▼ô❝ ❧ô❝
✳
✶✳ ▼ë ➤➬✉ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷
✷✳ ●✐í✐ t❤✐Ö✉ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷
✸✳ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✹
✹✳ ◆ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✼
✺✳ ◆ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❐♣ δ✲♥❣❤✐Ö♠ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✶✵
✻✳ ❲❡❧❧✲P♦s❡❞ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❝ã ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã
t❤❛♠ sè ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶✹
✼✳ ❈➳❝ ø♥❣ ❞ô♥❣ ✈➭♦ æ♥ ➤Þ♥❤ ❞ß♥❣ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝ñ❛ ♠➵♥❣ ❣✐❛♦ t❤➠♥❣ ✳✳✳✳✳✳✳ ✶✽
✽✳ ❱Ò æ♥ ➤Þ♥❤ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ◆❛s❤ P❛r❡t♦ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ trß ❝❤➡✐ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉✳✳✳✷✼
❑Õt ❧✉❐♥✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✸✼
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✸✾
❚ã♠ t➽t ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✹✸
✶
ở
ụ t ủ ề t ét tí ổ ị t ĩ ử tụ
t tự t tứ ế ó ó t số r ột số
ứ ụ t t trò ó ề ờ
ộ ủ ề t ét t tự t tứ ế
ì t t ở rộ t ề t st ổ ị
t ĩ ử tụ s Prt ủ t trò
ụ t
ộ tết ý ủ ề t ệ tố ết
q ề ổ ị ệ ủ t tứ ế
ứ ứ ụ t ết q t ợ ủ ề t
ữ t ụ t ý ò r ợ ột số ết
q ớ ề ổ ị ệ ủ t tứ ế
t ị ý tr tết ề t ề ứ ụ ề t
ét t t t t trò ụ

ị ĩ ệ
U, X Y tự A X t ồ t
rỗ C Y ó ồ ó ó tr rỗ í ệ

C := Y \ intC B
X
, B
Y
q ị ó ủ X, Y t
ứ ét K : U ì A 2
A
T : U ì A 2
L(X,Y )
trị
L(X, Y ) ỉ tế tí tụ từ X Y
ét t tự t tứ ế s ớ ỗ u U
(QV I)
u
: ì x K(u, x), y K(u, x),

t T (u, x),

t, y x

C;
(MQV I)
u
: ì x K(u, x),

t T (u, x), y K(u, x),

, S
0
0
ộ ề t ét
ổ ị t ệ t tết t ệ ó tr rỗ
ét t t số (MQV I)
ị ĩ {x
n
} A ọ ỉ ế
n
0
+
, x
n

K(x
n
), t
n
T(x
n
) y K(x
n
)
t
n
, y x
n

n

ét t ó t số (MQV I)
u
ị ĩ u
n
u {x
n
} A ọ ỉ ứ ớ u
n
ế
n
0
+
, x
n
K(u
n
, x
n
), t
n
T(u
n
, x
n
), y K(u
n
, x
n
),
t

(u) =
ớ ỗ u
n
u ỗ ỉ t ứ ứ
ớ u
n
ó ộ tụ tớ tử ủ M
0
0
(u)
ũ ị ĩ ệ t tự t (QV I)
(SQV I)

ét ổ ị ủ t ệ t từ ỗ u U, 0
Q
0
0
(u) = {x K(u, x) x K(u, x)

t T (u, x)

t, x x

C};
Q
0
1
(u, ) = {x K(u, x) x K(u, x)

t T (u, x)

í ệ Q
0
0
, Q
1
1
() M
0
0
, M
1
1
() trờ ợ ó t số u
ũ r ệ í ệ t tự (SQV I) ó
ó t số
ú ý ế x
n
ỉ tì ó ũ
ỉ ề ợ ó tể ú ì ế t
s tì ũ s ột ớ
ét ỉ t t tứ ế (QV I)
tr tự K t ồ ó S : K 2
K
A trị (QV I) tì u
0
K, u
0
S(u
0
), v S(u

