ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

d

Biên soạn: Vũ Hồng Quý

Bài toán 1. Cho hình vuông có cạnh bằng . Tại bốn đỉnh người ta vẽ
lần lượt bốn đường tròn có bán kính bằng nhau và bằng 1cm. Tính thể
tích phần được tô màu khi quay hình phẳng xung quanh trục .
20
.
B. V = 102 +
A. V = 62 + 16.
3
C. V = 82 +

44
.
3

D. V = 62 +

52
.
3

Bài toán 2.Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ. Tính
thể tích của hình đó theo R và r.

A. V = 22 r 2R.



– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Bài toán 4 (Sở GD Hà Tĩnh). Ta vẽ nửa đường tròn
như hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn
lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết
rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 32
và BAC = 300. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo
thành khi quay hình phẳng (H) (phần tô đậm) xung
quanh đường thẳng AB.
A.

620

3

C. 279

B.

784

3

D.

325

3


135 3 3
(m ).
8

Bài toán 6 (Sở GD Vĩnh Phúc): Một thùng đựng nước có
dạng hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy bằng R. Khi đặt
thùng nước nằm ngang như hình 1 thì khoảng cách từ trục
hình trụ tới mặt nước bằng

R 3
(mặt nước thấp hơn trục của
2

hình trụ). Khi đặt thùng nước thẳng đứng như hình 2 thì chiều
cao của mực nước trong thùng là h2. Tính tỉ số

A.

2 − 3 13
12

B.

− 3
6

h1
.
h

C. 196200 ϵ

D. 196200 ϵ

Bài toán 8. Một khối nón (N) có bán kính đáy r, thiết diện qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng
đáy là một tam giác đều. Cắt khối nón bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và vuông góc
với đường sinh của khối nón để lấy một cái nêm (xem hình vẽ).

Kí hiệu V là thể tích cái nêm. Thể tích V là ?
A. V =

r3
2 3

B. V =

r3
3

C. V =

r 3
2 3

D. V =

r 3
3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

44
.
3

D. V = 62 +

20
.
3

52
.
3

Hướng dẫn giải
Trước khi đến với lời giải của bài toán này chúng ta sẽ cùng giải Bài toán 2 như sau:
Bài toán 2. Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ. Tính thể tích của hình đó
theo R và r.

C. V = 2 r 2R.
Hướng dẫn giải

B. V = 22 rR2 .

A. V = 22 r 2R.

D. V = 2 rR2 .

Xét hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
Khi đó hình xuyến dạng cái phao được tạo ra khi ta quay đường tròn tâm (O;R) và bán kính r

−r
r

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất



2


2

−r→
2
r→

Đặt x = r sint  dx = r costdt ⎯⎯⎯→ V = 4R  (r cost)2
−
2


2
sin2t
= 2r 2 R  (1 + cos2t)dt = 2r 2R(t +
= 22 r 2R → Đáp án A

2  

−
−

(

V ' =   22 − 2 − 1 − x 2
−1

)

2

1

)

(

4
dx =   x 2 − 1 + 4 1 − x 2 dx = 22 − 
3
−1

(Cách tính tương tự như khi chúng ta tính thể tích cái phao
trên).


4 

52

→ Đáp án D.
Vậy V(H) = 82 + 16 −  22 −   = 62 +



h

D. V = h2  R −  .
2


Hướng dẫn giải
Ta có khối chỏm cầu thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi
y = R2 − x 2
quay quanh trục x

x = R − h,(0  h  R)
R

x2  R
 V(S) =   (R2 − x 2 )dx =   R2x − 
3  R−h

R− h


R3
(R − h)3 
h
2
=   R3 −
− R2 (R − h) +
 = h  R − 

Bài toán 4 (Sở GD Hà Tĩnh). Ta vẽ nửa đường tròn
như hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn
lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết
rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 32
và BAC = 300. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo
thành khi quay hình phẳng (H) (phần tô đậm) xung
quanh đường thẳng AB.
A.

