TỨÙÙ GIÁC
1/ Cho tứ giác ABCD cóùù AB = CD và M , N là trung điểm các cạnh đối BC , AD . MN cắt AB tại F , cắt CD tại E .
a/Chứng minh : BFN = DEN .
b/AB cắt CD tại S . Chứng minh MN song song với tia phân giác của góc BSD .
2/Cho tứ giác ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Các điểm R và S trên cạnh AB sao cho AR =
RS = SB ; hai điểm T , U trên CD sao cho DT = TU = UC . Chứng minh rằng MN cắt SU và RT tại trung điểm của các
đoạn này .
HƯỚNG DẪN .
Gọi X , Y là trung điểm của RT và SU . Nối MR , RY , TM .
MRYT là hình bình hành ( MR //= ½ SD ; YT //= ½ SD ) .
Suy ra RT và MY cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường . Vì X là trung điểm của
RT nên X thuộc MY và là trung điểm của MY .
Chứng minh tương tự ta có XSNU là hình bình hành nên Y là trung điểm của NX .
Suy ra điều phải chứng minh .
3/Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc và AB < BC < CD . Chứng minh ABCD không phải là tứ giác ngoại
tiếp .
HƯỚNG DẪN
Theo đònh lý Pitago ta có : BC
2
– AB
2
= ( CO
2
+BO
2
) – ( BO
2
+ OA

A
Q P
M
D C
Theo đònh lý Talét ta có :
AC
CM
AB
MP
AC
AM
CD
MQ
== ;
Suy ra :
)1(
AC
CMAM
AB
MP
CD
MQ +
=+
p dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được
)
11
)(()(
22
222
CDAB

+
(2)
A
B
C
D
M
N
R
T
S
U
X
Y
B
C
D
A
O
Từ (1 ) và (2) suy ra điều phải chứng minh .
Dấu đẳng thức xảy ra khi : MP.AB = MQ.CD (3)
Từ (1) suy ra :
1

22
=+
CD
CDMQ
AB
ABMP

+
==
=
)
1
(
1
2
2
2
2
CD
AB
AB
AB +
Do đó :
22
2
.
CDAB
CACD
CM
+
=

Tức là dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
22
2
.
CDAB

+ BD
2
≤ AD
2
+ BC
2
+ 2AB . CD
b/ Chứng minh rằng trong hình thang cân ABCD ( AB // CD ) ta cóùù :
AC
2
+ BD
2
= AD
2
+ BC
2
+ 2AB . CD .
16/Cho tứ giác lồi ABCD với E là giao điểm của hai đường thẳng AB , CD và F là giao điểm của hai đường thẳng AD ,
BC . Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại O . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD , DA . Gọi H , K
là giao điểm các đường thẳng OF và MP , OE và NQ theo thứ tự . Chứng minh rằng HK // EF .
DIỆN TÍCH
B
A
C
D
M
N
O
E
P

2
b/Chứng minh : PN ≤ 1 / 2 ( AD + BC )
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
3/ Cho tứ giác ABCD . Chứng minh S
ABCD
≤ 1 / 8 ( AC + BD )
2
. Dấu bằng xảy ra khi nào ?
S
ABCD
= S
AOB
+ S
BOC
+ S
COD
+ S
DOA
Mà S
AOB
≤ ½ OA.OB . Dấu “ = “ xảy ra ⇔ AOB = 90
0
Chứng minh tương tự với các tam giác còn lại
⇒ S
ABCD
≤ ½ (OA.OB + OB.OC + OC.OD + OD.OA )
⇒ S
ABCD
≤ ½ AC.BD
Mà AC.BD ≤

ba
S
−
≥
. Dấu bằng xảy ra khi nào ?

5/ Cho tứ giác lồi ABCD . Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC và AD ; P là giao điểm của các đường
thẳng AM và BN ; Q là giao điểm của các đường thẳng CN và DM . Chứng minh rằng : S
NPMQ
= S
APB
+ S
DQC
.
TỔNG CÁC KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM TRONG TỨ GIÁC ĐẾN CÁC ĐỈNH
1/Xem vò trí của 4 kho chứa dầu như bốn đỉnh của một tứù giác lồi ABCD . Xác đònh vò trí của kho chính chứa dầu M sao
cho tổng độ dài các ống dẫn dầu từ M tới các kho dầu là bé nhất ( tức là xác đònh điểm M sao cho MA + MB + MC +
MD là bé nhất .

Với mọi điểm M ta có các bất đẳng thức :
MA + MC ≥ AC
MB + MD ≥ BD
⇒ MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ M là giao điểm các đường chéo AC và BD .
A
B
C
D
M
H

⇒ S
AECB
= S
AEC
+ S
ABC

= S
IAC
+ S
ABC
= S
AICB
= S
ABI
+ S
BIC
= ½ S
ABD
+ ½ S
BDC
= ½ S
ABCD

Biện luận : Bài toán luôn có 1 nghiệm hình .
b/ AB và AC kéo dài cắt d tại B
1
, C
1
. Do tứ gáic ABMC lồi nên M lưu động trên đoạn B

B
1
. Ta chứng minh N ∈ I
1
I
B
.
Theo cách dựng và tính duy nhất nghiệm ở trên , ta có : IN // AM ( N ∈ MC ) . Gọi P là giao điểm của AM và BC
, ta có :
NC
NM
IC
IP
=
. Mặt khác BC // B
1
C
1
nên
11
1
CI
MI
IC
IP
=
( Chú ý : A , I , I
1
thẳng hàng ) .
Từ đó suy ra :

1
C
1
thì N ∈ I
1
I
C

Vậy q tích của N là hai đoạn thẳng I
1
I
B
và I
1
I
C
.
2/ Cho tứ giác lồi ABCD . Trên hai cạnh AB , CD lấy lần lượt hai điểm E , F sao cho
DF
CF
BE
AE
=
. Chứng minh rằng nếu
đường chéo AC đi qua trung điểm I của đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD .
B HƯỚNG DẪN
E
A
I
D F C

S
===
⇒ S
BCE
= S
ADF
( 2 )
Từ ( 1 ) , ( 2 ) ta suy ra : S
ABC
= S
ACE
+ S
BCE
= S
ACF
+ S
ADF
= S
ADC
.
ĐƯỜNG THẲNG QUA MỘT ĐỈNH CỦA TỨ GIÁC – DIỆN TÍCH
1/ Cho tứ giác lồi ABCD . Chứng minh rằng có duy nhất một đường thẳng qua mỗi đỉnh và chia đôi diện tích tứ giác .
HƯỚNG DẪN
D
1
C
A
1
D
A B

.
( S
ACD1
= S
ACD
= 1/2 AC. D(D,AC) = 1/2 AC. D(D
1
, AC) ) Vì DD
1
// AC .
Vậy AA
1
chia đôi diện tích tứ giác ABCD .
Giả sử tồn tại A
2
sao cho AA
2
chia đôi diện tích tứ giác ABCD , khi đó : S
ABA1
= S
ABA2

⇒ S
AA1A2
= 0 ⇒ AA
1
≡ AA
2
⇒ A
1

=
−
−
nn
mm
⇒ m ( n – 5 ) = 7n ⇒ m = 7 -
5
35
−n
. Vì m > 2 nên
5
35
−n
phải là số nguyên đương
nhỏ hơn 5 . Trong đó các ước số của 35 chỉ có : m – 5 = 35 hay m = 30 là thích hợp ⇒ n = 6 . Vậy số cạnh của hai đa
giác đều tương ứng là 30 và 6 .
A
2