GV: NGUYEÃN THÒ THANH TAÂM - THCS BUØI THÒ XUAÂN
PHÒNG GIÁO DỤC  ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ PLEIKU
TÊN ĐỀ TÀI:
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT TRÊN N TRONG PHÂN MÔN
SỐ HỌC 6
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM
THCS BÙI THỊ XUÂN
1
GV: NGUYEN THề THANH TAM - THCS BUỉI THề XUAN
NM HC: 2008 2009
PHN LOI V PHNG PHP GII MT S DNG TON
NNG CAO V TNH CHIA HT TRấN N TRONG PHN MễN
S HC 6
PHN I: T VN
Toỏn hc l mt b mụn khoa hc; ngy nay Toỏn hc ó v ang xõm
nhp vo mi ngnh, mi lnh vc. Nhng tri thc cựng vi nhng k nng
Toỏn hc v nhng phng phỏp suy ngh , lp lun trong Toỏn hc s tr
thnh nhng cụng c hc tp cỏc mụn khoa hc khỏc trong nh trng, l
cụng c ca nhiu ngnh khoa hc khỏc nhau, l cụng c tin hnh nhng
hot ng trong i sng thc t v vỡ vy l mt thnh phn khụng th thiu
trong nn vn hoỏ ph thụng ca con ngi mi.
Theo nh hng i mi phng phỏp dy hc mụn Toỏn trong giai
on hin nay c xỏc nh l: Phng phỏp dy hc trong nh trng cỏc
cp phi phỏt huy tớnh tớch cc, t giỏc, ch ng ca ngi hc, hỡnh thnh
v phỏt trin nng lc t hc, trau di cỏc phm cht linh hot, c lp, sỏng
to ca t duy. Qua ú, giỏo viờn l ngi thit k, t chc, hng dn, iu
khin quỏ trỡnh hc tp, cũn hc sinh l ch th nhn thc, bit cỏch t hc, t
rốn luyn t ú hỡnh thnh phỏt trin nhõn cỏch v cỏc nng lc cn thit ca
ngi lao ng theo nhng mc tiờu mi ó ra.
2

chc c mt kin thc m rng v tớnh chia ht, bn thõn tụi ó rỳt ra c
mt s kinh nghim. Bờn cnh ú, t nm hc 2004 2005, Phũng giỏo dc
v o to TP Pleiku khụng t chc thi hc sinh gii cỏc lp 6, 7, 8. Do ú,
yờu cu t ra cho cỏc nh trng l phi to ngun hc sinh Gii ngay t cỏc
lp hc di. giỳp hc sinh hc tp tt mụn Toỏn, to nn tng vng chc
v mt kin thc ũi hi ngi giỏo viờn khụng ngng sỏng to, tỡm tũi,
nghiờn cu nhng phng phỏp ging dy sao cho hiu qu nht.
õy cng chớnh l lý do tụi chn ti: Phõn loi v phng phỏp
gii mt s dng toỏn nõng cao v tớnh chia ht trờn N trong phõn mụn s hc
6.
3
GV: NGUYEÃN THÒ THANH TAÂM - THCS BUØI THÒ XUAÂN
PHẦN HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A. HỆ THỐNG LẠI CÁC KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
Để HS thuận lợi trong việc giải toán về tính chất chia hết cần củng cố
cho các em những kiến thức cơ bản về tính chia hết và những kiến thức có
liên quan, đó là:
4
GV: NGUYEÃN THÒ THANH TAÂM - THCS BUØI THÒ XUAÂN
1/ Định nghĩa
Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b
≠
0. Ta nói a chia hết cho b nếu
tồn tại số tự nhiên q sao cho a = bq. Khi đó ta còn nói a là bội của b, hoặc b là
ước của a.
2/ Các tính chất chung
a. Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.
b. Số 0 chia hết cho mọi số b
≠
0.