X, Y G : X 2
Y
ó G

s t x X ế ớ ỗ t ở V G(x) ó N ủ x s
G(N) V trị G s t x X ế ớ ọ x
n
x
y G(x) tì ó y
n
G(x
n
) s y
n
y ũ ó G tụ t
x ế ó ừ s s t x ế G tụ ớ ọ x X tì t ó G
tụ
ú ý ớ G ó ở tr ế G(x) t tì G(.) s t x
ỉ {x
n
}

n=1
X x
n
x {y
n
}

n=1

0
+
tồ t x
n
M
0
1
(
n
)
x
n
/ V, n.
ở x
n
M
0
1
(
n
) x
n
K(x
n
), t
n
T(x
n
), y K(x
n

0
0
t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❛ ❝ã ∀t ∈ T (¯x)✱ ∃y
0
∈ K(¯x)✱
t, y
0
− ¯x /∈
¯
C. ✭✺✮
❇ë✐ K(.) ❧➭ ❧s❝ t➵✐ ¯x✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ y
0
ë tr➟♥✱ ∃y
n
∈ K(x
n
) s❛♦ ❝❤♦ y
n
→ y
0
.
❙ö ❞ô♥❣ ❝➳❝ ❞➲② ♥➭② ✈➭♦ ✭✹✮ ✈➭ ❝❤♦ n → ∞ ✈í✐ ❝❤ó ý
¯
C ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✱ t❛ ❝ã

¯
t, y
0
− ¯x ∈
¯

❧➞♥ ❝❐♥ ♠ë V ❝ñ❛ S
0
1
(0) = S
0
0
✱ ε
n
→ 0
+
✱ tå♥ t➵✐ x
n
∈ S
0
1
(ε
n
) ♠➭
x
n
/∈ V, ∀n.
✽
❇ë✐ x
n
∈ S
0
1
(ε
n
) ♥➟♥ x

∈ T(¯x)✱ ∃y
0
∈ K(¯x)✱
t
0
, y
0
− ¯x /∈
¯
C.
❇ë✐ K(.) ❧➭ ❧s❝ ✈➭ T (.) ❧➭ ❧s❝ t❤× ✈í✐ y
0
✈➭ t
0
ë tr➟♥✱ ∃y
n
∈ K(x
n
), t
n
∈ T(x
n
),
s❛♦ ❝❤♦ y
n
→ y
0
, t
n
→ t

0
0
✱ ε
n
→ 0
+
✱ tå♥ t➵✐ x
n
∈ Q
0
1
(ε
n
) ♠➭
x
n
/∈ V, ∀n.
❳Ðt x
n
∈ A✱ ❞♦ A ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥ ✈➱♥ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ x
n
→ ¯x ∈ A✳
●✐➯ sö ¯x /∈ M
0
1
(0) = M
0
0
t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❛ ❝ã ∃y
0

n
∈ T(x
n
)✱
t
n
, y
n
− x
n
 ∈ ε
n
B
Y
+
¯
C.
❉♦ K(.) ✉s❝ ✈➭ K(¯x) ❝♦♠♣❛❝t✱ t❤❡♦ ❈❤ó ý ✶✱ ❝ã ❞➲② ❝♦♥ ✈➱♥ ❦ý ❤✐Ö✉ x
n
→
¯x ∈ K(¯x)✳ ❇ë✐ T (.) ✉s❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ t
n
→
¯
t ∈ T (¯x)✳
❙ö ❞ô♥❣ ❝➳❝ ❞➲② ♥➭② ✈➭ ❝❤♦ n → ∞ tr♦♥❣ ❜✐Ó✉ t❤ø❝ tr➟♥✱ ✈í✐ ❝❤ó ý
¯
C ❧➭ t❐♣
➤ã♥❣✱ t❛ ❝ã


ë tr➟♥ ❜ë✐ q✉➯ ❝➬✉ t♦ ❤➡♥ (δ + ε)B
Y
✈í✐ δ > 0 ❝è ➤Þ♥❤✱ ✈➭ t❛
❝ò♥❣ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ❝ã δ t➢➡♥❣ ø♥❣ tr➟♥ ❝➳❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣✳
❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱
Q
0,δ
1
(ε) = {
x ∈ K(x), ∀x ∈ K(x), ∃
¯
t ∈ T (x), 
¯
t, x − x ∈ (δ + ε)B
Y
+
¯
C}.
❇æ ➤Ò ✶✳ ◆Õ✉ ε
n
→ 0
+
, u
n
→ ¯u ✈➭ u
n
∈ Y \ {(δ + ε
n
)B
Y

