GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN
PHÒNG GIÁO DỤC  ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ PLEIKU
TÊN ĐỀ TÀI:
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT TRÊN N TRONG PHÂN MÔN
SỐ HỌC 6
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM
THCS BÙI THỊ XUÂN
1
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN
NĂM HỌC: 2008 – 2009
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT TRÊN N TRONG PHÂN MÔN
SỐ HỌC 6
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là một bộ môn khoa học; ngày nay Toán học đã và đang
xâm nhập vào mọi ngành, mọi lónh vực. Những tri thức cùng với những kỹ
năng Toán học và những phương pháp suy nghó , lập luận trong Toán
học sẽ trở thành những công cụ để học tập các môn khoa học khác trong
nhà trường, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để
tiến hành những hoạt động trong đời sống thực tế và vì vậy là một thành
phần không thể thiếu trong nền văn hoá phổ thông của con người mới.
Theo đònh hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán trong giai
đoạn hiện nay được xác đònh là: “Phương pháp dạy học trong nhà trường
các cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình
thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc
lập, sáng tạo của tư duy”. Qua đó, giáo viên là người thiết kế, tổ chức,
hướng dẫn, điều khiển quá trình học tập, còn học sinh là chủ thể nhận
thức, biết cách tự học, tự rèn luyện từ đó hình thành phát triển nhân cách
và các năng lực cần thiết của người lao động theo những mục tiêu mới đã
đề ra.

điều kiện m, n nguyên tố cùng nhau.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 6 về tính chia hết trong tập
hợp các số tự nhiên, để học sinh phát hiện, nhận dạng đúng các bài toán,
từ đó tìm ra phương pháp giải nhanh nhất, hợp lý nhất; đồng thời giúp các
em nắm chắc được một kiến thức mở rộng về tính chia hết, bản thân tôi đã
rút ra được một số kinh nghiệm. Bên cạnh đó, từ năm học 2004 – 2005,
Phòng giáo dục và đào tạo TP Pleiku không tổ chức thi học sinh giỏi các
lớp 6, 7, 8. Do đó, yêu cầu đặt ra cho các nhà trường là phải tạo nguồn học
sinh Giỏi ngay từ các lớp học dưới. Để giúp học sinh học tập tốt môn Toán,
tạo nền tảng vững chắc về mặt kiến thức đòi hỏi người giáo viên không
ngừng sáng tạo, tìm tòi, nghiên cứu những phương pháp giảng dạy sao cho
hiệu quả nhất.
Đây cũng chính là lý do tôi chọn đề tài: “ Phân loại và phương pháp
giải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trên N trong phân môn số
học 6”.
3
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN
PHẦN HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A. HỆ THỐNG LẠI CÁC KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
Để HS thuận lợi trong việc giải toán về tính chất chia hết cần củng
cố cho các em những kiến thức cơ bản về tính chia hết và những kiến thức
có liên quan, đó là:
1/ Đònh nghóa
Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b
≠
0. Ta nói a chia hết cho b
nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = bq. Khi đó ta còn nói a là bội của b,
hoặc b là ước của a.
2/ Các tính chất chung
a. Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.

Một số chia hết cho 4 (hoặc cho 25) khi và chỉ khi số đó có hai chữ
số tận cùng chia hết cho 4 ( hoặc chia hết cho 25).
d. Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125 :
4
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN
Một số chia hết cho 8 (hoặc cho125) khi và chỉ khi số đó có ba chữ
số tận cùng chia hết cho 8 ( hoặc chia hết cho 125).
e. Dấu hiệu chia hết cho 10:
Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là
0.
g. Dấu hiệu chia hết cho 11 :
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số ở
các hàng lẻ và tổng các chữ số ở các hàng chẵn chia hết cho 11.
6/ Toán về chia hết liên quan đến số nguyên tố, ƯCLN, BCNN
a. Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số
của tích chia hết cho p.
Hệ quả: Nếu a
n
chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p.
b. Nếu tích ab chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố
cùng nhau thì a chia hết cho m.
c. Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho BCNN của m và n.
Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau m và n thì a
chia hết cho tích mn.
7/ Bổ sung kiến thức về ƯCLN và BCNN
a. Thuật toán Ơclit :
+ Nếu a
M
b thì ƯCLN(a,b) = b.
+ Nếu a

