3

x (1 + sinx )dx

ò cos xd (cosx)
3

1 3
1
sin x - cos 4 x + c
3
4

= sinx-

p
4

Bài 7. Tính tích phân I =



p
4

ò
0

( x sinx+ cosx) + x cosx
dx =
x sinx+ cosx

p
4

p
4

x cosx

ò dx + ò x sinx+ cosx dx
0

0

p
d ( x sinx+ cosx) p
p
p+ 4 2
= + ln x sinx+ cosx 4 = + ln
x sinx+ cosx

- tan xữ
d (tan x) =
ữ
2
ữ
ứ
tan x

ũ ỗỗỗố1-

ũ 1-

tan 3 x
ũ cos2 x (1- tan 2 x)dx =

tan x
d (tan x) tan 2 x

tan 3 x
ũ 1- tan 2 xdx(tanx)

ũ tan xd (tan x)

- 1 d (1- tan 2 x) 1
1
1
- tan 2 x = - ln 1- tan 2 x - tan 2 x + c
2
ũ
2


=

ũ min( x ,

x )dx =

x )dx +

0

2

ũ x dx + ũ
2

0

2
2

0

1

x.

1

xdx =

Ta cú f ' ( x) =

ộ p pự
ộ p pự
1
- 1 0, " x ẻ ờ- ; ỳị f ( x) l hm s ng bin trờn on ờ- ; ỳ
2
ờở 4 4 ỳ
ờở 4 4 ỳ
cos x
ỷ
ỷ

Ta cú f (o) = 0 . T ú suy ra
4

http://dethithpt.com Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


ộ p ự
f (x) Ê f (0) = 0, x ẻ ờ- ;0ỳ tan x Ê x, x ẻ
ờở 4 ỳ
ỷ

ộ p ự
ờ- ;0ỳị min(tan x, x) = tan x, x ẻ
ờở 4 ỷ
ỳ

ộ p ự

-

p
4

p
4

p
1 2
= ũ tan xdx + ũ xdx = x 4 +
2
p
0
0
0

4

0

0
sinx
p2
p2
2
ũp cosx dx = 32 - ln cosx - p = 32 + ln 2
4
4
0

ũ x( x - 1)dx
0

ổ1
1 ử1 ổ
1
1 ử2
= ỗỗ x 2 - x3 ữ
+ ỗỗ x3 - x 2 ữ
ữ
ữ
ữ
ữ1 = 1
ỗố 2
ỗ
3 ứ 0 ố3
2 ứ
3

ũ

Bi 12. Tớnh tớch phõn I =

0

x2 - x
x2 + 3

dx


=-

ò
0

3

x2 - x
dx +
x2 + 3
1

Xét K = -

ò
0

ò
1

x2 - x
dx = x2 + 3

1 4
= - 1 + ln +
2 3
Đặt x =

x2 - x
dx


òx
0

2

3
dx
+3

3dx
2
+3

òx
0

3 tan t Þ dx =

Khi đó K = - 1 +

Tương tự: L =

1

ò

3

dt


ò
0

x 2 + e x + 2 x 2e x
dx
1 + 2e x

Lời giải:
1

Ta có I =

ò
0

x 2 + e x + 2 x 2e x
dx =
1 + 2e x

1

ò
0

x 2 (1 + 2e x )+ e x
1 + 2e x

1


ln xdx
2 + ln x +

2 - ln x

)

Lời giải:
6

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Đặt t = ln x Û dt =
1

Vậy I =

ò x(
0

=

dx
; x = 1 Þ t = 0; x = e Þ t = 1
x
1

tdt
2+ t +


1 4
+
2
3 3

xn
Bài 15. Tính tích phân I = ò
dx, (n Î N * )
2
3
n
x
x
x
1+ x +
+
+ ... +
2! 3!
n!
Lời giải:
Đặt f n ( x) = 1 + x +

