ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ THANH VÂN
MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ
DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ THANH VÂN
MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ
DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC
Thái Nguyên - 2015
Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tạị Trường Đại học Khoa
học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Thầy
đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo để tôi có thể hoàn thành luận văn này, tôi xin
được gửi tới Thầy lòng biết ơn sâu sắc.
Tôi xin được cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã
cho tôi cơ hội được học tập và hoàn thành chương trình cao học dưới sự giảng
dạy nhiệt tình, tâm huyết của các thầy, cô giáo.
Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng và Trường Trung học
phổ thông Hồng Bàng, nơi tôi công tác đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành
khóa học này.
Cuối cùng xin được cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
để hoàn thành nhiệm vụ của mình.

1.4.1 Lý thuyết tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iv
1.5 Các tính chất của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Một số bài toán liên quan đến chuỗi số 50
2.1 Các khái niệm cơ bản về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.1 Khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.2 Chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.3 Các phép toán của chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Hội tụ của các chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.1 Tiêu chuẩn so sánh hơn thua . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.2 Tiêu chuẩn so sánh tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.3 Tiêu chuẩn D’ Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.5 Tiêu chuẩn tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.6 Tiêu chuẩn Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.7 Tiêu chuẩn Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.8 Một số chuỗi dương đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Chuỗi có dấu bất kỳ và chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.1 Chuỗi có dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.2 Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Một số bài toán về tính toán hoặc đánh giá các chuỗi . . . . . . 56
2.4.1 Tìm tổng của các chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2 Đánh giá các chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5 Các bài toán về tính hội tụ của các chuỗi số . . . . . . . . . . . 64
Kết luận 76
Tài liệu tham khảo 77
1
Mở đầu
Dãy số và giới hạn của dãy số là chuyên mục quan trọng của Giải tích

Luận văn có bố cục: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài
2
liệu tham khảo.
Chương 1: Một số bài toán nâng cao về dãy số: gồm các khái niệm cơ bản
về dãy số, hệ thống một số bài toán về dãy số với bài toán về dãy số lặp, bài
toán nâng cao tìm số hạng tổng quát của dãy số, bài toán tìm giới hạn của dãy
số, bài toán sử dụng các tính chất của dãy số.
Chương 2: Một số bài toán liên quan đến chuỗi số: gồm các khái niệm cơ
bản về chuỗi số, hệ thống một số bài toán về chuỗi số như tính toán và đánh
giá chuỗi số, bài toán về tính hội tụ của các chuỗi số dương.
Để hiểu và trình bày vấn đề một cách dễ dàng, tôi đã trình bày đầy đủ
các khái niệm cơ bản, giải tường minh các bài toán miêu tả. Đặc biệt làm sáng
tỏ các khái niệm và các kết quả, các bài toán được tính toán cẩn thận, đầy đủ
và chi tiết. Các tính toán này thường không được trình bày trong các tài liệu
trích dẫn.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015
Học viên
Nguyễn Thị Thanh Vân
3
Chương 1
Một số bài toán nâng cao về
dãy số
Chương này trình bày những khái niệm cơ bản của dãy số và những kỹ
thuật thông dụng nghiên cứu dãy số truy hồi, đó là kỹ thuật phương trình sai
phân, kỹ thuật lượng giác hóa và kỹ thuật tuyến tính hóa. Những kiến thức
này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [2], [3] và [4]. Các bài toán nâng
cao trình bày trong chương này (các mục 1.3, 1.4 và 1.5) được hình thành chủ
yếu từ tài liệu [6].
1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số. Các dãy số đặc
biệt

n+1
(u
n
≤ u
n+1
, u
n
> u
n+1
, u
n
≥ u
n+1
).
Định nghĩa 1.3. Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại số M,
sao cho u
n
≤ M, ∀n. Dãy được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại số m, sao cho
u
n
≥ m, ∀n. Dãy số được gọi là bị chặn, nếu tồn tại các số M, m, sao cho
m ≤ u
n
≤ M, ∀n.
1.1.2 Các dãy số đặc biệt
1. Cấp số cộng
Định nghĩa 1.4. Dãy số (u
n