¯
C✳ ◆❣❤Ü❛
❧➭✱ u
n
/∈ Y \ {δB
Y
+
¯
C}✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ❜ë✐
Y \ {(δ + ε
n
)B
Y
+
¯
C} ⊂ Y \ {δB
Y
+
¯
C},
s✉② r❛ u
n
/∈ Y \ {(δ + ε
n
)B
Y
+
¯
C} ❧➭ ♠➞✉ t❤✉➮♥ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt✳ ❇æ ➤Ò ➤➢î❝
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

(ε
n
) ♠➭
x
n
 ¯x. ✭✽✮
❚õ K(.) ❧➭ ❧s❝ t➵✐ ¯x✳ ❇ë✐ ¯x ∈ Q
0
0
♥➟♥ ¯x ∈ K(¯x) ✈➭ ∀x
n
→ ¯x✱ ∃x
n
∈ K(x
n
)
s❛♦ ❝❤♦ x
n
→ ¯x. ❱í✐ ε
n
→ 0
+
ë tr➟♥ ✈➭ tõ ✭✽✮ s✉② r❛ x
n
/∈ Q
0,δ
0
(ε
n
) ♥❣❤Ü❛ ❧➭

0
t❛ ❝ã ¯x ∈ K(¯x), ∀y ∈ K(¯x), ∃
¯
t ∈ T (¯x)✱

¯
t, y − ¯x ∈
¯
C. ✭✶✵✮
❇ë✐ A ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ {y
n
} tå♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥ ✈➱♥ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ y
n
→ ¯y✱ ❤➡♥ ♥÷❛
K(.) ❧➭ ✉s❝ ♥➟♥ ¯y ∈ K(¯x)✱ ✈× ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ✭✶✵✮ t❤á❛ ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ K(¯x) ♥➟♥
✶✶
ũ tỏ ớ y ớ y sẽ ị

t T (x) ở T (.) s ớ

t ó
t
n
T (x
n
) t
n


t n tr ể tứ t ổ ề ớ


t, y x Y \

C,
t ớ ứ ết tú
ét t ó t số
ị ý ế K(., .) tụ ó trị ó T(., .) s tì
u
n
u,
n
0
+
, x Q
0
1
(u), x
n
Q
0,
1
(u,
n
) : x
n
x.
ị ý ế K(.) tụ ó trị ó s ó trị t
tì

n

x
n
x.
ừ K(.) s t x ở x S
0
0
x K(x), ớ ỗ x
n
x x
n

K(x
n
) s x
n
x. ừ
n
0
+
ở s r x
n
/ S
0,
1
(
n
) ĩ

❧➭ ∃y
n

+
¯
C}.
▼➷t ❦❤➳❝✱ ❜ë✐ ¯x ∈ S
0
0
t❛ ❝ã ¯x ∈ K(¯x), ∀y ∈ K(¯x), ∀t ∈ T (¯x)✱
t, y − ¯x ∈
¯
C.
❇ë✐ A ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ {y
n
} tå♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥ ✈➱♥ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ y
n
→ ¯y✱ ❤➡♥ ♥÷❛
K(.) ❧➭ ✉s❝ ♥➟♥ ¯y ∈ K(¯x)✳ ❇ë✐ T(.) ✉s❝✱ t
n
∈ T(x
n
) ♥➟♥ t
n
→
¯
t ∈ T (¯x)✳ ❙ö
❞ô♥❣ ❝➳❝ ❞➲② ε
n
, x
n
, y
n