Vậy I =

x 2 x3
xn
x 2 x3
xn - 1
+

ò
ç
ç
÷
÷
f n ( x)
f n ( x) ø
f n ( x) ø
è
è

æ
x 2 x3
xn ö
÷+ C
= n ! x - n !ln f n ( x) + C = n !ln çç1 + x +
+
+ ... + ÷
çè
÷
2! 3!
n! ÷
ø
1

Bài 16. Tính tích phân I =

ò 1+ x + x

dx

1
2
x
1
+
x
(
)
(
)
(
)
- 1
- 1
- 1
1

Ta có

x 4 + 3x 2 + 1
dx
2 x (1 + x 2 )

æ
ö
p ÷
çç
÷
æ
ö

- ÷
÷
ççè
÷
4ø
1

2

1

7

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

N=

x 4 + 3x 2 + 1
dx, đặt x = - t Þ dx = - dt ; x = 1 Þ t = - 1; x = - 1 Þ t = 1
2 x (1 + x 2 )

ò
- 1

4

- 1

1

Bài 17. Tính tích phân I =

dx

ò (1+ x )
n

0

n

1+ xn

Lời giải:

Ta có

dx

ò (1+ x )
n

- 1-

æ 1ö
= ò çç1 + n ÷
÷
çè x ÷

- 1-

1 æ 1ö
dx = - ò çç1 + n ÷
÷
ø
n çè x ÷

1
n

ò

x- n- 1dx
1+

æ 1÷
ö
çç1 + n ÷
çè x ÷
ø

1
n

-

1

æ 1ö æ 1÷

6

cosx+ sinx
dx
sinx+ 1)sinx

x

Lời giải:

8

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


p
2

p
2

cosx+ sinx
Ta có I = ò x
dx =
p (e sinx + 1)sinx

e x (cosx+ sinx )

ò (e


÷
dx = ln
ln ç
÷
p =
÷
÷
t (t + 1)
t + 1 1 6 3 çç p2
e
çè e + 1 ÷
ø
2
e2

e2

Vậy I =

dx

ò
p

1 6
e
2

ln 2



ln 2

ò x dx +
2

0

ò
0

2e 2 x - e x
dx
e2 x - e x + 1

ln 2
1 3 ln 2
ln 3 2
2x
x
= x
- ln e - e + 1
= 2+
0
0
3
3
1

Bài 20. Tính tích phân I =


1

dx =

1+ 1+ x2
6

ò
0

1

(

) (

d 1+ 1+ x2 = 1+ 1+ x2

1+ 1+ x2

1

)0=

2- 1

2

æ ln x ÷

ø
1 è
6

e

=

æ

ò d çççèx 1

4x
ln x +

ö
÷
÷
÷=
2ø

æ 4 (ln x + 2)- 4 x (ln x + 2)' ö÷
ç
÷
÷
2
ò èççç1÷dx
ln
x
+

100

x) dx

0

1

Bài 2. Tính tích phân I =

100

ò (2 x + 1)(x - 1)

dx

0

0

Bài 3. Tính tích phân I =

2

100

ò (x - 1) (x + 1)

dx



2

x 2 - 1dx

0

p
2

Bài 7. Tính tích phân I =

ò (cos

3

x - 1)sin 2 xdx

0

p
2

Bài 8. Tính tích phân I =

ò max (sinx, cosx )dx
0

p
4

ln 2

Bài 11. Tính tích phân I =

2e x + 3
ò ex + 2e- x + 3dx
0
p
3

Bài 12. Tính tích phân I =

ò
0

xe x (4 + 4 (sinx + cosx )+ sin 2 x )
dx
2
(1 + cosx )

p
2

Bài 13. Tính tích phân I =

ò min (tan x + 2sinx,3 x )dx
-

p
2

Bài 16. Tính tích phân I = ò ë
(x + 1)(x + 2)
1
x+ 1

2

3

Bài 17. Tính tích phân I =

òe

x

x2 + 1

x2 + 1

0

Bài 18. Tính tích phân I =

Bài 19. Tính tích phân I =

ò
ò

x 2 + 1cos 4 x 2 + 1
x 2011

11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


0

Bài 21. Tính tích phân I =

dx

ò 1+

-

- x (x + 1)

