TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ THANH HÀ

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT
VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Ứng dụng

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ THANH HÀ

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT
VÀ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĨNH ĐỨC

HÀ NỘI – 2018


Sinh Viên

Nguyễn Thị Thanh Hà

ii


Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU

1

1 Một số khái niệm cơ bản về xác suất rời rạc

3

1.1

Biến cố và xác suất của biến cố . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc . .

6

1.2.1


12

2.4

Một số ứng dụng của bất đẳng thức Markov . . . . . .

14

2.4.1

Xác định một giới hạn cho xác suất . . . . . . .

14

2.4.2

Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . . . . . . .

15

Một số ứng dụng của bất đẳng thức Chebyshev . . . .

16

2.5.1

Ước lượng một ràng buộc cho xác suất . . . . .

16


21

3.3

Ứng dụng của chặn Chernoff . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.3.1

Xác định giới hạn cho một xác suất . . . . . .

25

3.3.2

Ước lượng một tham số . . . . . . . . . . . . . .

27

3.3.3

Thiết lập sự cân bằng . . . . . . . . . . . . . .

28

3.4

Chặn Hoeffding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài
Mảng toán bất đẳng thức luôn là một trong những vấn đề khá
quan trọng trong toán học. Vì nó là dạng toán tương đối khó, chúng
ta không có phương pháp thực sự tốt để giải quyết nên để trình bày lời
giải cho dạng toán này, chúng ta cần kiến thức vững cũng như những
ý tưởng sáng tạo. Dạng toán bất đẳng thức trong xác suất cũng là
một đề tài thú vị, thu hút được sự quan tâm của nhiều người.
Với những lý do trên cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo, tiến
sĩ Trần Vĩnh Đức, em đã chọn đề tài “Một số bất đẳng thức xác suất
và ứng dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống lại các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất rời rạc.
- Nghiên cứu, tìm hiểu thêm về một số bất đẳng thức trong xác
suất và các ứng dụng của chúng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: đề tài nghiên cứu về bất đẳng thức xác
suất và ứng dụng của nó.
- Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu các tài liệu xác suất trong và
ngoài nước.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu, thu thập các tài liệu của các tác giả nghiên cứu đến
các bất đẳng thức trong xác suất.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

Định nghĩa 1.4. Xác suất của một biến cố: Xét một phép thử bất
kỳ có một số hữu hạn các kết quả có thể và giả thiết rằng các kết quả
này đồng khả năng xuất hiện. Khi đó xác suất của biến cố X là tỉ số
giữa số kết quả thuận lợi của X với số các kết quả có thể xảy ra.
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà

Khi đó ta kí hiệu như sau: Pr (X) =

|X|
, với |X| là kí hiệu số
|Ω|

phần tử của tập hợp X.
Định nghĩa 1.5. Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập
nếu và chỉ nếu
Pr(X ∩ Y ) = Pr(X). Pr(Y ).
Tổng quát, các biến cố X1 , X2 , . . . , Xn được gọi là độc lập nếu và chỉ
nếu với mỗi tập con I ⊆ [1, k] ta có:
Pr(

Xi ) =
i∈I

Pr(Xi ).
i∈I

Chứng minh. Thật vậy, từ định nghĩa có:
Pr (X1 ) = Pr (X1 − (X1 ∩ X2 )) + Pr (X1 ∩ X2 )
⇒ Pr (X1 − (X1 ∩ X2 )) = Pr (X1 ) − Pr (X1 ∩ X2 )
Pr (X2 ) = Pr (X2 − (X1 ∩ X2 )) + Pr (X1 ∩ X2 )
⇒ Pr (X2 − (X1 ∩ X2 )) = Pr (X2 ) − Pr (X1 ∩ X2 )
Và Pr (X1 ∪ X2 ) = Pr (X1 − (X1 ∩ X2 ))+Pr (X2 − (X1 ∩ X2 ))+ Pr (X1 ∩ X2 )
Nên
Pr(X1 ∪ X2 ) = Pr (X1 ) − Pr (X1 ∩ X2 ) + Pr (X2 ) − Pr (X1 ∩ X2 ) + Pr (X1 ∩ X2 )
= Pr(X1 ) + Pr(X2 ) − Pr(X1 ∩ X2 ).

Bổ đề 1.2. Với mỗi dãy hữu hạn hoặc đếm được các biến cố X1 , X2 , . . . , Xn
ta có:
Xi ) ≤

