BÀI TOÁN VẬN DỤNG SỐ PHỨC

 Dạng 1. Bài toán liên quan đến nghiệm phức

Câu 1. Biết z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z2 − z + 2 = 0. Tính

A.

1
.
2

3
B. − .
2

C.

3
.
2

D.

z1 z2
+ .
z2 z1

5
.
2


 z = 2 + 5i
z2 − 4z + 9 = 0   1
 z1 = z2 = 22 +
 z2 = 2 − 5i

( )
5

2

= 3  P = 6.

Câu 3. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 4z + 5 = 0. Khi đó, z12 + z2 2 bằng:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1


A. 6

B. 5

C. 4

D. 7

Hướng dẫn giải
z12 + z22 = ( z1 + z2 ) − 2z1 z2 = 42 − 2.5 = 16 − 10 = 6.

2

Suy ra w = 5 + 15i . Vậy phần thực và phần ảo của w lần lượt là 5;

15 .

Câu 5. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2 − 4z + 5 = 0. Khi đó, giá trị của biểu
thức A = z1 + z2 + 4 bằng
A. 6

B. 4

C. 2

D. 5

Hướng dẫn giải
Tính  = −16
Suy ra pt có 2 nghiệm phức z1 = 1 +

16
16
i ; z2 = 1 −
i
3
3

Vậy A = 6 .
Câu 6. Kí hiệu z1 , z2 lần lượt là hai nghiệm phức của phương trình 2z2 − 2z + 5 = 0. Giá trị
2

1 3
+ i ; z2 = − i
2 2
2 2

5 5
+ =5
2 2

Câu 7. Phương trình 2z2 − 4z + 14 = 0 có hai nghiệm z1 , z2 . Giá trị của biểu thức
2

2

A = 2 z1 − 3 z2 bằng

A. - 14

B. - 13

C. 14

D. 13

Hướng dẫn giải
PT z2 − 4z + 14 = 0 có nghiệm là z1 = 2 − i 10; z2 = 2 + i 10

(

)

−5 x + 4 y = −2
 y = − 14

3

Vậy 2x − y = −2.
Câu 9. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 3 = 0. Tìm số phức liên hợp
của số phức w = ( 5 − 2i )( z1 + z2 ) ?
A. w = 10 + 4i

B. w = −10 − 4i

C. w = 10 − 4i

D. w = −10 + 4i

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3


Hướng dẫn giải

 z = −1 + i
2
2
z 2 + 2z + 3 = 0  ( z + 1) + 1 = 0  ( z + 1) = i 2   1
.
z
=

−
1
−
2
i

z
=
5
 2
 2

z = 5
 z1 = −1 − 2i
1

.
Ta có: 
z = 5
 z2 = −1 + 2i
 2
2

2

A = z1 + z2 − 4 z1 . z2
=

( 5) + ( 5)
2

( )
3

2

= 7  P = 14.

Câu 12. Biết z1 , z2 là các nghiệm của phương trình 2 z 2 + 3 z + 3 = 0. Tính T = z12 + z2 2 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

4


A. T = −

9
4

B. T =

9
4

C. T = −

45
16

D. T = −

− 2
5

B. T =

2
5

C. T =

− 2
10

D. T =

1 1
+ .
z1 z2

2
10

Hướng dẫn giải

T=

1 1 z1 + z2 − 2
+ =
=
.

B. −12.

C. −240.

D. −5.

Hướng dẫn giải

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

5


Ta có:  = (1 + 2i )2 − 4.( −17 + 19i) = 65 − 72i = (9 − 4i)2  z = −4 + 3i

a = 7
z 2 = a + bi  (−4 + 3i)2 = a + bi  7 − 24i = a + bi  
 a.b = −168
b
=
−
24

Câu 16. Xác định m để phương trình z2 + mz + 3i = 0 có 2 nghiệm phức z1 , z2 thõa mãn

z12 + z2 2 = 8.
A. m = 3 + i hoặc m = −3 − i.

B. m = 3 + i hoặc m = −3 + i.



Theo giả thiết

z12 + z2 2 − 3z1 .z2 = −20 + 7i
 ( z1 + z2 ) − 5z1 .z2 = −20 + 7 i
2

(

)

 m2 − 10 m − 4 + ( 25 − 9 m ) i = −20 + 7 i
m2 − 10 m − 4 = −20

25 − 9m = 7
m=2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

6


Câu 18. Cho phương trình z2 − mz + 2m − 1 = 0 trong đó m là tham số phức; giá trị m để
phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z12 + z2 2 = −10.
A. m = 2 − 2 2i; m = 2 + 2 2i.

B. m = 4 − 2 3; m = 4 + 2 3

C. m = 1 − 3i; m = 2 + 3i.


Câu 19. Tìm số thực m = a − b 20 ( a , b là các số nguyên khác 0 ) để phương trình
2 z 2 + 2 ( m − 1) z + ( 2m + 1) = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 10.

