ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

TRẦN THỊ CHIÊN

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA
BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2014


Mục lục
Mở đầu

2

1 Kiến thức cơ sở
1.1 Kiến thức tôpô và giải tích hàm . . . .
1.1.1 Không gian metric . . . . . . .
1.1.2 Không gian véctơ tôpô . . . . .
1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

2 Bài toán quan hệ biến phân
2.1 Phát biểu bài toán và một số ví dụ . . . . . . . . .
2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân
2.2.1 Định lí cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tiêu chuẩn dựa trên sự tương giao . . . . .
2.2.3 Tiêu chuẩn dựa trên điểm bất động . . . .

.
.
.
.
.

3 Tính chất tôpô của tập nghiệm của bài toán quan
3.1 Tính lồi của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tính bị chặn của tập nghiệm . . . . . . . . . . . .
3.3 Tính đóng của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Tính ổn định của tập nghiệm . . . . . . . . . . . .
3.5 Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Bài toán bao hàm thức biến phân . . . . .
3.5.2 Bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

hệ
. .
. .
. .


.
.
.
.
.

24
24
28
28
30
35

biến phân
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

39
40
42
43
45

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


Mở đầu
Lý thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng kinh tế, lý thuyết giá
trị của Edgeworth từ năm 1881 và Pareto từ năm 1886. Cho tới những năm
cuối thế kỉ XX lý thuyết tối ưu trở thành một ngành toán học quan trọng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học, kĩ thuật và kinh tế cũng như
trong thực tế.
Trong xu thế phát triển chung của lý thuyết tối ưu và áp dụng lý thuyết cân
bằng vào giải quyết các lĩnh vực cơ bản khác nhau của cuộc sống, một lớp bài
toán mới, bài toán "Quan hệ biến phân" được đề xuất lần đầu tiên vào năm
2008 bởi GS. Đinh Thế Lục nhằm nghiên cứu một bài toán tổng quát hơn theo
nghĩa một số lớp bài toán quen thuộc có thể được suy từ bài toán này như bài
toán tối ưu tuyến tính, bài toán tối ưu phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán
tựa cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân, bài toán bao hàm thức tựa biến
phân, bài toán bất đẳng thức biến phân,...
Bài toán quan hệ biến phân được phát biểu như sau: Tìm a¯ ∈ A sao cho
(1) a¯ là điểm bất động của ánh xạ S1 , tức là a¯ ∈ S1 (¯a);
(2) Quan hệ R(¯a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2 (¯a) và y ∈ T (¯a, b),

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS.
Tạ Duy Phượng. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp
các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham
gia giảng dạy khóa cao học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao
dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả luận văn
Trần Thị Chiên

4


Chương 1

Kiến thức cơ sở
Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức về giải tích hàm như các
khái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô,..và khái
niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục của ánh xạ đa trị,... cần thiết cho việc trình
bày các nội dung ở chương sau.

1.1
1.1.1

Kiến thức tôpô và giải tích hàm

dH (A, B) = max sup d(a, B), sup d(b, A) .
a∈A

b∈B

Định nghĩa 1.1.4. Trong không gian metric X . Một dãy {xn } được gọi là dãy
cơ bản nếu
(∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) thì d (xn , xm ) < ε.

Nhận xét 1.1.1. Một dãy hội tụ bao giờ cũng là dãy cơ bản, vì nếu xn → x thì
theo bất đẳng thức tam giác ta có
d (xn , xm ) ≤ d (xn , x) + d (x, xm ) → 0 (n, m → ∞).

Nhưng ngược lại một dãy cơ bản trong một không gian bất kỳ không nhất
thiết hội tụ. Chẳng hạn nếu xét khoảng (0, 1) là một không gian metric với
d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ (0, 1) thì dãy

1
, mặc dù là dãy cơ bản, nhưng
n

không hội tụ trong không gian ấy.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian metric X trong đó mọi dãy cơ bản đều hội tụ
(tới một phần tử của X ) được gọi là một không gian đủ.
Định nghĩa 1.1.6. Ánh xạ P : X → X được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu
∃k > 0 : d (P (x), P (y)) ≤ kd(x, y).
• k = 1: f được gọi là ánh xạ không giãn.
• 0 < k < 1: f được gọi là ánh xạ co.