* Hướng giải quyết: Xét hai trường hợp n
M
2 và n
M
2
Giải:
Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là n và n+1 (n
∈
N).
Nếu n
M
2 thì n(n + 1)
M
2.
Nếu n
M
2 thì n = 2k +1. Do đó: n + 1 = 2k + 2
M
2. Vậy n(n + 1)
M
2.
* Khai thác: Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì
chia hết cho 3. Tổng quát: Chứng minh rằng tích của n số tự nhiên liên tiếp
thì chia hết cho n
Ví dụ 2: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia
hết cho 3.
* Hướng giải quyết: Ba số tự nhiên liên tiếp có dạng là n, n+1, và
n+2. Ta tính tổng của ba số trên và đưa tổng về dạng tích trong đó có một
thừa số là 3.
Giải:

9
+ 3
10
+ 3
11
)
= (1 + 3 +3
2
) + 3
3
(1 + 3 +3
2
) + … + 3
9
(1 + 3 +3
2
)
= (1 + 3 +3
2
)(1 + 3
3
+ … +3
9
) = 13(1 + 3
3
+ … +3
9
)
Vậy C
M

2
= (…6).64 = …4
6
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN
2
102
= (2
4
)
25
.8
2
= 16
25
.2
2
= (…6).64 = …4
Vậy 8
102
– 2
102
tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10.
Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng hai số tự nhiên a và b khi chia cho số tự
nhiên c
≠
0 có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho c.
* Hướng giải quyết: Sử dụng kiến thức về phép chia có dư để biểu
diễn a, b rồi tìm hiệu của chúng.
Giải :
Ta có a = cq

Ta biết rằng số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số dư
trong phép chia cho 3, cho 9 (theo cách chứng minh dấu hiệu chia hết cho
3, cho 9). Từ đó rút ra nhận xét :
Hiệu của số tự nhiên và tổng các chữ số của nó luôn chia hết cho 3,
cho 9.
Ví dụ 6: Cho biết abc chia hết cho 7, chứng minh rằng: 2a + 3b + c
chia hết cho 7.
* Hướng giải quyết: Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích
abc thành tổng của hai số hạng: một số hạng là bội của 7, một số hạng là
2a + 3b + c
Giải:
Ta có abc = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c
= (98a + 7b) + (2a + 3b + c) = 7(14a + b) + (2a + 3b + c)
Mà 7(14a + b) chia hết cho 7 và abc chia hết cho 7
Do đó 2a + 3b +c chia hết cho 7
Ví d ụ 7: Cho 10
k
- 1
M
19 với k > 1. Chứng minh rằng 10
2k
- 1
M
19
* Hướng giải quyết: Biến đổi số 10
2k
– 1 về dạng tổng của hai số
hạng đều chia hết cho 19.
Giải:
10

M
19.
Ví d ụ 8: Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27.
* Hướng giải quyết: Biến đổi số đã cho thành tích của hai thừa số,
một thừa số chia hết cho 9 và một thừa số chia hết cho 3 rồi áp dụng tính
chất: Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn để
làm.
Giải:
Gọi A là số gồm 27 chữ số 1, B là số gồm 9 chữ số 1.
Tổng các chữ số của B là 9 nên B
M
9 (1)
7
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN
Lấy A chia B được thương là C = 100 0100 01 (dư 0)
8 chữ số 0 8 chữ số 0
Ta viết được : A = B.C
Tổng các chữ số của C bằng 3 nên C
M
3 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra B.C
M
27 hay A
M
27
Ví d ụ 9: Chứng minh rằng: 88…….8 – 9 + n
M
9
n chữ số 8
* Hướng giải quyết: Biển đổi số đã cho thành tổng của hai số hạng

cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m.
Giải:
Đặt 3a + 2b = X, 10a + b = Y
Ta có: 2Y – X = 2 (10a + b) – (3a +2b) = 20a + 2b – 3a – 2b = 17a
Do đó 2Y – X chia hết cho 17, mà X chia hết cho 17 nên 2Y chia hết
cho 17.
Mặt khác 2 và 17 nguyên tố cùng nhau nên Y chia hết cho 17 hay
10a + 6 chia hết cho 17.
* Bài tập vận dụng:
1. a. Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho
2 và một số chia hết cho 3.
8
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN
b. Chứng minh tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
2. Chứng minh rằng:
a. 942
60
– 351
37

M
5
b. 99
5
- 98
4
+ 97
3
– 96
2

36 thì A
M
4 và A
M
9, từ đó tìm ra các chữ số.
Giải :
Để A
M
36 thì A
M
4 và A
M
9. Suy ra hai chữ số tận cùng của A chia
hết cho 4 hay 2*
M
4
⇒
2*
∈
{20 ; 24 ; 28}
+ Trường hợp 1 : A = 52*20.
Để A
M
9 thì 5 + 2 + * + 2 + 0
M
9 hay 9 + *
M
9, do đó *
∈
{ 0 ; 9 }

M
11
9
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN
Ví d ụ 3 : Tìm x
∈
N để 2x78
M
17.
* Hướng giải quyết: Đưa 2x78 về dạng tổng của hai số hạng trong đó
có một số hạng chia hết cho 17 và một số hạng có chứa x. Để tổng chia hết
cho 17 thì số hạng có chứa x phải chia hết cho 17. Từ đó ta tìm được x.
Giải :
2x78 = 2078 + 100x = (17.122 +4) + (17.6x -2x)
= 17(122 + 6x) + (4 -2x) = 17(122 + 6x) + 2(2 -x)
Vì 17(122 + 6x)
M
17 nên để 2x78
M
17 thì (2 -x)
M
17.
Vậy x = 2.
* Bài tập áp dụng:
1. Tìm các chữ số a, b để:
a. Số 42ab chia hết cho cả 45 và 9.
b. Số 42a4b chia hết cho 72.
c. Số 25a1b chia hết cho 3, cho 5 và không chia hết cho2.
2. Điền vào dấu * các chữ số thích hợp để:
a. 4*77 chia hết cho 13.

n – 2. Suy ra 7
M
n – 2 . Từ đó tìm được n.
Giải:
2n + 3
M
n – 2 mà 2(n - 2)
M
n – 2 nên [2n + 3 - 2(n - 2)]
M
n – 2
Hay 7
M
n – 2
⇒
n – 2
∈
Ư(7)
⇒
n – 2
∈
{1 ; 7}
⇒
n
∈
{3; 9}.
Tương tự, ta có ví dụ 2:
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3
M
7

M
997.
10
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN
* Hướng giải quyết: Biến đổi số x + 2999 thành tổng của hai số
hạng, trong đó có một số hạng chia hết cho 997. Để tổng chia hết cho 997
thì số hạng còn lại phải chia hết cho 997. Kết hợp với điều kiện x là số tự
nhiên có ba chữ số ta tìm được x
Giải:
Ta có: x + 2999 = (x + 8 + 997.3)
M
997
Mà 997.3
M
997 nên x + 8
M
997
Vì x
∈
N và
100 999x≤ ≤
nên 108
8 1007x≤ + ≤
⇒
x +8 = 997
⇒
x = 989
Ví dụ 4: Tìm các số tự nhiên m, n khác 0 sao cho :
a. 4m + 9n = 45 b. 3m +9n = 29
Giải:

Mà 3m
M
3, 9n
M
3 nên 3m +9n
M
3
⇒
29
M
3. Vô lý vì 29 là số nguyên
tố. Vậy không tồn tại hai số tự nhiên m, n khác 0 để 3m +9n = 29