(¯u, ε
n
) : x
n
→ x.
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✶✳ ◆Õ✉ K(.) ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣ ✈➭ ❚✭✳✮ ❧s❝ t❤×
∀ε
n
→ 0
+
, ∀x ∈ M
0
0
, ∃x
n
∈ M
0,δ
1
(ε
n
) : x
n
→ x.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ●✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ∃ε
n
→ 0
+
, ∃¯x ∈ M
0
1

t ∈ T (¯x), ∀y ∈ K(¯x)✱

¯
t, y − ¯x ∈
¯
C.
❇ë✐ T (.) ❧s❝ ♥➟♥ ✈í✐
¯
t ❝ã ❞➲② t
n
∈ T(x
n
)✱ t
n
→
¯
t✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ✈í✐ ε
n
→ 0
+
✈➭
❜ë✐ ✭✶✷✮ s✉② r❛ x
n
/∈ M
0,δ
1
(ε
n
) ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ∀t ∈ T (x
n

n
} tå♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥ ✈➱♥ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ y
n
→ ¯y✱ ❤➡♥ ♥÷❛ K(.) ❧➭
✉s❝ ♥➟♥ ¯y ∈ K(¯x)✳ ❙ö ❞ô♥❣ ❇æ ➤Ò ✶ ✈➭ ❝❤♦ n → ∞ tr♦♥❣ ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ✭✶✸✮✱ ❝ã

¯
t, ¯y − ¯x ∈ Y \ int{δB
Y
+
¯
C} ⊂ Y \
¯
C.
❧➭ ♠➞✉ t❤✉➮♥ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦Õt t❤ó❝✳
❱í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã t❤❛♠ sè
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✷✳ ◆Õ✉ K(., .) ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣ ✈➭ T(., .) ❧s❝ t❤×
∀u
n
→ ¯u, ε
n
→ 0
+
, ∀x ∈ M
0
0
(¯u), ∃x
n
∈ M
0,δ

ở x
n
M
0
0
t ị ĩ tì x
n
K(x
n
), t
n

T (x
n
), y K(x
n
)
t
n
, y x
n


C.
ừ ú ý x
n
x K(x), t
n




C,
t M
0
0
t ó ữ ó t t sử ụ ú
ý t s r ề ứ
ệ ề sử K(., .) tụ ó trị ó T (., .) s ó
trị t tì t (MQV I)
u
s
tự ớ t (SQV I)

▼Ö♥❤ ➤Ò ✸✳ ●✐➯ sö K(.) ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❣✐➳ trÞ ➤ã♥❣ ✈➭ T (.) ❧➭ ❧s❝ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥
(SQV I) ❧➭ ✇❡❧❧♣♦s❡❞ ❞➵♥❣ ■✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❙ö ❞ô♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✱ ❝ã S
0
1
(.) ❧➭ ✉s❝ t➵✐ 0✳ ❚❛
❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ S
0
0
❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❧✃② ❞➲② x
n
∈ S
0
0
✱ x
n
→ ¯x✳

t ∈
T (¯x), ∃¯y ∈ K(¯x) s❛♦ ❝❤♦✱

¯
t, ¯y − ¯x /∈
¯
C.
❇ë✐ K(.) ❧➭ ❧s❝ t➵✐ ¯x✱ ❦❤✐ ➤ã ✈í✐ ¯y✱ ∃y
n
∈ K(x
n
) s❛♦ ❝❤♦ y
n
→ ¯y. ❈ò♥❣ ❜ë✐
T (.) ❧s❝ ♥➟♥ ✈í✐
¯
t, ∃t
n
∈ T (x
n
), t
n
→
¯
t ∈ T (¯x)✳ ❙ö ❞ô♥❣ ❝➳❝ ❞➲② ♥➭② ✈➭♦
✭✶✺✮ ✈➭ ❝❤♦ n → ∞ ✈í✐ ❝❤ó ý
¯
C ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✱ t❛ ❝ã

¯

n
)✱ ∀y ∈ K(x
n
)✱
t
n
, y − x
n
 + ε
n
B
Y
⊂
¯
C = Y \ −intC.
⇔ t
n
, y − x
n
 + ε
n
B
Y
⊂ −intC. ✭✶✻✮
❚õ A ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ ❝ã ❞➲② ❝♦♥ ✈➱♥ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ x
n
→ ¯x✳ ❉♦ K(.) ✉s❝✱ x
n
∈
K(x

n
, y
n
 − 
¯
t, ¯y → 0, t
n
, x
n
 − 
¯
t, ¯x → 0.
❑❤✐ n ➤ñ ❧í♥ ❝ã
t
n
, y
n
 − 
¯
t, ¯y − t
n
, x
n
 + 
¯
t, ¯x ⊂
¯ε
2
B
Y