sai d. Khi đó số hạng thứ n được tính theo công thức
u
n
= u
1
+ (n − 1)d.
Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng
S
n
= u
1
+ u
2
+ + u
n
=

u
1
+ u
n
2

n =

2u
1
+ (n − 1)d
2


Công thức số hạng tổng quát. Giả sử (u
n
), n ∈ N
∗
là cấp số nhân với công
bội q. Khi đó số hạng thứ n được tính theo công thức
u
n
= u
1
q
n−1
.
Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân
S
n
= u
1
+ u
2
+ + u
n
=








u
n−1
+ u
n+1
,
hay
1
u
n
=
1
2

1
u
n−1
+
1
u
n+1

.
6
5. Dãy tuần hoàn
Định nghĩa 1.8. Dãy số (u
n
) được gọi là dãy tuần hoàn, nếu tồn tại số nguyên
dương k, sao cho u
n+k
= u

số hằng, tức là có thể biểu diễn ở dạng
u
n
= a
1
u
n−1
+ a
2
u
n−2
+ + a
k
u
n−k
+ b
n
. (1.1)
Những dãy lặp mà không được cho trực tiếp bởi công thức dạng (1.1)
được gọi là dãy lặp phi tuyến. So với dãy lặp tuyến tính, dãy lặp phi tuyến
phức tạp hơn rất nhiều và đang được nhiều người quan tâm ( thuộc lĩnh vực
Phương trình sai phân phi tuyến).
7
Tuy nhiên, có nhiều dãy lặp phi tuyến có thể được đưa về dãy lặp tuyến
tính bằng kỹ thuật đơn giản được trình bày dưới đây, mà ta gọi là Kỹ thuật
tuyến tính hóa.
Mục này, ngoài kỹ thuật tuyến tính hóa đối với dãy lặp phi tuyến còn
trình bày kỹ thuật Lượng giác hóa và đặc biệt là kỹ thuật Phương trình sai
phân.
1.2.2 Kỹ thuật phương trình sai phân

ứng.
Sau đây sẽ trình bày cách tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần
nhất với vế phải ở một số dạng đặc biệt sau:
a) Giả sử f
n
là một đa thức bậc m của n : f
n
= P
m
(n). Tìm u
∗
n
dưới dạng:
Nếu q = 1 thì u
∗
n
= Q
m
(n).
Nếu q = 1 thì u
∗
n
= nQ
m
(n),
trong đó Q
m
(n) là một đa thức bậc m của n.
8
b) Giả sử f

n
= f
n1
+ f
n2
+ + f
ns
, thì ta tìm nghiệm riêng ở dạng u
∗
n
= u
∗
n1
+
u
∗
n2
+ u
∗
ns
với u
∗
nj
là nghiệm tương ứng với f
nj
.
• Một số bài toán áp dụng
Bài toán 1.1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số truy hồi sau đây
u
n+1

= n + 1. Do đó u
n
= ˜u
n
+ u
∗
n
= C2
n
+ n + 1.
Với u
0
= 3, suy ra C = 2. Vậy ta có công thức số hạng tổng quát của dãy số
u
n
= 2
n+1
+ n + 1.
Bài toán 1.2. Giải phương trình sai phân
u
n+1
=
1
√
2
u
n
−
1
√

phương trình ở dạng u
∗
n
= A cos
nπ
4
+ B sin
nπ
4
. Thay vào phương trình (1.6)
dễ dàng tìm được A = 1, B = 0. Suy ra u
∗
n
= cos
nπ
4
. Do đó
u
n
= C

1
√
2

n
+ cos
nπ
4
.