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh xạ co P từ không

(ii) x là điểm ngoài của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong
X\A.
(iii) x là điểm biên của A nếu x đồng thời không là điểm trong và không là
điểm ngoài của A. Hay nói cách khác x là điểm biên của A nếu mọi lân cận
của x đều giao khác rỗng với A và X\A.
Định nghĩa 1.1.13. Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô (X, τ ). Ta
gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở nằm trong A, và nó là tập
o
mở lớn nhất. Kí hiệu là A hoặc intA.
Định nghĩa 1.1.14. Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô (X, τ ). Ta
gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng nằm trong A, và nó là tập
đóng nhỏ nhất. Kí hiệu là A¯ hoặc clA.
Định nghĩa 1.1.15. Cho X , Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ f từ X vào
Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận V của f (x0 ) đều tồn tại
một lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊆ V.
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X .
7


Định nghĩa 1.1.16. Không gian tô pô (X, τ ) được gọi là không gian Hausdorff
(hay T2 − không gian) nếu mọi cặp điểm x khác y trong X đều tồn tại một lân
cận U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅.
Định nghĩa 1.1.17. Giả sử F là một trường R hoặc C. Các phần tử của F
được gọi là số (đại lượng vô hướng). Một không gian véctơ V định nghĩa trên
trường F là một tập hợp V không rỗng mà trên đó hai phép cộng véctơ và phép
nhân với một số hướng được định nghĩa sao cho các tính chất cơ bản sau đây
được thỏa mãn:
1. Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:
Với mọi u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w;
2. Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán:

j=1


Định nghĩa 1.1.20. Giả sử S ⊂ X. Bao lồi của S, kí hiệu là convS là tập hợp
các tổ hợp lồi của các điểm trong S.
Định nghĩa 1.1.21. Cho X là không gian véctơ.
1. Một tập C ⊆ X được gọi là nón nếu với mọi λ ≥ 0, mọi x ∈ C thì λx ∈ C.
2. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là tập lồi. Như vậy, một tập C
là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:
(i) λC ∈ C với mọi λ ≥ 0,
(ii) C + C ⊆ C.
Định nghĩa 1.1.22. Ta nói một tôpô τ trên không gian véctơ X tương hợp với
cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tôpô đó, tức là
nếu:
1. x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y ; cụ thể với mọi lân cận V của
điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y sao cho
nếu x ∈ Ux , y ∈ Uy thì x + y ∈ V.
2. αx là một hàm liên tục của hai biến α, x; cụ thể với mọi lân cận V của αx
đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho |α − α | < ε, x ∈ U thì
α x ∈ V.

Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi
là một không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính).
Định nghĩa 1.1.23. Một không gian véctơ tôpô X được gọi là không gian véctơ
tôpô lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) chỉ gồm các tập
lồi.
Định nghĩa 1.1.24. Cho X là không gian tôpô lồi địa phương và tập C ⊆ X.
Ta nói véctơ d là một phương lùi xa của C nếu x + λd ∈ C với mọi x ∈ C, λ > 0.
Tập tất cả các phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa của C và được kí hiệu
là o+ (C). Vậy, o+ (C) = {λ ∈ X : x + λd ∈ C} với mọi x ∈ C, λ > 0.

Nhận xét 1.2.1. Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của
Y , thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó, thay cho kí hiệu F : X ⇒ Y
bằng kí hiệu quen thuộc F : X → Y .
Ví dụ 1.2.1. Ánh xạ F : Rn ⇒ Rn xác định bởi
F (x) = {y ∈ Rn : y − x ≤ 1} ,

là một ánh xạ đa trị trên Rn , nó biến mỗi điểm thành một hình cầu đóng tâm
x bán kính bằng đơn vị.
Định nghĩa 1.2.2. Đồ thị gphF , miền hữu hiệu domF và miền ảnh rgeF của
ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được xác định bằng các công thức
gphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ,
domF = {x ∈ X : F (x) = ∅} ,
và
rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)} .
10


Định nghĩa 1.2.3. Cho X và Y là các không gian tôpô và F : X ⇒ Y là ánh
xạ đa trị.
1. F được gọi là ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng) nếu gphF là tập
đóng trong không gian tôpô tích X × Y.
2. F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng với mọi x ∈ domF.
3. F được gọi là ánh xạ mở (hoặc ánh xạ có đồ thị mở ) nếu gphF là tập mở
trong không gian tôpô tích X × Y.
4. F được gọi là ánh xạ có giá trị mở nếu F (x) là tập mở với mọi x ∈ domF.
Nhận xét 1.2.2. Nếu ánh xạ đa trị F có gphF đóng thì F (x) là đóng với mọi
x ∈ domF.