1
2

p
4

Bài 22. Tính tích phân I =

ò cos 2 x+ sinx

-

p


ò
0

dx

(

3

ex +

ln 3

Bài 26. Tính tích phân I =

+ 1)

òe
ln 2

2

)

e2 x dx
x

- 1+


6

sin 2 x +

1
dx
2

p
2

Bài 30. Tính tích phân I =

ò

10

1- cos5 x sinx cos9 xdx

0

12

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

Bài 31. Tính tích phân I =



0

3

Bài 34. Tính tích phân I =

ò 1+ x
1
3

2

dx
+ x98 + x100

1

Bài 35. Tính tích phân I =

dx

ò

(

x2 + 1 x + 1+

0



1

Bài 40. Tính tích phân I =

ò
0

p
2

Bài 41. Tính tích phân I =

ò
0

dx
2

(

)

x2 + 1 + 1

sinx (1 + 14 x cosx )- x sin 4 x
dx
7 - 2cos 2 x

1


x3 x3 + 8 + (3x3 + 5 x 2 )ln x
x

1

p
2

Bài 43. Tính tích phân I =

ò
0

dx

æ
pö
4sin 2 x + cos 2 2 x - 2 cos 2 çç2 x - ÷
÷
çè
ø
4÷
dx
4
4
sin x + cos x

5


I = G ( x) +

ò

P( x)

P* ( x)
dx thực hiện phép chia đa thức ta được
Q( x )

ò Q( x) dx trong đó P ( x), G( x), P( x), Q( x) là các đa thức hệ số thực và bậc của P ( x) nhỏ hơn
*

bậc của Q ( x ) .
Để tính tích phân các hàm phân thức hữu tỉ ta tiến hành phân tích

P( x)
thành tổng của các hàm phân thức
Q( x)

đơn giản.
+

Nếu Q(x) = (x- x1 )( x - x2 )...( x - xi ) k ...( x - xn ), trong đó xi là các nghiệm của đa thức Q ( x ) thì ta
giả sử phân tích được:

An
A1
A2
P( x)

...
+
2
ờx - x
k ỳ
( x - xi ) ỳ
x - xn
(x - xi )
ờở
i
ỷ

ca cỏc ng thc v so sỏnh h s hai v ta suy ra cỏc h s cn xỏc nh t thc mi phõn thc n
gin hoc cú th thay cỏc giỏ tr c bit ca x vo hai v.
Cỏch nh phõn tớch l nu mu l tam thc bc hai thỡ t thc cú dng Bx + C
Mt s khai trin nhanh (nờn nh)


ử
1
1 ( x - b) - ( x - a )
1 ổ
ỗỗ 1 - 1 ữ
=
.
=
ữ
ữ
( x - a)( x - b) a - b ( x - a )( x - b)
(a - b) ỗố x - b x - a ứ


ộ 1
ửự
1
2 ổ
ỗỗ 1 - 1 ữ
ờ
ỳ
+
ữ
2
2
ữỳ
ờở( x - a)
( x - b)
a - b ỗố x - b x - a ứ
ỷ

Bi 1. Tớnh tớch phõn I =

ũ

x3 + 1
dx.
x3 - 5 x 2 + 6 x

Li gii:
Ta cú

Gi s

6.

15

http://dethithpt.com Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


Thay x = 2 vào (*) suy ra 9 = - 2 B Þ B = -

Thay x = 3 vào (*) suy ra 28 = 3C Þ C =

Vậy I =

=

æ

1

ò çççè1+ 6 x 1

ò dx + 6 ò

9
2

28
3

ö

+
,"x
2
2
( x - 2)( x - 1)
( x - 1)
x- 1 x- 2
Û 3x 2 + 3x + 3 = A( x + 2) + B( x - 1)( x - 2) + C ( x - 1)2 , " x(*)

Thay x = 1 vào (*) suy ra 9 = 3A Þ A = 3
Thay x = - 2 vào (*) suy ra 9 = 9C Þ C = 1
Thay x = 0 vào (*) suy ra 3 = 2 A- 2B + C Þ B = 2
Vậy I =