nhất có dạng
˜u
n
= αq
n
1
+ βq
n
2
,
trong dó α, β là các hằng số tùy ý. 2) Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm
kép thực q
1
= q
2
= q, thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có
dạng
˜u
n
= (α + βn)q
n
.
3) Nếu phương trình đặc trưng (1.8) có các nghiệm phức q
1
= r(cos ϕ +
i sin ϕ), q
2
= r(cos ϕ − i sin ϕ) thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần
nhất sẽ là
˜u

n
. Ta sẽ tìm nghiệm riêng u
∗
n
theo một số
trường hợp đặc biệt của f
n
.
1) Trường hợp f
n
= P
k
(n) là đa thức bậc k của n:
- Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm q=1, thì nghiệm riêng có dạng
u
∗
n
= Q
k
(n).
- Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm đơn q
1
= 1 thì nghiệm riêng có dạng
u
∗
n
= nQ
k
(n).
- Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép q

Q
k
(n).
- Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm đơn q = β thì nghiệm riêng có dạng
u
∗
n
= nβ
n
Q
k
(n).
11
- Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép q
1
= q
2
= β thì nghiệm riêng có
dạng
u
∗
n
= n
2
β
n
Q
k
(n).
3) Trường hợp f

= nT
k
(n) cos(nβ) + nR
k
(n) sin(nβ).
• Các bài toán áp dụng
Bài toán 1.3. Tìm số hạng tổng quát của dãy số {u
n
} được cho bởi công thức
truy hồi sau đây







u
n
=
5
2
u
n−1
− u
n−2
−
(n − 2)
2
2

1
= 3.
(1.11)
Phương trình đặc trưng 2q
2
− 5q + 2 = 0 có các nghiệm q
1
= 2, q
2
=
1
2
.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng
˜u
n
= A2
n
+ B2
−n
.
12
Nghiệm riêng được tìm ở dạng
u
∗
n
= an
2
+ bn + c.
Thay nghiệm riêng vào hai vế của phương trình (1.8) dễ dàng tìm được

2
.
Bài toán 1.4. Tìm số hạng tổng quát của dãy số {u
n
} được cho bởi công thức
truy hồi sau đây







u
n
= 3u
n−1
− 2u
n−2
+ (n − 4) cos
(n − 2)π
2
+ 3(n − 1) sin
(n − 2)π
2
, n = 2, 3,
u
0
= 1, u
1

= A + B2
n
.
Vì α = cos
π
2
± sin
π
2
không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên
nghiệm riêng có dạng
u
∗
n
= (an + b) cos
nπ
2
+ (cn + d) sin
nπ
2
.
Thay nghiệm riêng u
∗
n
vào phương trình (1.13), sử dụng các công thức
cos(n + 2)
π
2
= −cos
nπ

, ta có hệ phương trình























a − 3c = 1,
−2a + b − 3c − 3d = −2,
3a + c = 3,
3a + 3b − 2c + d = 3.
Nghiệm của hệ này là a = 1, b = c = d = 0. Do đó u
∗

2
.
1.2.3 Kỹ thuật lượng giác hóa và kỹ thuật phương trình đại số
Để minh họa cho kỹ thuật Lượng giác hóa và kỹ thuật Phương trình đại
số, ta xét bài toán sau đây:
Bài toán 1.5. Tìm x
n
, biết rằng
x
0
= a, x
n+1
= x
2
n
− 2. (1.14)
Lời giải.
14
Đặt x
n
= 2y
n
⇒ y
n
=
x
n
2
, y
0

− 1 = 2 cos
2
α − 1 = cos 2α = cos β, β = 2α,
y
2
= 2y
2
1
− 1 = 2 cos
2
β − 1 = cos 2β,
y
3
= 2y
2
2
− 1 = 2 cos
2
2β − 1 = cos 4β.
Chúng ta sẽ chứng minh y
n
= cos(2
n−1
β). Thật vây, công thức này đã
đúng với n = 1, 2, 3. Giả sử với n = k công thức đúng
y
k
= cos(2
k−1
β).