Thật vậy, lấy một lưới (xn , yn ) ∈ gphF sao cho (xn , yn ) hội tụ tới (¯
x, y¯). Do

x, y¯) = (¯
x, 0) ∈ gphF.
Vậy gphF là đóng.
Ví dụ 1.2.3. Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) =

(−1, 1)
0

không phải là ánh xạ đa trị đóng vì

nếu x = 0,
nếu x = 0.

1
1
,1 −
n
n

nhưng điểm (0; 1) ∈
/ gphF.

11

∈ gphF và

(1.2)
1
→ 0,


Điều ngược lại tương tự.
• Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là được gọi là lõm nếu và chỉ nếu với mọi x1 , x2 ∈ X

và t ∈ [0, 1] thì
tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊇ F (tx1 + (1 − t)x2 ).

Trong trường hợp ánh xạ F là ánh xạ đơn trị, F (x) = {f (x)} thì F là lồi khi
f (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ).

(1.4)

Ta nhận thấy rằng (1.3) tương thích với (1.4). Thật vậy, giả sử f : X ⇒ R là
ánh xạ đơn trị. Hàm epif = F được xác định bởi
F (x) = f (x) + R+ = {f (x) + α, α ≥ 0} , với f là hàm lồi,

sẽ là ánh xạ đa trị lồi.
Thật vậy, ta có :
tF (x1 ) = t f (x1 ) + R+ ,
(1 − t)F (x2 ) = (1 − t) f (x2 ) + R+ .
12


Lấy w ∈ tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ). Khi đó tồn tại s1 , s2 ∈ R+ sao cho
u = tf (x1 ) + ts1 ,
v = (1 − t)f (x2 ) + (1 − t)s2 .

Do f là hàm lồi nên
tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) ≥ f (tx1 + (1 − t)x2 ).



không phải là ánh xạ đa trị lồi vì lấy x2 = −x1 , x1 > 0 và t = . Khi ấy ta có
1
{[−1, 1] + [−1, 1]}
2
1
= [−2, 2]
2
F (tx1 + (1 − t)x2 ) = F (0) = {0} .

tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) =

13


1.2.2

Một số định lí về sự tương giao và về điểm bất động của ánh xạ đa
trị

Cho X , Y là các không gian véctơ tôpô Hausdorff, A một tập con khác rỗng
trong X và F là một ánh xạ đa trị từ X vào Y .
Định nghĩa 1.2.5. (Ánh xạ KKM) Ánh xạ đa trị F : A ⇒ A được gọi là ánh
xạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn {a1 , ..., an } của A và mỗi phần tử a thuộc
vào bao lồi của {a1 , ..., an } có thể tìm được một chỉ số i sao cho a ∈ F (ai ).
Trước hết ta nhắc lại Định lí về sự tương giao hữu hạn của các tập compact.
Định lý 1.2.1. Giả sử {Ci : i ∈ I} là một họ các tập compact, khác rỗng. Nếu
Cj = ∅ với J là tập hữu hạn trong I thì
nó có tính chất giao hữu hạn, tức là
j∈J

(iii) Liên tục tại λ0 ∈ domF nếu nó vừa nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới
tại λ0 .
14


Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc domF, thì F được gọi là liên tục ở trên Λ.
Ví dụ 1.2.6. Xét ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi
F (x) =

[−1, 1]
0

nếu x = 0,
nếu x = 0.

Ánh xạ F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x = 0 nhưng không là ánh xạ nửa
liên tục trên tại x = 0.
−1 1
Thật vậy, lấy một lân cận mở V =
,
của F (0). Khi ấy với mọi lân cận

2 2
U = (−δ1 , δ2 ) của 0 thì tồn tại x ∈ U, x = 0 sao cho F (x) = [−1, 1] ⊂ V. Do đó ánh

xạ F không là ánh xạ nửa liên tục trên tại x = 0.
Mặt khác, với mọi lân cận V sao cho F (0) ∩ V = 0. Vì F (0) = {0} nên 0 ∈ V, do
đó ta có thể coi V = (− 1 , 2 ). Chọn U = (−δ, δ) bất kì, khi ấy ta có
F (x) ∩ V = [−1, 1] ∩ (− 1 , 2 ) = {0} = ∅