=-

æ 3
ö
2
1 ÷
çç
+
+
÷
ò çè( x - 1)2 x - 1 x + 2 ÷÷ødx

3
+ 2 ln x - 1 + ln x + 2 + c
x- 1
1

dx
÷
÷
4 x 2 + x 2 + 1ø

1

Vậy I =

1

2
2
1
B= 2
2
C=
2
1
D= 2

A= -

1

2
2x - 2
2
2x + 2
=

+ 1)

ò x( x
1

Lời giải:
Ta có x( x3 + 1) = x(x+ 1)(x 2 - x + 1)

17

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Giả sử

1
A
B
Cx + D
= +
+ 2
,"x
x( x + 1) x x + 1 x - x + 1
3

Û 1 = A( x3 + 1) + Bx( x 2 - x + 1) + (Cx + D) x( x + 1), " x(*)

Thay x = 0 vào (*) suy ra 1 = A Þ A = 1
Thay x = - 1 vào (*) suy ra 1 = - 3B Þ B = -


ìï
2
ïï C = ï
3
í
ïï
1
ïï D =
3
ïî

1
1 2x - 1 ö
÷dx
÷
2
÷
3( x + 1) 3 x - x + 1÷
ø
2

dx 1
dx
1
2x - 1
- ò
- ò 2
dx
x 3 1 x+ 1 3 1 x - x+ 1



dx

0

1

Bài 3. Tính tích phân I =

ò
0

x2 + 1
dx
x4 + x2 + 1

18

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2

Bài 4. Tính tích phân I =

x4 + 1
dx
x6 + 1

ò


ò
0

4

Bài 8. Tính tích phân I =

dx
+ x2 + 1

3x3
dx
x 2 - 3x + 2

ò
3

2

Bài 9. Tính tích phân I =

x3
ò ( x + 1)2 dx
1
3

Bài 10. Tính tích phân I =

dx


1

Bài 14. Tính tích phân I =

dx
+ x3

dx
+1

3

x5
dx
x2 + 1
x

ò (1+ 2 x)

3

dx

0

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CÓ MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC
19

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

ũ ( x - 1)( x + 2) = 3 ũ ( x - 1)( x + 2) dx = 3 ũ ỗỗỗố x - 1 - x + 2 ữữữứ
0
0
0

1ổ
ỗỗ dx 3 ỗỗốũ x - 1

2

ũ
0

dx ử
1
x- 1 2
ữ
ữ
= ln
= - ln 2
ữ
x + 2ữ
ứ 3 x+ 2 0
3

Bi 2. Tớnh tớch phõn I =

dx

ũ ( x + 3)( x + 6)(x+ 9)

ự 1 ộ 3 (x + 6) - ( x + 3)
dx
ỳ=
ờ
ỳ
ờũ (x+ 3)(x+ 6) dx (x + 6)(x+ 9) ỳ
18
ờở 0
ỷ

3

ũ
0

(x + 9) - ( x + 6) ự
dxỳ
ỳ
(x+ 6)(x+ 9)
ỳ
ỷ

3
ử
1 ổ
1
( x + 3)( x + 9) 3
32
ỗỗ 1 - 1 - 1 + 1 ữ
dx

(3x + 5)10
Ta có I = ò
dx = I =
( x + 2)12
0

10

1

æ3x + 5 ö
dx
ò çççè x + 2 ø÷÷÷ (x+ 2)2
0

10
11
1
1
æ3x + 5 ö
1 æ
3x + 5 ö
1 æ
3x + 5 ö
÷
÷
÷
ç
ç
ç

99

1

æ7 x- 1ö
dx
ò çççè2 x + 1ø÷÷÷ (2 x+ 1)2
0

99
100
1
1 2100 - 1
æ7 x - 1ö
1 æ
7 x - 1ö
1 æ
7 x - 1ö
÷
÷
÷
ç
ç
ç
= òç
÷
÷
÷
÷ d èçç 2 x + 1ø
÷= 900 èçç 2 x + 1ø