0
| > 1. Khi đó ta đặt
y
0
=
1
2

b +
1
b

,
trong đó b là nghiệm của phương trình bậc hai
15
b
2
− 2y
0
b + 1 = 0. (1.16)
Khi đó ta có
y
1
= 2y
2
0
− 1 = 2

1
2

b
2
n

. (1.17)
Thật vậy, công thức (1.17) đã đúng với n = 0 và n = 1.
Giả sử công thức này đúng với n = k, ta chứng minh nó đúng với n = k + 1.
Thật vậy, ta có
y
k+1
= 2y
2
k
− 1 = 2

1
2

b
2
k
+
1
b
2
k

2
− 1 =
1

0
−

y
2
0
− 1.
Do đó ta có công thức số hạng tổng quát
y
n
=
1
2

y
0
+

y
2
0
− 1

2
n
+

y
0
−

√
a
2
− 4

2
n

. (1.19)
1.2.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa dãy lặp phi tuyến
Xét hệ thức lặp (phương trình sai phân phi tuyến) bậc k dạng
u
n
= ϕ(u
n−1
, u
n−2
, , u
n−k
), n > k, n, k ∈ N
∗
(1.20)
16
với các điều kiện ban đầu
u
1
= α
1
, u
2

Để tìm x
1
, x
2
, , x
k
, trước hết theo công thức (1.20) ta tính
u
k+1
= ϕ(α
k
, α
k−1
, , α
1
),
u
k+2
= ϕ(α
k+1
, α
k
, , α
2
),

u
2k
= ϕ(α
2k−1

1
α
k
+ x
2
α
k−1
+ + x
k
α
1
= u
k+1
,
x
1
α
k+1
+ x
2
α
k
+ + x
k
α
2
= u
k+2
,


Bài toán 1.6. (Vô địch Moscow lần thứ 16) Dãy (u
n
) được cho bởi công thức
u
1
= u
2
= 1, u
n
=
u
2
n−1
+ 2
u
n−2
, n ≥ 3 (1.23)
Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy (u
n
) là các số nguyên.
Lời giải. Giả sử (1.23) có dạng
u
n
= x
1
u
n−1
+ x
2
u

+ 2
1
= 11.
Thay vào (1.24) ta có







u
3
= x
1
u
2
+ x
2
u
1
,
u
4
= x
1
u
3
+ x
2

n−2
. (1.25)
Bây giờ bằng phương pháp quy nạp ta sẽ chứng minh dãy u
n
thỏa mãn (1.23)
u
1
= u
2
= 1, u
n
=
u
2
n−1
+ 2
u
n−2
có dạng tuyến tính
u
n
= 4u
n−1
− u
n−2
, n ≥ 3.
Thật vây, với u
1
= u
2

k
=
u
2
k−1
+ 2
u
k−2
(1.26)
có dạng tuyến tính là
u
k
= 4u
k−1
− u
k−2
. (1.27)
Từ (1.26) và (1.27), suy ra
u
2
k−1
+ 2 = u
k
u
k−2
= (4u
k−1
− u
k−2
)u

(4u
k−1
− u
k−2
)
2
+ 2
u
k−1
=
16u
2
k−1
− 8u
k−1
u
k−2
+ u
2
k−2
+ 2
u
k−1
=
16u
2
k−1
− 8u
k−1
u

)
= 4u
k
− u
k−1
.
Vậy
u
k+1
= 4u
k
− u
k−1
.
Do đó, với u
1
= u
2
= 1 thì u
n
= 4u
k
− u
k−1
(n ≥ 3) là những số nguyên.
19
1.3 Một số bài toán nâng cao tìm số hạng tổng quát
của dãy số
1.3.1 Dẫn luận
Bài toán về xác định số hạng tổng quát hay số hạng nào đó của một dãy

n−2
), n = 3, 4, 5,
(1.28)
Tính x
2009
Lời giải. Từ điều kiện đã cho, ta có
x
n
− nx
n−1
= −x
n−1
+ (n − 1)x
n−2
, n = 3, 4, 5,
Đặt y
n
= x
n
− nx
n−1
thì ta có y
n
= −y
n−1
,
và y
2
= x
2