* Bài tập áp dụng :
1. Tìm số tự nhiên n sao cho :
a. n+ 5
M
n+2 b. 2n+1
M
n-5 c. n
2
+3n-13
M
n+3 d. n+3
M
n
2
-7
2.Tìm số tự nhiên n lớn nhất có hai chữ số sao cho n
2

p + 4 = 3k + 6 là hợp số, không thoả mãn.
Vậy p = 3 là giá trò duy nhất phải tìm.
Ví dụ 2 : Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2
p
+ p
2
cũng là số
nguyên tố.
* Hướng giải quyết: Xét các trường hợp có thể xẩy ra của p, thay
vào 2
p
+ p
2
, chọn giá trò p thoả mãn điều kiện đề bài.
Giải:
Với p = 2: 2
p
+ p
2
= 8 không là số nguyên tố.
Với p = 3: 2
p
+ p
2
= 17 là số nguyên tố.
Với p > 3: 2
p
+ p
2
= (p

là số nguyên tố.
* Bài tập áp dụng:
1. a. Tìm các số nguyên tố p để các số sau là số nguyên tố: p+2, p+10.
b. Tìm các số nguyên tố p để các số sau là số nguyên tố: p+2, p+6, p+8,
p+14.
c. Tìm các số nguyên tố p vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố.
2. Tìm ba số nguyên tố p, q, r sao cho: p
q
+ q
p
= r.
3. Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả x
y
+1 = z.
4. Tìm tất cả các số nguyên tố p dạng
( 1)
1
2
n n +
−
(
1n ≥
)
Dạng 3: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau
Phương pháp chung: đặt ƯCLN của hai số đã cho là d. Khi đó, mỗi
số đều chia hết cho d. Ta tìm cách chứng minh d=1.
Ví dụ1: Chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số
nguyên tố cùng nhau.
* Hướng giải quyết: Gọi d là ước chung của hai số n và n+1. Hiệu
hai số bằng 1 chia hết cho d. Vậy d = 1.

d; 3n + 1
M
d
⇒
[3(2n+1) – 2(3n + 1)]
M
d
⇒
6n + 3 – 6n - 2
M
d
⇒
1
M
d
⇒
d = 1
Vậy 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ 3 : Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, chứng minh rằng
ab và a + b cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.
* Hướng giải quyết: Chứng minh bằng phản chứng.
Giải :
Giả sử ab và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d
⇒
tồn tại một
thừa số a hoặc b chia hết cho d.
Giả sử a
M
d.
Mà a + b

Giải :
Giả sử số nguyên tố d là ước chung của 9n+24 và 3n+4.
Khi đó : 9n+24
M
d và 3n+4
M
d
Suy ra : 9n+24 – 3(3n+4)
M
d
⇒
12
M
d
⇒
d
∈
{2, 3}
13
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN
Điều kiện để ƯCLN(9n+24, 3n+4 ) = 1 là d
≠
2 và d
≠
3.
+ d
≠
3 vì 3n+4
M
3.

dư
r
2
Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi được số dư bằng 0 thì số dư cuối
cùng khác 0 là ƯCLN phải tìm.
Ví dụ 1: Tìm ƯCLN(A;B) biết rằng A gồm 1991 chữ số 2, B gồm 8
chữ số 2.
Giải :
A = 22 2, B = 22 2
1991 chữ số 2 8 chữ số 2
Ta có 1991 chia cho 8 dư 7; 8 chia 7 dư 1 nên khi chia A cho B ta
được dư là 22 2 .
7 chữ số 2
Tiếp tục phép chia B cho số dư trên ta được số dư là 2.
Theo thuật toán Ơclit ta có ƯCLN(22 2 ; 22 2)
1991 chữ số 2 8 chữ số 2
= ƯCLN(22 2 ; 22 2)
8 chữ số 2 7chữ số 2
= ƯCLN(22 2 ; 2) = 2.
7 chữ số 2
Vậy ƯCLN(A;B) = 2.
Ví dụ 2: Tìm ƯCLN của 11……… 1 và 11111111 (8 chữ số 1)
14
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN
2004 chữ số 1
Gọi a = 11………… 1 , b = 11………… 1.
2004 chữ số 1 8 chữ số 1
Ta có: 2000
M
8 nên 11…………………1