tận cùng chia hết cho 4 ( hoặc chia hết cho 25).
d. Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125 :
Một số chia hết cho 8 (hoặc cho125) khi và chỉ khi số đó có ba chữ số
tận cùng chia hết cho 8 ( hoặc chia hết cho 125).
e. Dấu hiệu chia hết cho 10:
Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là 0.
g. Dấu hiệu chia hết cho 11 :
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số ở các
hàng lẻ và tổng các chữ số ở các hàng chẵn chia hết cho 11.
6/ Toán về chia hết liên quan đến số nguyên tố, ƯCLN, BCNN
a. Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của
tích chia hết cho p.
Hệ quả: Nếu a
n
chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p.
b. Nếu tích ab chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng
nhau thì a chia hết cho m.
c. Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho BCNN của m và n.
Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau m và n thì a chia
hết cho tích mn.
7/ Bổ sung kiến thức về ƯCLN và BCNN
a. Thuật toán Ơclit :
+ Nếu a
M
b thì ƯCLN(a,b) = b.
+ Nếu a
M
b. Giả sử a = b.q + r thì ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r).
b. ƯCLN(a,b). BCNN(a,b) = ab.
8/ Số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố cùng nhau

2
Giải:
Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là n và n+1 (n
∈
N).
Nếu n
M
2 thì n(n + 1)
M
2.
Nếu n
M
2 thì n = 2k +1. Do đó: n + 1 = 2k + 2
M
2. Vậy n(n + 1)
M
2.
* Khai thác: Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia
hết cho 3. Tổng qt: Chứng minh rằng tích của n số tự nhiên liên tiếp thì chia
hết cho n
Ví dụ 2: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết
cho 3.
7
GV: NGUYEÃN THÒ THANH TAÂM - THCS BUØI THÒ XUAÂN
* Hướng giải quyết: Ba số tự nhiên liên tiếp có dạng là n, n+1, và n+2.
Ta tính tổng của ba số trên và đưa tổng về dạng tích trong đó có một thừa số
là 3.
Giải:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2 (n
∈

10
+ 3
11
)
= (1 + 3 +3
2
) + 3
3
(1 + 3 +3
2
) + … + 3
9
(1 + 3 +3
2
)
= (1 + 3 +3
2
)(1 + 3
3
+ … +3
9
) = 13(1 + 3
3
+ … +3
9
)
Vậy C
M
13.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng 8

2
102
= (2
4
)
25
.8
2
= 16
25
.2
2
= (…6).64 = …4
Vậy 8
102
– 2
102
tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10.
Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng hai số tự nhiên a và b khi chia cho số tự nhiên
c
≠
0 có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho c.
* Hướng giải quyết: Sử dụng kiến thức về phép chia có dư để biểu diễn
a, b rồi tìm hiệu của chúng.
8
GV: NGUYEÃN THÒ THANH TAÂM - THCS BUØI THÒ XUAÂN
Giải :
Ta có a = cq
1
+ r (0

Từ đó rút ra nhận xét :
Hiệu của số tự nhiên và tổng các chữ số của nó luôn chia hết cho 3,
cho 9.
Ví dụ 6: Cho biết abc chia hết cho 7, chứng minh rằng: 2a + 3b + c chia
hết cho 7.
* Hướng giải quyết: Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích abc
thành tổng của hai số hạng: một số hạng là bội của 7, một số hạng là 2a + 3b
+ c
Giải:
Ta có abc = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c
= (98a + 7b) + (2a + 3b + c) = 7(14a + b) + (2a + 3b + c)
Mà 7(14a + b) chia hết cho 7 và abc chia hết cho 7
Do đó 2a + 3b +c chia hết cho 7
Ví dụ 7: Cho 10
k
- 1
M
19 với k > 1. Chứng minh rằng 10
2k
- 1
M
19
* Hướng giải quyết: Biến đổi số 10
2k
– 1 về dạng tổng của hai số hạng
đều chia hết cho 19.
Giải:
10
2k
– 1 = 10

Ví dụ 8: Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27.
9
GV: NGUYEÃN THÒ THANH TAÂM - THCS BUØI THÒ XUAÂN
* Hướng giải quyết: Biến đổi số đã cho thành tích của hai thừa số, một
thừa số chia hết cho 9 và một thừa số chia hết cho 3 rồi áp dụng tính chất:
Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn để làm.
Giải:
Gọi A là số gồm 27 chữ số 1, B là số gồm 9 chữ số 1.
Tổng các chữ số của B là 9 nên B
M
9 (1)
Lấy A chia B được thương là C = 100 0100 01 (dư 0)
8 chữ số 0 8 chữ số 0
Ta viết được : A = B.C
Tổng các chữ số của C bằng 3 nên C
M
3 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra B.C
M
27 hay A
M
27
Ví dụ 9: Chứng minh rằng: 88…….8 – 9 + n
M
9
n chữ số 8
* Hướng giải quyết: Biển đổi số đã cho thành tổng của hai số hạng đều
chia hết cho 9.
Giải :
88…….8 – 9 + n = 8. 11 1 + 9n - 8n – 9 = 8.11… 1 - 8n + 9n -9