15


lim infoλ→λ0 F (λ) := {x ∈ X : tồn tại các lân cận mở U của λ0 và V của x

sao cho V ⊆ F (λ), với mọi λ ∈ U, λ = λ0 };
lim supoλ→λ0 F (λ) := {x ∈ X : tồn tại lân cận mở V của x và một lưới λν
hội tụ tới λ0 sao choV ⊆ F (λν ), với mọi ν, λν = λ0 }.
Bổ đề 1.2.1. Các quan hệ sau là đúng:
(1) lim infoλ→λ0 F (λ) ⊆ lim inf λ→λ0 F (λ) ⊆ lim supλ→λ0 F (λ);

(2) lim infoλ→λ0 F (λ) ⊆ lim supoλ→λ0 F (λ) ⊆ lim supλ→λ0 F (λ);
c

(3) lim infoλ→λ0 F c (λ) = lim supλ→λ0 F (λ) ;
c

(4) lim inf λ→λ0 F c (λ) = limsupoλ→λ0 F (λ) ;

trong đó F c = X\F.
Chứng minh. Các quan hệ của (1) và (2) suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Ta chứng minh khẳng định (3). Giả sử x ∈ lim infoλ→λ0 F c (λ). Lấy U và V là
hai lân cận mở của λ0 và x thì theo định nghĩa giới hạn trên mở V ⊆ F c (λ), với
mọi λ ∈ U , λ = λ0 , nên V ∩ F (λ) = ∅, với mọi λ ∈ U . Suy ra x ∈
/ lim supλ→λ0 F (λ),
c
nên x ∈ lim supλ→λ0 F (λ) . Vì vậy
c

lim infoλ→λ0 F c (λ) ⊆ lim supλ→λ0 F (λ) .

Điều này có nghĩa là với mỗi lân cận V của x thì có V
F (λν ) với mọi λν đủ
c
gần tới λ0 . Suy ra x ∈
/ lim supoλ→λ0 F (λ), nên x ∈ limsupoλ→λ0 F (λ) . Vì vậy
c

liminfλ→λ0 F c (λ) ⊆ limsupoλ→λ0 F (λ) .

(1.8)

Giả sử x ∈
/ lim inf λ→λ0 F c (λ). Khi đó có một lưới λν hội tụ tới λ0 và một lân cận
V của x sao cho V ∩ F c (λν ) = ∅, nên V ⊆ F (λν ) với mọi ν . Suy ra
c

x∈
/ limsupoλ→λ0 F (λ) .

Vì vậy
c

liminfλ→λ0 F c (λ) ⊇ limsupoλ→λ0 F (λ) .

(1.9)

Từ (1.8) và (1.9) ta được
c

lim inf λ→λ0 F c (λ) = limsupoλ→λ0 F (λ) .

Chứng minh khẳng định (2). Giả sử F là outer-liên tục tại λ0 . Theo định
c
nghĩa ta có lim supλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ). Suy ra F c (λ0 ) ⊆ lim supλ→λ0 F (λ) . Do đó
theo (3) của Bổ đề (1.2.1) thì lim infoλ→λ0 F c (λ) ⊇ F c (λ0 ). Vậy theo định nghĩa
F c là inner-mở. Điều ngược lại tương tự.
Chứng minh khẳng định (3). Giả sử gphF là đóng. Khi đó F có giá trị đóng
(xem Nhận xét (1.2.2), Mục 1.2). Hơn nữa, F đóng thì F là outer-liên tục (Nhận
xét (1.2.4)).
Ngược lại, giả sử F là outer-liên tục và có giá trị đóng. Lấy một lưới bất kì
{(λν , xν )} ∈ gphF sao cho (λν , xν ) → λ0 , x0 . Khi đó ta có thể tìm được một lưới
con kí hiệu như kí hiệu lưới, sao cho với mọi ν hoặc là λν ≡ λ0 hoặc là λν = λ0 .
Trong trường hợp 1: λν ≡ λ0 thì xν ∈ F (λ0 ), với mọi ν . Vì xν → x0 và F có giá
trị đóng nên x0 ∈ F (λ0 ).
Trong trường hợp 2: λν = λ0 thì x0 ∈ lim supλ→λ0 F (λν ). Do F là outer-liên tục
nên lim supλ→λ0 F (λν ) ⊆ F (λ0 ). Vì vậy λ0 , x0 ∈ gphF tức là gphF đóng.
Trong trường hợp ánh xạ F có gá trị là tập mở thì F c có giá trị là tập đóng.
Áp dụng cho F c ta suy ra khẳng định (3) cho F.
Chứng minh khẳng định (4). Giả sử F là outer-liên tục tại λ0 . Theo định
nghĩa lim supλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ). Theo (2) của Bổ đề (1.2.1)thì lim supoλ→λ0 F (λ) ⊆
lim supλ→λ0 F (λ), nên limsupoλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ). Vậy theo định nghĩa F là outermở.
Cuối cùng ta chứng minh khẳng định (5). Giả sử F là inner-mở tại λ0 .
Theo định nghĩa lim infoλ→λ0 F (λ) ⊇ F (λ0 ). Theo (1) của Bổ đề (1.2.1) thì
lim infoλ→λ0 F (λ) ⊆ lim inf λ→λ0 F (λ), nên lim inf λ→λ0 F (λ) ⊇ F (λ0 ). Vậy theo định
nghĩa F là inner-liên tục.
Nhận xét 1.2.5. Ta có các nhận xét sau:
1. Nếu F là inner-liên tục thì không suy ra được F là inner-mở. Chẳng hạn như
ánh xạ đơn trị, các ánh xạ liên tục là inner-liên tục, nhưng có thể không là ánh
xạ mở.
2. Nếu F là outer-mở thì không suy ra được F là outer-liên tục. Chẳng hạn, ánh