Tìm a.
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

 ' = m2 − 6m − 1  R

(

) (

TH1:  '  0 hay m  −; 3 − 10  3 + 10; +

)

Khi đó z1 + z2 = 10  z12 + z2 2 + 2 z1 z2 = 10.
 ( 1 − m ) − ( 2m + 1) + 2m + 1 = 10
2

 2m + 1  0


2

(

1 − m + i − m2 − 6m − 1
2

) + 1 − m − i − (m

2

− 6m − 1

2

)

= 10.

)

+ 6m + 1 = 10  m = 2.

Vậy m = 2 hoặc m = 3 − 20.
Câu 20. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z3 − 3z2 + 4z − 12 = 0. Tính
P = z1 − z2 .

A. P = 0.

B. P = 16.

B. S = 4.

C. S = 2.

D. S = 3.

Hướng dẫn giải

é
êz = 1
ê
éz = 1
ê
- 1 + 3i
2
3
ê
 êêz =
z - 1 = 0  (z - 1)(z + z + 1) = 0  ê 2
2
êëz + z + 1 = 0
ê
ê
1
3i
êz =
êë
2
S = 3.



C. 2 2 − 2 3

D. 7

Hướng dẫn giải
Giải phương trình z4 + z2 − 6 = 0 ta được z1 = 2; z2 = − 2; z3 = i 3; z4 = −i 3

T = z1 + z2 + z3 + z4 = 2 2 + 2 3
Câu 24. Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z4 + z2 − 63 = 0.
Tính tổng T = z1 + z2 + z3 + z4 .
A. T = 6.

B. T = 2 7.

C. T = 3 + 2 7.

D. T = 6 + 2 7.

Hướng dẫn giải
 z = 3
z2 = 9
Ta có : z − 2 z − 63 = 0   2
.

 z = −7
 z = i 7
4

2


z2 = 7

 S = z1 + z2 + z3 + z4 = 2 7 + 2 11 .

(

)(

)

Câu 26. Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình: ( z + i ) z 2 − 1 z 3 + i = 0
A. 3.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

Hướng dẫn giải
 z = −i
 z = −i

 z = −i

 z = 1
z
=


 2z − i 

(

)(

)(

)(

)

P = z12 + 1 z22 + 1 z32 + 1 z42 + 1 là:

A.

17
.
9

B.

9
.
17

C.

17
.

X=i

z −1
1 1
2
= −1  z − 1 = −2z + i  z2 = + i  z22 + 1 = 1 + i
2z − i
3 3
9

z −1
2 4
13 16
= i  z − 1 = (2z − i)i  z3 = + i  z32 + 1 =
+ i
2z − i
5 5
25 25

X = −i 

z −1
= −i  z − 1 = −(2z − i)i  z4 = 0  z42 + 1 = 1
2z − i

(

)(

)(

 y = −3
Suy ra x 2 − 3xy − y = 1 − 3.1. ( −3 ) − ( −3 ) = 13.
Câu 29. Cho số phức thỏa mãn z + (1 − 2i ) z = 2 − 4i Tìm môđun của w = z2 − z ?
A.

10.

B. 10 .

C. 5 2 .

D. 2 5

Hướng dẫn giải
Gọi z = a + bi  z = a − bi
Khi đó

z + (1 − 2i ) z = 2 − 4i  a + bi + (1 − 2i )( a − bi ) = 2 − 4i

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

11


 a + bi + a − bi − 2ai − 2b = 2 − 4i  2a − 2b − 2ai = 2 − 4i
 2 a − 2b = 2
a = 2


−2a = −4


6 = z1 + z2 + z3 + z4 = 4 + 2 −m
Khi đó 
 m = −1.
m

0



6 = z1 + z2 + z3 + z4 = 4 + 2 m
hoặc 
 m = 1.
m

0



Kết hợp lại thì m = 1 thoả mãn bài toán.

 Dạng 2. Tìm số phức thỏa điểu kiện cho trước

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

12


Câu 31. Cho ( x + 2i ) = yi ( x , y  R ) . Giá trị của x và y bằng:
2


4 x = y
y = 4x

với x = 2  y = 8; x = −2  y = −8.
Câu 32. Cho ( x + 2i ) = 3x + yi ( x, y  R ) . Giá trị của x và y bằng:
2

A. x = 1 và y = 2 hoặc x = 2 và y = 4 .
B. x = −1 và y = −4. hoặc x = 4 và y = 16 .
C. x = 2 và y = 5 hoặc x = 3 và y = −4.
D. x = 6 và y = 1 hoặc x = 0 và y = 4.
Hướng dẫn giải

( x + 2i )