Giải:
Đặt 3a + 2b = X, 10a + b = Y
Ta có: 2Y – X = 2 (10a + b) – (3a +2b) = 20a + 2b – 3a – 2b = 17a
Do đó 2Y – X chia hết cho 17, mà X chia hết cho 17 nên 2Y chia hết
cho 17.
Mặt khác 2 và 17 nguyên tố cùng nhau nên Y chia hết cho 17 hay 10a
+ 6 chia hết cho 17.
* Bài tập vận dụng:
1. a. Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2
và một số chia hết cho 3.
b. Chứng minh tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
2. Chứng minh rằng:
a. 942
60
– 351
37

M
5
b. 99
5
- 98
4
+ 97
3
– 96
2
M
10
3. Cho n

M
4 và A
M
9, từ đó tìm ra các chữ số.
Giải :
Để A
M
36 thì A
M
4 và A
M
9. Suy ra hai chữ số tận cùng của A chia hết
cho 4 hay 2*
M
4
⇒
2*
∈
{20 ; 24 ; 28}
+ Trường hợp 1 : A = 52*20.
Để A
M
9 thì 5 + 2 + * + 2 + 0
M
9 hay 9 + *
M
9, do đó *
∈
{ 0 ; 9 }
+ Trường hợp 2 : A = 52*24.

11
Ví dụ 3 : Tìm x
∈
N để 2x78
M
17.
12
GV: NGUYEÃN THÒ THANH TAÂM - THCS BUØI THÒ XUAÂN
* Hướng giải quyết: Đưa 2x78 về dạng tổng của hai số hạng trong đó
có một số hạng chia hết cho 17 và một số hạng có chứa x. Để tổng chia hết
cho 17 thì số hạng có chứa x phải chia hết cho 17. Từ đó ta tìm được x.
Giải :
2x78 = 2078 + 100x = (17.122 +4) + (17.6x -2x)
= 17(122 + 6x) + (4 -2x) = 17(122 + 6x) + 2(2 -x)
Vì 17(122 + 6x)
M
17 nên để 2x78
M
17 thì (2 -x)
M
17.
Vậy x = 2.
* Bài tập áp dụng:
1. Tìm các chữ số a, b để:
a. Số 42ab chia hết cho cả 45 và 9.
b. Số 42a4b chia hết cho 72.
c. Số 25a1b chia hết cho 3, cho 5 và không chia hết cho2.
2. Điền vào dấu * các chữ số thích hợp để:
a. 4*77 chia hết cho 13.
b. 2*34*5 chia hết cho 1375.

M
n
– 2 . Từ đó tìm được n.
13
GV: NGUYEÃN THÒ THANH TAÂM - THCS BUØI THÒ XUAÂN
Giải:
2n + 3
M
n – 2 mà 2(n - 2)
M
n – 2 nên [2n + 3 - 2(n - 2)]
M
n – 2
Hay 7
M
n – 2
⇒
n – 2
∈
Ư(7)
⇒
n – 2
∈
{1 ; 7}
⇒
n
∈
{3; 9}.
Tương tự, ta có ví dụ 2:
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3

N)
Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên x biết x có ba chữ số và x + 2999
M
997.
* Hướng giải quyết: Biến đổi số x + 2999 thành tổng của hai số hạng,
trong đó có một số hạng chia hết cho 997. Để tổng chia hết cho 997 thì số
hạng còn lại phải chia hết cho 997. Kết hợp với điều kiện x là số tự nhiên có
ba chữ số ta tìm được x
Giải:
Ta có: x + 2999 = (x + 8 + 997.3)
M
997
Mà 997.3
M
997 nên x + 8
M
997
Vì x
∈
N và
100 999x
≤ ≤
nên 108
8 1007x
≤ + ≤
⇒
x +8 = 997
⇒
x = 989
Ví dụ 4: Tìm các số tự nhiên m, n khác 0 sao cho :