Chứng minh. Tính chất chứa và chứa trong của giới hạn dưới và giới hạn trên
là chuẩn (xem Mệnh đề 1.2.1, [3]).
Chứng minh tính chất chứa của giới hạn trên mở
lim supoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) ⊆ lim supoλ→λ0 F (λ) ∩ lim supoλ→λ0 G(λ).

Thật vậy, giả sử x ∈ lim supoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) . Theo định nghĩa tồn tại lân cận
V của x và một lưới λν hội tụ tới λ0 sao cho V ⊆ F (λ) ∩ G(λ) với mọi ν. Suy
ra, V ⊆ F (λ) và V ⊆ G(λ), nên x ∈ lim supoλ→λ0 F (λ) và x ∈ lim supoλ→λ0 G(λ). Vì
vậy, x ∈ lim supoλ→λ0 F (λ) ∩ lim supoλ→λ0 G(λ). Ta có điều phải chứng minh. Các
trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Chứng minh công thức (1.11). Lấy x ∈ lim infoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)), nên theo
định nghĩa tồn tại một lân cận mở U của λ0 và V của x sao cho V ⊆ F (λ) ∩ G(λ).
Suy ra V ⊆ F (λ) và V ⊆ G(λ), nên x ∈ lim infoλ→λ0 F (λ) và x ∈ lim infoλ→λ0 G(λ).
Vì vậy, x ∈ lim infoλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ). Vì vậy
lim infoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) ⊆ lim infoλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ).
19

(1.14)


Lấy x ∈ lim infoλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ). Khi đó tồn tại hai lân cận mở V1 và
V2 của x và hai lân cận mở U1 và U2 của λ0 sao cho V1 ⊆ F (λ) với mọi λ ∈ U1
và V2 ⊆ G(λ) với mọi λ ∈ U2 . Xét tập V = V1 ∩ V2 và U = U1 ∩ U2 . Suy ra
V ⊆ F (λ) ∩ G(λ) với mọi λ ∈ U . Do đó x ∈ lim infoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)). Vì vậy
lim infoλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ) ⊆ lim infoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) .

(1.15)

Từ (1.14) và (1.15) suy ra
lim infoλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) = lim infoλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ).


c

c

⊆ lim supoλ→λ0 (F (λ) ∪ G(λ)) .

Giả sử x ∈ liminfλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ). Suy ra x ∈ liminfλ→λ0 F (λ) và
x ∈ lim infoλ→λ0 G(λ). Theo (3) và (4) của Bổ đề (1.2.1) ta có x ∈ lim supoλ→λ0 F c (λ)
c
và x ∈ [limsupλ→λ0 Gc (λ)]c . Do đó x ∈ lim supoλ→λ0 F c (λ) ∩ [limsupλ→λ0 Gc (λ)]c .
c
Khi ấy x ∈ lim supoλ→λ0 (F c (λ) ∪ Gc (λ)) . Theo (4) của Bổ đề (1.2.1) ta có
x ∈ liminfλ→λ0 [F c (λ) ∪ Gc (λ)]c . Vì vậy x ∈ liminfλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) . Vậy
liminfλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ) ⊆ liminfλ→λ0 (F (λ) ∩ G(λ)) .