Pr(
i≥1

Pr(Xi ).
i≥1

Bổ đề 1.3. Cho X1 , X2 , . . . , Xn là n biến cố bất kì. Khi đó:
n

Pr(
i=1

n

Pr(Xi ) −



Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
rời rạc

1.2.1

Kỳ vọng

Định nghĩa 1.7. Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong
các giá trị x1 , x2 , ...xn với xác suất tương ứng p1 , p2 , ..., pn . Kỳ vọng
(giá trị trung bình) của biến ngẫu nhiên rời rạc X, kí hiệu là E(X)
là tổng các tích giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên với các
n

xác suất tương ứng, có nghĩa E(X) =

x i pi .
i=1

Tính chất 1.2.1. E(C) = C, với C là hằng số.
Tính chất 1.2.2. E(CX) = CE(X), với C là hằng số.
Tính chất 1.2.3. Với X và Y là 2 biến ngẫu nhiên bất kỳ thì
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
Tính chất 1.2.4. Với X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì
E(XY ) = E(X)E(Y ).
Định lý 1.1. (Tính chất tuyến tính của kỳ vọng): Với mọi tập các biến
n

n



Pr (X = xi , Y = yi ).
yi

Định nghĩa 1.9. (Kỳ vọng có điều kiện) Nếu Y là một biến ngẫu
nhiên rời rạc trên cùng một không gian xác suất trên Y thì kỳ vọng
có điều kiện của X đối với Y được kí hiệu là E[X/Y ] và được xác định
x Pr (X = x/Y = y).

bởi E [X/Y = y] =
x

Tính chất 1.2.5. (Tính chất của kỳ vọng có điều kiện) Với X, Y là
các biến ngẫu nhiên rời rạc, ta có:
- E(c/X) = c với c là một hằng số.
- |E (X/Y )| ≤ E (|X| /Y ).
- Nếu a và b là các hằng số và (aEX + bEY ) xác định thì
Pr(Y = y).E(X/Y = y) =
y

Pr(Y = y)
y

Pr (X = x/Y = y).
x

- E (E (X/Y )) = EX.
- Nếu X, Y độc lập thì: E (X/Y ) = EX.
Mệnh đề 1.1. Với mọi biến ngẫu nhiên X và Y :
E [X] =

x

y

x Pr (X = x ∩ Y = y)

=
x

y

x Pr (X = x) = E [X] .

=
x

Mệnh đề 1.2. Cho một tập các biến ngẫu nhiên rời rạc X1 , X2 , ..., Xn
với kỳ vọng hữu hạn và với mọi biến ngẫu nhiên Y :
n

E

n

Xi /Y = y =
i=1

1.2.2

E [Xi /Y = y].

= E (X − E [X])2 + (Y − E [Y ])2 + 2 (X − E [X]) (Y − E [Y ])
= E(X − E [X])2 + E(Y − E [Y ])2 + 2E [(X − E [X]) (Y − E [Y ])]
= V ar [X] + V ar [Y ] + 2Cov (X, Y ) .
Hệ quả 1.1. Nếu X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì Cov(X, Y ) = 0
và V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ] .
Mở rộng hệ quả trên cho một tổng hữu hạn các biến ngẫu nhiên
độc lập lẫn nhau ta được định lý sau:
Định lý 1.3. Cho X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn
nhau. Khi đó

n

V ar

n

Xi =
i=1

V ar [Xi ].
i=1

9


Chương 2
Moment và độ lệch
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu về bất đẳng thức Markov
cũng như bất đẳng thức Chebyshev và các ứng dụng của chúng.


số dương. Nó liên hệ giữa xác suất và giá trị kỳ vọng, và cho một giới
hạn (thường không chặt) cho giá trị của hàm phân phối tích lũy của
một biến ngẫu nhiên.
Định lý 2.1. Cho X là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị không âm.
Khi đó với mọi a > 0 ta có:
Pr(X ≥ a) ≤

E [X]
.
a

Chứng minh. Thật vậy, xét tập A = {s ∈ Ω/X(s) ≥ a}.
E [X]
Ta phải chứng minh rằng P r(A) ≤
.Thật vậy:
a
E(X) =

P r(s)X(s)
s∈X

=

P r(s)X(s) +
s∈A

≥

P r(s)X(s)
s∈A

Nguyễn Thị Thanh Hà

E [X]
.
a

Bất đẳng thức Chebyshev

Một câu trả lời khác cho thắc mắc đặt ra ở trên có thể được giải
quyết bởi một bất đẳng thức khác: Bất đẳng thức Chebyshev. Bất
đẳng thức này áp dụng với bất kỳ các biến ngẫu nhiên (không nhất
thiết phải là các biến ngẫu nhiên không âm như khi áp dụng bất đẳng
thức Markov).
Sau khi đã nhắc lại về kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên,ta
sử dụng chúng để suy ra bất đẳng thức Chebyshev như sau:
Định lý 2.2. Với mọi a > 0 có
Pr(|X − E [X]| ≥ a) ≤

V ar [X]
.
a2

Chứng minh. Cách chứng minh bất đẳng thức Chebyshev tương tự
như chứng minh bất đẳng thức Markov. Xét tập
A = {s ∈ Ω/ |X(s) − E(X)| ≥ a} .