620

3

C. 279

Hướng dẫn giải
Cách 1. Dựng hệ trục toạ độ như hình vẽ.
Ta có:

1
R
S = 32  R2 = 64  R = 8  r = = 4
2
2

2

(C) : y = 64 − (x − 8)

2


)

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Cách 2. Ta có thể tích vật thể cần tính bằng tổng thể tích khối nón cụt có bán kính đáy lớn
R = 4 3 , bán kính đáy nhỏ r = 2 3 , chiều cao h = 6 và khối chỏm cầu có chiều cao h = 4 , bán
kính R = 8 trừ thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h = 2 , bán kính R = 4.
1

(

)



2

4



2 

784

 → Đáp án B.
Vậy suy ra V =   .6 (4 3)2 + 4 3.2 3 + (2 3) 42  8 −  − 22  4 −   =
3

135 3 3
(m ).
4

D.

135 3 3
(m ).
8

Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
Gọi phương trình parabol của ( C1 ) là:
1

a = 2
0 = 9a + 3b + c 
7
1
7


y = ax 2 + bx + c  3 = a + b + c  b = −  y = x 2 − x + 6
2
2
2
6 = c


c = 6


2

3 3  7 − 1 + 8y 
135 3 3
Vậy thể tích túp lều là: V = 
(m ) → Đáp án D.

 dy =
2
2
8
0


6

Bài toán 6 (Sở GD Vĩnh Phúc): Một thùng đựng nước có
dạng hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy bằng R. Khi đặt
thùng nước nằm ngang như hình 1 thì khoảng cách từ trục
R 3
(mặt nước thấp hơn trục của
2

hình trụ tới mặt nước bằng

hình trụ). Khi đặt thùng nước thẳng đứng như hình 2 thì chiều
cao của mực nước trong thùng là h2. Tính tỉ số

A.

= =
h S' R2

Trong đó S là diện tích chỏm cầu trong hình bên
R

 S = 2



R2 − x 2 dx

R 3
2

Đặt
x = R→ t =


2


2

x = Rsint  dx = Rcostdt ⎯⎯⎯⎯⎯
→ s = 2  Rcost R2 − (Rsint)2 dx
R 3

x=


3
3
3

2


2

(

R2 2 − 3 3
h
S
Vậy suy ra 1 = 2 =
h R

12
R2

)

=

2 − 3 3
→ Đáp án A.
12

Chú ý: Ta có CT tính nhanh diện tích, thể tích chỏm cầu (S) có bán kính R và chiều cao h như
sau:

B. 98100 ϵ

C. 196200 ϵ

D. 196200 ϵ

Hướng dẫn giải
Cách 1: Dùng ứng dụng tích phân.
Hình elip lớn có độ dài trục lớn là 146m, độ dài trục
nhỏ là 108m
a = 73
x2
y2
x2

 PT (E1 ) : 2 + 2 = 1  y = 54 1 − 2 .
73 54
73
b = 54

Hình elip nhỏ có độ dài trục lớn là 110m, độ dài trục nhỏ là
72m
a = 55
x2
y2
x2

 PT (E2 ) : 2 + 2 = 1  Y = 36 1 − 2
55 36
55

+) Hình elip lớn có 

a = 55
 S2 = .55.36 = 1980(m2 ) .
b
=
36


+) Hình elip nhỏ có 

Vậy diện tích hệ thống mái của SVĐ là: S = S1 = S2 = 1962(m2 )
 Chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân bằng 100S = 196200 (ϵ)→ Đáp án D.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Bài toán 8. Một khối nón (N) có bán kính đáy r, thiết diện qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng
đáy là một tam giác đều. Cắt khối nón bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và vuông góc
với đường sinh của khối nón để lấy một cái nêm (xem hình vẽ).

Kí hiệu V là thể tích cái nêm. Thể tích V là ?
A. V =

r3
2 3

B. V =

r3

1
1 2

2
BC = 2 AC = 2 r − x
3 2

 SABC =
(r − x 2 )
8
3
2
2
AB = AC.sin60' =
r −x

2
r

Vậy V =  S(x)dx =
−r

r
3
3 2
x3  r
r3
2
2
(r