Mệnh đề 1.2.2. Các khẳng định sau là đúng:
1. Nếu F và G là các outer-liên tục (tướng ứng, inner-mở, inner-liên tục) tại λ0
thì F ∪ G là outer-liên tục (tướng ứng, inner-mở, inner-liên tục) tại λ0 .
2. Nếu F là outer-liên tục và G là outer-mở tại λ0 thì F ∪ G là outer-mở tại λ0 .
20

c


Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh khẳng định (1). Giả sử F và G là các
outer-liên tục, theo định nghĩa ta có lim supλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ) và lim supλ→λ0 G(λ) ⊆
G(λ0 ). Suy ra
lim supλ→λ0 F (λ) ∪ lim supλ→λ0 G(λ) ⊆ F (λ0 ) ∪ G(λ0 ).



Đặc biệt,
21


(4) Nếu F và G là outer-liên tục (tương ứng, inner-mở, outer-mở) tại λ0 thì
F ∩ G là outer-liên tục (tương ứng, inner-mở, outer-mở) tại λ0 .
(5) Nếu F là inner-mở và G là inner-liên tục tại λ0 thì F ∩ G là inner-liên tục

tại λ0 .
Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh khẳng định (1). Giả sử F là outer-liên
tục tại λ0 và
[limsupλ→λ0 G(λ)] ∩ F (λ0 ) ⊆ G(λ0 ).

Theo định nghĩa outer-liên tục ta có limsupλ→λ0 F (λ) ⊆ F (λ0 ). Mặt khác, từ Bổ
đề (1.2.2) ta có
limsupλ→λ0 F (λ) ∩ G(λ) ⊆ limsupλ→λ0 F (λ) ∩ limsupλ→λ0 G(λ)
⊆ F (λ0 ) ∩ limsupλ→λ0 G(λ)
⊆ F (λ0 ) ∩ G (λ0 ) .

Vậy F ∩ G là outer-liên tục. Tính outer-mở chứng minh tương tự.
Chứng minh khẳng định (2). Giả sử F là inner-mở tại λ0 và
lim infoλ→λ0 G(λ) ⊇ G (λ0 ) ∩ F (λ0 ) .

Theo định nghĩa inner-mở lim infoF (λ) ⊇ F (λ0 ). Theo Bổ đề (1.2.2) ta có
λ→λ0

lim infoF (λ) ∩ G(λ) = lim infoF (λ) ∩ lim infoG(λ)

λ→λ0

Vậy F ∩ G là outer-liên tục tại λ0 . Tính inner-mở và outer-mở chứng minh tương
tự.
Cuối cùng ta chứng minh khẳng định (5). Giả sử F là inner-mở và G là innerliên tục. Theo định nghĩa ta có lim infoλ→λ0 F (λ) ⊇ F (λ0 ) và liminfλ→λ0 G(λ) ⊇
G(λ0 ). Theo Bổ đề (1.2.2) ta có
liminfλ→λ0 F (λ) ∩ G(λ) ⊇ liminfλ→λ0 F (λ) ∩ lim infoλ→λ0 G(λ)
⊇ F (λ0 ) ∩ G(λ0 ).

Vậy F ∩ G là inner-liên tục tại λ0 .
Nhận xét 1.2.6. Nếu F và G là ánh xạ inner-liên tục thì không nhất thiết
suy ra F ∩ G là inner-liên tục, còn nếu F và G là outer-mở thì không nhất thiết
F ∪ G là outer-mở. Chẳng hạn, xét hai ánh xạ đa trị F và G trên R xác định bởi
F (λ) =

G(λ) =

Q nếu λ = 0,
0 nếu λ = 0;
R\Q nếu λ = 0,
0
nếu λ = 0.

Khi ấy, F và G là ánh xạ outer-mở vì với mọi λ0 ta có
lim supoλ→λ0 F (λ) = ∅ ⊆ F (λ0 ) và lim supoλ→λ0 G(λ) = ∅ ⊆ G(λ0 ).

Nhưng F ∪ G không phải là ánh xạ outer-mở tại 0 vì lim supoλ→λ0 F (λ) ∪ G(λ) =
R {0} = F (0) ∪ G(0).

23

Trích đoạn Bài toán bao hàm thức biến phân Bài toán tựa cân bằng

---