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


≥
s∈A

= a2

P r(s) = a2 P r(A)
s∈A

(do với mọi s:(X(s) − E(s))2 ≥ 0,|X(s) − E(X)| ≥ a với mọi s ∈ A)
V ar(X)
Vì vậy V ar(X) ≥ a2 .P r(A) hay P r(A) ≤
,
a2
V ar [X]
Vậy Pr(|X − E [X]| ≥ a) ≤
.
a2
Nhận xét 2.2. Cả hai bất đẳng thức Markov và Chebyshev đều xác
định giới hạn xác suất khi biết kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu
nhiên chưa biết phân phối xác suất.
Ví dụ 2.3.1. Giả sử coi số phế phẩm làm ra của một nhà máy tính
trong một tháng là một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng µ = 30.
i, Nhận xét gì về xác suất của phế phẩm tháng này vượt quá 120
sản phẩm.
ii, Với phương sai bằng 25, hãy tính xác suất phế phẩm của tháng
nếu số phế phẩm này làm ra nằm trong khoảng (40, 60).
Giải:

13


1 3
=
4 4
Vậy nếu phương sai của phế phẩm tháng này là 25 thì xác suất phế
3
phẩm của tháng trong khoảng (40,60) sẽ lớn hơn .
4
Suy ra: Pr (40 < X < 60) = Pr (|X = 50| < 10) > 1 −

2.4
2.4.1

Một số ứng dụng của bất đẳng thức Markov
Xác định một giới hạn cho xác suất

Ví dụ 2.4.1. A và B chơi trò rút lá bài với luật chơi như sau: Đưa
cho A và B mỗi bạn một bộ bài như nhau, lần lượt mỗi người sẽ rút
1 quân bài và so sánh màu sắc quân bài với người kia sau đó lại cho
quân bài đã rút vào bộ bài. Kết quả sau n lần rút ai nhận được nhiều
lá bài màu đỏ hơn sẽ thắng. Xác định giới hạn cho xác suất A rút
được quân bài màu đỏ ít nhất 120 lần.
Giải:
Giả sử Xi là biến ngẫu nhiên nhận giá trị 1 nếu A rút được lá bài
n

đỏ và nhận giá trị 0 nếu A rút được lá bài màu đen. Đặt X =

Xi là
i=1

= 2 =
3n
3n
4
2 3n 3
4
4
Ví dụ 2.4.2. Gieo một đồng xu không cân đối 200 lần và nhận thấy
1
rằng xác suất xuất hiện mặt ngửa là
. Yêu cầu đưa ra một chặn
10
trên cho xác suất thỏa mãn số mặt ngửa xuất hiện ít nhất 120 lần.
Giải
Để giải quyết bài toán ta coi số lần xuất hiện mặt ngửa là một
1
biến ngẫu nhiên thỏa mãn phân phối nhị thức với xác suất p =
và
10
1
n = 200. Vì vậyE [X] = np = 200.
= 20.
10
Sử dụng bất đẳng thức Markov cho xác suất xuất hiện ít nhất 120
lần mặt ngửa ta được:
P r(X ≥ 120) ≤
2.4.2

E(X)
20

= 2
k

Như vậy dựa vào bất đẳng thức Markov ta đã chứng minh được
bất đẳng thức Chebyshev.

2.5

Một số ứng dụng của bất đẳng thức Chebyshev

2.5.1

Ước lượng một ràng buộc cho xác suất

Ví dụ 2.5.1. Cho X ∼ P oi(16) . Yêu cầu đưa ra một ràng buộc cho
xác suất P r (|X − µ| ≤ 5)
Vì X ∼ P oi(16) nên µ = 16 = σ 2 . Suy ra σ = 4. Khi đó:
P r (|X − µ| ≤ 5) = P r (|X − 16| ≤ 5)
σ2
16
= 0, 36.
= P r (11 ≤ X ≤ 21) ≥ 1 − 2 = 1 −
5
25
Ví dụ 2.5.2. Cho X ∼ N (100, 15) và x là giá trị trung bình mẫu từ
mẫu ngẫu nhiên có kích thước 400. Hãy đưa ra một ràng buộc cho xác
suất P r (|x − µ| ≤ 2)

16


P r(0 < X < 32) = P r(0 − 16 < X − 16 < 32 − 16)
= P r(|X − 16| < 16)
= 1 − P r(|X − 16| ≥ 16)
E [X − 16]2
≥1−
2.5.2

162

=1−

16
15
=
.
16
162

Luật số lớn Chebyshev

Luật số lớn phát biểu như sau: Nếu X1 , X2 , . . . , Xn là một dãy các
biến ngẫu nhiên độc lập có các kỳ vọng hữu hạn và phương sai bị chặn

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thanh Hà


nC
C
DX1 + DX2 + . . . + DXn
≤
=
.
n2
n2
n

Bây giờ ta áp dụng bất đẳng thức Chebyshev đối với biến ngẫu nhiên
Sn ta được:
X1 + X2 + . . . + Xn EX1 + EX2 + . . . + EXn
−
>ε
n
n
C
= P r (|Sn −ESn | > ε) ≤ 2
nε

Pr

tiến đến 0 khi n → ∞. Như vậy dựa vào bất đẳng thức Chebyshev ta
đã chứng minh được luật số lớn Chebyshev.

18


Chương 3


Như vậy chìa khóa chính trong lập luận trên chính là hàm sinh mô-men
của biến ngẫu nhiên X.
Định nghĩa 3.1. Hàm sinh mô-men của một biến ngẫu nhiên X là
MX (t) = E etX .
Nhận xét 3.1. Hàm MX (t) bao gồm tất cả các mô-men của X. Thông
19