[3(2n+1) – 2(3n+1)]
M
d
Hay 1
M
d. Vậy ƯCLN(2n+1, 3n+1)= 1.
Ví dụ 2: Cho số tự nhiên a. Tìm ƯCLN(a, a+2)
Giải :
Giả sử d = ƯCLN(a, a+2)
⇒
a
M
d, a+2
M
d
⇒
a + 2 - a
M
d
Hay 2
M
d
⇒
d
∈
{1; 2}.
+ Với a lẻ thì ƯCLN(a, a+2) = 1.
+ Với a chẵn thì ƯCLN(a, a+2) = 2.
* Bài tập áp dụng:
1. Tìm ƯCLN của 2n-1 và 9n+4 (n

d
.dbda
d
ab
==
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN

Ví dụ 1 : Tìm hai số tự nhiên a và b, biết rằng:
ƯCLN (a, b) = 15 ;BCNN (a, b) = 300
Giải :
Ta có: a.b = ƯCLN (a, b).BCNN (a, b) = 300.15 = 4500 (1)
Giả sử a
≤
b. Vì ƯCLN (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n
với ƯCLN(m, n) = 1 và m
≤
n.
Từ (1) suy ra 15m.15n = 4500
⇒
mn = 20.
Ta có bảng liệt kê sau:
m n a b
1 20 15 300
4 5 60 75
Ví dụ 2 : Tìm hai số tự nhiên a và b biết a + b = 66, ƯCLN(a, b) = 6
và trong hai số a, b có một số chia hết cho 5.
Giải :
Vì ƯCLN(a, b) = 6 nên a = 6k, b = 6l với ƯCLN(k,l) = 1.
Từ a+b = 66
⇒

3 5 4 1 4 3 12
5 3 2 1 2 5 10
* Bài tập áp dụng
1. Tìm hai số tự nhiên a và b biết ƯCLN(a,b) = 5; BCNN(a,b)=105.
2. Tìm hai số tự nhiên :
a. Có tích bằng 720, ƯCLN bằng 6.
16
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN
b. Có tích bằng 2700, BCNN bằng 900.
3. Bội chung nhỏ nhất của hai số tự nhiên bằng 770, một số bằng 14.
Tìm số kia.
4. Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng bằng 48, ƯCLN bằng 12.
PHẦN III:
KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM.
I. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯC:
Tôi đã áp dụng những kinh nghiệm trên vào thực tế giảng dạy, thông
qua các giờ học trên lớp và đã thu được một số kết quả khả quan:
Đa phần các em đã có thể phân tích đầu bài, nhận dạng được bài toán,
tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện đề bài đã cho, từ đó có phương pháp
giải đúng và hợp lý. Có khoảng 80% HS hiểu sâu sắc bản chất từng vấn
đề nên khi gặp các bài toán khác nhau các em đã nhận dạng và vận dụng
cách giải linh hoạt với mỗi dạng. Số còn lại cũng làm tốt các dạng cơ bản
hay gặp.
Sau đây là một vài số liệu so sánh cụ thể :
Kỹ năng
Trước khi
áp dụng
Sau khi
áp dụng
Nhận dạng và giải quyết được các bài toán tương

tránh khỏi thiếu sót.
Rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung của các đồng nghiệp.
18
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN
19
PHÒNG GIÁO DỤC  ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ PLEIKU
TÊN ĐỀ TÀI:
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT TRÊN N TRONG
PHÂN MÔN SỐ HỌC 6
MÃ SKKN: 2TL
Họ và tên người viết: Nguyễn Thò Thanh Tâm
Chuyên môn: Đại học Sư phạm
Đơn vò: Trường THCS Bùi Thò Xuân
NĂM HỌC: 2008 – 2009