Vậy với m = 9 và n = 1 thì 4m + 9n = 45.
b. Giả sử tồn tại hai số tự nhiên m, n khác 0 để 3m +9n = 29
Mà 3m
M
3, 9n
M
3 nên 3m +9n
M
3
⇒
29
M
3. Vô lý vì 29 là số nguyên tố.
Vậy không tồn tại hai số tự nhiên m, n khác 0 để 3m +9n = 29
14
GV: NGUYEÃN THÒ THANH TAÂM - THCS BUØI THÒ XUAÂN

* Bài tập áp dụng :
1. Tìm số tự nhiên n sao cho :
a. n+ 5
M
n+2 b. 2n+1
M
n-5 c. n
2
+3n-13
M
n+3 d. n+3
M
n

+ Nếu p = 3k + 2
⇒
p + 4 = 3k + 6 là hợp số, không thoả mãn.
Vậy p = 3 là giá trị duy nhất phải tìm.
Ví dụ 2 : Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2
p
+ p
2
cũng là số
nguyên tố.
15
GV: NGUYEÃN THÒ THANH TAÂM - THCS BUØI THÒ XUAÂN
* Hướng giải quyết: Xét các trường hợp có thể xẩy ra của p, thay vào
2
p
+ p
2
, chọn giá trị p thoả mãn điều kiện đề bài.
Giải:
Với p = 2: 2
p
+ p
2
= 8 không là số nguyên tố.
Với p = 3: 2
p
+ p
2
= 17 là số nguyên tố.
Với p > 3: 2

Vậy với p = 3 thì 2
p
+ p
2
là số nguyên tố.
* Bài tập áp dụng:
1. a. Tìm các số nguyên tố p để các số sau là số nguyên tố: p+2, p+10.
b. Tìm các số nguyên tố p để các số sau là số nguyên tố: p+2, p+6, p+8,
p+14.
c. Tìm các số nguyên tố p vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố.
2. Tìm ba số nguyên tố p, q, r sao cho: p
q
+ q
p
= r.
3. Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả x
y
+1 = z.
4. Tìm tất cả các số nguyên tố p dạng
( 1)
1
2
n n +
−
(
1n ≥
)
Dạng 3: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau
Phương pháp chung: đặt ƯCLN của hai số đã cho là d. Khi đó, mỗi số
đều chia hết cho d. Ta tìm cách chứng minh d=1.

Ta có: 2n + 1
M
d; 3n + 1
M
d
⇒
[3(2n+1) – 2(3n + 1)]
M
d
⇒
6n + 3 – 6n - 2
M
d
⇒
1
M
d
⇒
d = 1
Vậy 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ 3 : Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, chứng minh rằng
ab và a + b cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.
* Hướng giải quyết: Chứng minh bằng phản chứng.
Giải :
Giả sử ab và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d
⇒
tồn tại một thừa
số a hoặc b chia hết cho d.
Giả sử a
M

Ví dụ: Tìm số tự nhiên n để các số 9n+24 và 3n+4 là các số nguyên tố
cùng nhau.
* Hướng giải quyết: Gọi số nguyên tố d là ước chung của 9n + 24 và 3n + 4.
Biến đổi để tìm d. Sau đó xét diều kiện để ƯCLN(9n+24, 3n+4 ) = 1
Giải :
Giả sử số nguyên tố d là ước chung của 9n+24 và 3n+4.
Khi đó : 9n+24
M
d và 3n+4
M
d
Suy ra : 9n+24 – 3(3n+4)
M
d
⇒
12
M
d
⇒
d
∈
{2, 3}
Điều kiện để ƯCLN(9n+24, 3n+4 ) = 1 là d
≠
2 và d
≠
3.
+ d
≠
3 vì 3n+4

Ly a chia cho b d r, Ly b chia cho r d r
1
, Ly r chia cho r
1
d r
2

C tip tc nh vy cho n khi c s d bng 0 thỡ s d cui cựng khỏc 0
l CLN phi tỡm.
Vớ d 1: Tỡm CLN(A;B) bit rng A gm 1991 ch s 2, B gm 8
ch s 2.
Gii :
A = 22 2, B = 22 2
1991 ch s 2 8 ch s 2
Ta cú 1991 chia cho 8 d 7; 8 chia 7 d 1 nờn khi chia A cho B ta c
d l 22 2 .
7 ch s 2
Tip tc phộp chia B cho s d trờn ta c s d l 2.
Theo thut toỏn clit ta cú CLN(22 2 ; 22 2)
1991 ch s 2 8 ch s 2
= CLN(22 2 ; 22 2)
8 ch s 2 7ch s 2
= CLN(22 2 ; 2) = 2.
7 ch s 2
Vaọy ệCLN(A;B) = 2.
Vớ d 2: Tỡm CLN ca 11 1 v 11111111 (8 ch s 1)
2004 ch s 1
Gi a = 11 1 , b = 11 1.
2004 ch s 1 8 ch s 1
19

d, 3n+1
M
d
⇒
[3(2n+1) – 2(3n+1)]
M
d
Hay 1
M
d. Vậy ƯCLN(2n+1, 3n+1)= 1.
Ví dụ 2: Cho số tự nhiên a. Tìm ƯCLN(a, a+2)
Giải :
Giả sử d = ƯCLN(a, a+2)
⇒
a
M
d, a+2
M
d
⇒
a + 2 - a
M
d
Hay 2
M
d
⇒
d
∈
{1; 2}.

⇒
BCNN (a, b) =

Ví dụ 1 : Tìm hai số tự nhiên a và b, biết rằng:
ƯCLN (a, b) = 15 ;BCNN (a, b) = 300
Giải :
Ta có: a.b = ƯCLN (a, b).BCNN (a, b) = 300.15 = 4500 (1)
Giả sử a
≤
b. Vì ƯCLN (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n
với ƯCLN(m, n) = 1 và m
≤
n.
Từ (1) suy ra 15m.15n = 4500
⇒
mn = 20.
Ta có bảng liệt kê sau:
m n a b
1 20 15 300
4 5 60 75
Ví dụ 2 : Tìm hai số tự nhiên a và b biết a + b = 66, ƯCLN(a, b) = 6 và
trong hai số a, b có một số chia hết cho 5.
Giải :
Vì ƯCLN(a, b) = 6 nên a = 6k, b = 6l với ƯCLN(k,l) = 1.
Từ a+b = 66
⇒
6k + 6l = 66
⇒
k + l = 11.
Vì trong hai số a, b có một số chia hết cho 5 nên giả sử k

2.
Ta có bảng liệt kê sau:
d mn+1 mn m n a b
1 15 14
1 14 1 14
2 7 2 7
3 5 4 1 4 3 12
5 3 2 1 2 5 10
* Bài tập áp dụng
1. Tìm hai số tự nhiên a và b biết ƯCLN(a,b) = 5; BCNN(a,b)=105.
2. Tìm hai số tự nhiên :
a. Có tích bằng 720, ƯCLN bằng 6.
b. Có tích bằng 2700, BCNN bằng 900.
3. Bội chung nhỏ nhất của hai số tự nhiên bằng 770, một số bằng 14. Tìm
số kia.
4. Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng bằng 48, ƯCLN bằng 12.
PHẦN III:
KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM.
I. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Tôi đã áp dụng những kinh nghiệm trên vào thực tế giảng dạy, thông qua
các giờ học trên lớp và đã thu được một số kết quả khả quan:
Đa phần các em đã có thể phân tích đầu bài, nhận dạng được bài toán,
tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện đề bài đã cho, từ đó có phương pháp
22
GV: NGUYEN THề THANH TAM - THCS BUỉI THề XUAN
gii ỳng v hp lý. Cú khong 80% HS hiu sõu sc bn cht tng vn
nờn khi gp cỏc bi toỏn khỏc nhau cỏc em ó nhn dng v vn dng cỏch
gii linh hot vi mi dng. S cũn li cng lm tt cỏc dng c bn hay gp.
Sau õy l mt vi s liu so sỏnh c th :
K nng

GV: NGUYEÃN THÒ THANH TAÂM - THCS BUØI THÒ XUAÂN
trong phân môn Số học 6" . Khi viết đề tài này chắc không tránh khỏi thiếu
sót.
Rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung của các đồng nghiệp.
24
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM - THCS BÙI THỊ XUÂN
25
PHÒNG GIÁO DỤC  ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ PLEIKU
TÊN ĐỀ TÀI:
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT TRÊN N TRONG
PHÂN MÔN SỐ HỌC 6
MÃ SKKN: 2TL
Họ và tên người viết: Nguyễn Thò Thanh Tâm
Chuyên môn: Đại học Sư phạm
Đơn vò: Trường THCS Bùi Thò Xuân
NĂM HỌC: 2008 – 2009