2

= 3x + yi  x2 – 4 + 4 xi = 3x + yi

 x 2 − 4 = 3x
 x = −1; y = −4


 4 x = y
 x = 4; y = 16

Câu 33. Cặp số ( x; y ) thỏa mãn điều kiện

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

−

2 x − 4 y + 1 = 4 x + 2 y + 3
−2 x − 6 y = 2

4



3
x
−
3
y
=
3
x
−
y
+
5
−
2
x
−
2
y
=
5



B. 1 + 3i và −1 − 3i .

C. −1 + 3i và 1 − 3i .

D. 1 − 3i và −1 − 3i .
Hướng dẫn giải

Ta có z 2 + 1 = −1 + 2 3i  z 2 = −2 + 2 3i
Gọi z = a + bi  z 2 = a 2 − b2 + 2abi = −2 + 2 3i

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

14


 2 3
2
2
a − a2 = −2

a − b = −2


 a2


b = 3
2ab = 2 3


B. z = −7 + 4i.

D. z = 7 + 6i.

Hướng dẫn giải
Đặt z = a + bi . từ z + z = 3 + 4i suy ra:

a2 + b2 = a + bi = 3 + 4i  b = 4 và

 a2 + 16 = ( 3 − a ) = 9 − 6a + a2  6a = −7  a = −
2

Vậy z = −

a2 + 16 + a = 3.

7
6

7
+ 4i.
6
2

Câu 37. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 = z + z
A. 0.

C. 3.

B. 1.



2
2.


  b = 0

1
 a = 0 b = − 1 b = 1

a
=
−

 
2 
2
2

Vậy có 3 số phức z thỏa đề bài.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

15


(

)


C. z = 3 + i.

D. z = −3 + i.

Hướng dẫn giải

( 2 + i ) z = ( 3 − 2i ) z − 4 (1 − i )  ( 2 + i )( a + bi ) = ( 3 − 2i )( a − bi ) − 4 (1 − i )
3a + 5b − 4 = 0
a = 3


a − b − 4 = 0
b = −1

Câu 40. Tìm số phức z biết z thỏa mãn phương trình

A. 1.

B. 1 + i.

z
z

+z=2

C. 1 − i.

D. i.




 

b
=
−
2
b
b
=
0
a = 0



 z = 0 ( loai )
 b = 0

Câu 41. Tìm số phức z , biết

A. z =

−2 36
+ i.
65 65

1 − 2i
1 − 3i
.

1+ i
2 − 3i
−4 − 7 i
65 65
( 2 − 3i )(1 − 2i )
Câu 42. Cho hai số phức phân biệt z1 , z2 thỏa điều kiện

z1 + z2
là số ảo. Khẳng định nào sau
z1 − z2

đây là đúng?
A. z1 = 1; z2 = 1.

B. z1 = z2 .

D. z1 = − z2 .

C. z1 = z2 .
Hướng dẫn giải

z 1 z1  z2  z1 − z2  0. .

Thì

z1 + z2
z + z2  z1 + z2
là số ảo  1
+
z1 − z2


= 0 . Khi đó

a
bằng:
b

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

17


A. −5 .

B.

3
.
5

3
C. − .
5

D. 5 .

Hướng dẫn giải
Ta có

z

b = − 5

9

Câu 44. Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z = 2 và z 2 là số
thuần ảo.
A. z = 1  i hoặc z = −1  i.

B. z = −1  i.

C. z = −1  i.

D. z = −1 − i.
Hướng dẫn giải

z1 = 2  a2 + b2 = 2 và z2 = a2 − b2 + 2abi là số thuần ảo nên a2 − b2 = 0
 a = 1; b = 1
Do đó 
.
 a = −1; b = 1
Câu 45. Số phức z thỏa mãn: z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25 là:
A. z = 3 + 4i và z = 5.

B. z = 3 − 4i và z = 5.

C. z = 4 − 3i và z = −5.

D. z = 4 + 3i và z = 5.
Hướng dẫn giải



D. 3.

Hướng dẫn giải
Đặt z = a + bi

(

( a , b  R ) , suy ra z = a − bi .

)

Từ zz = 10 z + z , ta có ( a + bi )( a − bi ) = 10 ( a + bi ) + ( a − bi )   a2 + b2 = 20a ( 1)
Hơn nữa, số phức z có phần ảo bằng ba lần phần thực nên b = 3a ( 2 )
a 2 + b2 = 20a
a = 2
a = 0

Từ ( 1) và ( 2 ) , ta có 
hoặc 
.
b = 3a
b = 6
b = 0

Vậy có 2 số phức cần tìm là: z = 2 + 6i và z = 0 .
Câu 47. Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu thức

1 1
1

1 2 3 2
w + w =0
4
4

2
2

1 
3 2

1   i 3w 
 z + w = − w  z + w = 

2 
4
2   2 



2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

19


2

2

Suy ra: w =

1 3
+
4 4

= 2017.

Câu 48. Cho hai số phức u, v thỏa mãn u = v = 10 và 3u − 4v = 2016. Tính M = 4u + 3v .
A.

2984.

2884.

B.

2894.

C.

D.

24.

Hướng dẫn giải
2

Ta có z = z.z. Đặt N = 3u − 4v .



) = 5000. .

Suy ra M 2 = 5000 − N 2 = 5000 − 2016 = 2984  M = 2984. .
Câu 49. Giá trị của tham số thực m bằng bao nhiêu để bình phương số phức z =

m + 9i
là số
1− i

thực?
A. m = 9 .

B. m = −9 .

C. m = 9 .

D. Không có giá trị m thỏa.
Hướng dẫn giải

(

)

(

)

2
2

 m2 − 81 
= −9m + 
i .
2 


m2 − 81
Để w = z là số thực 
= 0  ( m − 9 )( m + 9 ) = 0  m = 9 .
2
2

m − 1 + 2 ( m − 1) i

Câu 50. Tổng các giá trị của tham số thực m để số phức z =
C. −1.

B. −3.

A. 15.

1 − mi

là số thực bằng:

D. 2 3.

Hướng dẫn giải
 m − 1 + 2 ( m − 1) i  . ( 1 + mi )
=

B. m = 1.

D. m = 0.

Hướng dẫn giải

(

)

1 − m)
( 1 − m ) 1 − m2 2 m ( 1 − m )
(
1− m
1− m
z=
=
=
=
−
i
2
2
2
2
1 − m(m − 2i ) 1 − m2 + 2mi 1 − m2 + 2mi
1+ m
1+ m

(

)

(

( 1 − m ) 1 + m2
1
= 
4
4
1 + m2
2

(

)

(

)

2

)

(1 − m) = 1
1
= 
2
4
4

2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

21


Câu 52. Cho số phức z =

A. .

m+1
( m  Z ) . Số các giá trị nguyên của m để z − i  1 là
1 + m ( 2 i − 1)

B. 1.

C. 4.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải
Ta có z − i =

 z−i =

m + 1 − i ( 1 + 2mi − m ) 3m + 1 + ( m − 1) i
m+1
−i =
=


D. 8.

Hướng dẫn giải
Điều kiện n  3. n  ¥
Phương trình log 4 ( n − 3 ) + log n ( n + 9 ) = 3  log 4 ( n − 3 )( n + 9 ) = 3  n = 7 (so đk)
3

7
2
3
z = ( 1 + i ) = ( 1 + i ) . ( 1 + i )  = ( 1 + i )( 2i ) = 8 − 8i.



Vậy phần thực của số phức z là 8.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

22


Câu 54. Số phức cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 1 .
Mệnh đề nào sau đây là sai.
A. Trong ba số đó có hai số đối nhau.
B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1.
C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1.
D. Tích của ba số đó luôn bằng 1.
Hướng dẫn giải
Ta có: z1 + z2 + z3 = 1  1 − z1 = z2 + z3 .

2
2
2
2

z1 z2 z3  1.

Câu 55. Số phức 2ix + 3 = 5x + 4i thỏa mãn: ( 3 + i ) z + (1 + 2i ) z = 3 − 4i là:
A. z = 2 + 3i.

C. z = −1 + 5i.

B. z = 2 + 5i.

D. z = −2 + 3i.

Hướng dẫn giải
Đặt z = a + bi từ ( 3 + i ) z + (1 + 2i ) z = 3 − 4i

 ( 3 + i )( a − bi ) + ( 1 + 2i )( a + bi ) = 3 − 4i
 3a + b − 3bi + ai + a − 2b + bi + 2ai = 3 − 4i
4a − b = 3
a = 2
 4 a − b + ( 3 a − 2b ) i = 3 − 4i  

3a − 2b = −4
b = 5
Vậy z = 2 + 5i.

 Dạng 3. Modul nhỏ nhất, lớn nhất


nằm
I

trên đường tròn ( C ) tâm I ( 2; −3 ) và bán kính R = 3.
(Ý nghĩa hình học của z : độ dài OM )
Ta có z đạt giá trị nhỏ nhất  điểm M  ( C ) và OM nhỏ nhất.
(Bài toán hình học giải tích quen thuộc)
Ta có: OM  OI − IM = OI − R = 13 − 3.
Dấu " = " xảy ra khi M là giao điểm của ( C ) và đoạn thẳng OI .
Vậy GTNN của z là:

13 − 3.

Câu 57. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z − 2 + 3i =

3
. Số phức z có môđun nhỏ
2

nhất là
A. z =

26 − 3 13 78 − 9 13
+
i.
13
26

B. z =

( x − 2) + ( y + 3)i =

3
2
9
4

 ( x − 2)2 + ( y + 3)2 = .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

25