BÀI KIỂM TRA SỐ 3 (Chọn đội tuyển HSG chính thức)
Môn: Toán - Lớp 9
(Thời gian: 150 phút, không kể giao đề)
Bài 1: Cho số chính phương A gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một
đơn vị thì được số B là số chính phương. Hãy tìm các số A và B.

Bài 2:
Tìm x để biểu thức M =
2
2
1
2 1
x x
x x
+ +
+ +
đạt giá trị giá trị nhỏ nhất (x
1)≠ −
.Tính giá
trị nhỏ nhất đó?

Bài 3: (2,0đ) Giải phương trình với ẩn là x:
2 2
2
2 2 2 2
b x
x a x a
b x x b
− − + =
− −
Bài 4:

a a a a
x y
a a
− −

+ =

 + + + − +

− + − −

+ =

− +

Bài 6: (3,0 đ)
Cho hình vuông ABCD cạnh a và M là trung điểm của cạnh AB, N là một điểm nằm
trên AB sao cho AN =
1
3
AB. Đường chéo AC cắt DM và DN lần lượt tại E và F.
a. Chứng minh
AME ®ång d¹ng víi AFN∆ ∆
b. Chứng tỏ tứ giác MNFE nội tiếp được trong đường tròn.
c. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng BC với đường tròn (BEF), giữa đường
thẳng CD với đường tròn (DEF).HD Chấm BÀI KIỂM TRA SỐ 3 (Chọn đội tuyển HSG chính thức)
Môn: Toán - Lớp 9

Giải hệ ta có x = 45 và y = 56 (0,25 đ)
Vậy A = 45
2
= 2025; B = 56
2
= 3136 (0,25 d)
Bài 2: (1,5 đ)
Tìm x để biểu thức M =
( )
2
2
1
2 1
x x
x x
+ +
+ +
đạt giá trị giá trị nhỏ nhất (x
1)≠ −
.Tính giá
trị nhỏ nhất đó?
Giải:
* M =
( )
( ) ( )
2
2 2
1
1
1 1

x
x
 
− + +
 
+
+
 
 
(0,25 đ)
=
2
1 1 3
2 1 4x
 
− +
 ÷
+
 
(0,25 đ)
Vì
2 2
1 1 1 1 3 3
0 nªn
2 1 2 1 4 4x x
   
− ≥ − + ≥
 ÷  ÷
+ +
   

2 2
2
2 2 2
b x
x a x a
b x x b
− − + =
− −
⇔
2 2
2
2 2 2 2
x b
x a x a
x b x b
− + = −
− −
(0,25 đ)

⇔

2 2
2
2 2
x b
x a x a
x b
−
− + =
−


Bài 4: (1,0 đ) .
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x
2
+ (m
2
+ 5)x -1 = 0 (với m
∈
Z). Tính
tổng
6 6
1 2
x + x theo m
.
Giải:
Đặt a = m
2
+ 5 ta có PT: x
2
+ ax – 1 = 0 với a
∈
Z. Theo Vi Et ta có: x
1
+ x
2
= -a; x

+ + −
 
 
(0,25 đ)
=
( ) ( )
3
2 2
a 2 3 a 2 (2)+ − +
(0,125 đ)
Thay a = m
2
+ 5 vào (2) ta được:
6 6
1 2
x + x =
( ) ( )
3
2
2 2
m 5 2 3 m 5 2
 
 
+ + − + +
 
 
 
(0,125 đ)

Bài 5: (1,25 đ) Giải hệ phương trình:

⇔
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4 3
4 3
2 1 3 1
0
1 1
2 1 2 3 1
3
1 1
a a a a
x y
a a
a a a a
x y
a a

− − − −
+ =


− +

− − − +

+ =

− +


1 a 1
và y =
2 3
a a a a
a a
+ + + +

Vi K;
1, 2, 3a a a
(0,5 )
Bi 6: (3,0 )
Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a v M l trung im ca cnh AB, N l mt im nm
trờn AB sao cho AN =
1
3
AB. ng chộo AC ct DM v DN ln lt ti E v F.
a. Chng minh
AME đồng dạng với AFN
b. Chng t t giỏc MNFE ni tip c trong ng trũn.
c. Xỏc nh v trớ tng i gia ng thng BC vi ng trũn (BEF), gia ng
thng CD vi ng trũn (DEF).
Gii:
a. Ta cú
a a
AN = ; AM =
3 2
AFN ~ CD
nờn ta cú:

1 1 1

3
AE
AC
=
(0,125 )
2
3 3
AC a
AE = =
(0,125 )
T cỏc giỏ tr trờn ta rỳt ra:
2 2
:
4 2 2
AF a a
AM
= =
(*) (0,125 )
V
2 2
:
3 3 2
AN a a
AE
= =
(**) (0,125 )
T (*) v (**)
. Nghĩa là AME ~ AFN.
AN AF
AE AM

B
A