3

= I=

dx

ò æx + 3ö
çç
çè x +
6

÷
( x + 5)8
÷
÷
ø
5

é( x + 3) - (x+ 5) ù æx +
.
ò æx + 3ö5 êêë ( x + 5) úúû d çççè x +
÷
çç
÷
çè x + 5 ÷
ø
1

=


dx
6
( x + 5) ( x + 5)2

(t - 1)6 dt , t =

x+ 3
x+ 5

t 6 - 6t 5 + 15t 4 - 20t 3 + 15t 2 - 6t + 1
dt
ò
t5
2
ö
1æ
ççt - 6t + 15ln t + 20 - 15 + 2 - 1 ÷
÷
+c
÷
÷
27 çè 2
t
2t 2 t 3 4t 4 ø

21

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất




3

ò
1

3

ò
1

3
3
dx
1 x 2 - ( x 2 - 3)
1æ
xdx
ç
= ò
dx = ççò 2
2
2
x( x - 3) 3 1 x( x - 3)
3 çè 1 x - 3

3

ò
1


Ta có

I=

ò

dx
=
9
x - 3x5

ò

ö
ö 1 æ dx 1 ( x 4 + 3) - x 4 ÷
dx ÷
çç
÷
÷=
dx
÷
÷
÷ 3 çèò x5 3 ò x( x 4 + 3)
÷
x( x 4 + 3) ø
ø

=

1æ

û 3 x
ë
û

1
1
x4
ln
+c
12 x 4 36 x 4 + 3

Bài 8. Tính tích phân I =

ò

x2 - 1
dx
x4 + 1

Lời giải:

22

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Ta có: I =

=


÷
÷- 2
èçç
x ø

2
1
x2 - x 2 + 1
+ c=
ln 2
+c
2
2 2
x + x 2+1

dt
1
tò t 2 - 2 = 2 2 ln t +

Bài 9. Tính tích phân I =

1
x 2 dx =
1
x2 + 2
x
1-

ò


x2
ò æ 2 1 ö2 dx =
ççx - 2 ÷
÷
÷+2
çè
x ø
1+

æ
1ö
d ççx 2 - 2 ÷
÷
÷
çè
x ø
2
òæ2 1ö
çx - 2 ÷
÷
÷+2
èçç
x ø

dt
1
t
1
x2 - 1
1


x2 - 1
dx =
x 4 - 5 x3 - 4 x 2 - 5 x + 1

1
x2
= ò
dx =
2
æ
ö
æ
ö
1
1
1 ç
÷
÷ - 5çççx + ÷
÷
ççèx + ø
÷- 6
è
x÷
xø
2

1-

5

2

ò (t 2

dt
1
,t = x +
6)(t + 1)
x

5
ö
1 æ
1
1 ÷
1 t- 6
1 4
ç
= òç
dt = ln
2 = ln
÷
÷
ç
7 èt - 6 t + 1ø
7 t+1
7 3
2
23


0

3

Bài 4. Tính tích phân I =

ò (x

2

0

dx
- 1)(x 2 + 1)
3

1

(2 x + 1)
dx
Bài 5. Tính tích phân I = ò
5
x
+
1
(
)
0
Bài 6. Tính tích phân I =



4

1) (3 x - 4)

dx
+ 5x

dx
+ 9x

òx

ò

dx

8

xdx
+ 3x 4 + 16

x2 + 1
dx
x 4 + 2 x3 - 10 x 2 - 2 x + 1

24

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ò
1

1

Bài 16. Tính tích phân I =

ò
1
2

1

Bài 17. Tính tích phân I =

ò
0

2

Bài 18. Tính tích phân I =

ò
1

dx
+1

6



a + bx n
, k là số nguyên, thường là k = 1.
xn

Dạng toán này rất hay xuất hiện trong đề thi tuyển sinh đại học.
ri ö
æ r1
çç q1
qi ÷
Dạng tích phân: I = ò R çx, x ,..., x ÷
, trong đó ri, qi là các số nguyên dương.
÷
÷
çè
÷
ø

25

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất