Header Page 1 of 128.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

TRẦN THỊ CHIÊN

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA
BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2014

luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 1 of 128.


Header Page 2 of 128.

Mục lục
Mở đầu

2

. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
bất động của
. . . . . . . .
. . . . . . . .

2 Bài toán quan hệ biến phân
2.1 Phát biểu bài toán và một số ví dụ . . . . . . . . .
2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân
2.2.1 Định lí cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tiêu chuẩn dựa trên sự tương giao . . . . .
2.2.3 Tiêu chuẩn dựa trên điểm bất động . . . .

.
.
.
.
.

3 Tính chất tôpô của tập nghiệm của bài toán quan
3.1 Tính lồi của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tính bị chặn của tập nghiệm . . . . . . . . . . . .
3.3 Tính đóng của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Tính ổn định của tập nghiệm . . . . . . . . . . . .
3.5 Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Bài toán bao hàm thức biến phân . . . . .
3.5.2 Bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
6
10
10

. 14
. 14

.
.
.
.
.

24
24
28
28
30
35

biến phân
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


Header Page 3 of 128.

Mở đầu
Lý thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng kinh tế, lý thuyết giá
trị của Edgeworth từ năm 1881 và Pareto từ năm 1886. Cho tới những năm
cuối thế kỉ XX lý thuyết tối ưu trở thành một ngành toán học quan trọng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học, kĩ thuật và kinh tế cũng như
trong thực tế.
Trong xu thế phát triển chung của lý thuyết tối ưu và áp dụng lý thuyết cân

là trình bày về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân dựa trên tính
chất tương giao KKM và các định lí về điểm bất động.
Chương 3. Tính chất tôpô của tập nghiệm. Chương này trình bày một
số tính chất tôpô của tập nghiệm như tính lồi, tính bị chặn, tính đóng và tính
ổn định nghiệm của bài toán quan hệ biến phân có tham số.
Luận văn này cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minh
được cụ thể và chi tiết hơn) về sự tồn tại nghiệm và các tính chất của tập nghiệm
của bài toán quan hệ biến phân được đề cập trong các bài báo [4, 5].

3

luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 4 of 128.


Header Page 5 of 128.

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS.
Tạ Duy Phượng. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp
các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham
gia giảng dạy khóa cao học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao
dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tập X với metric d trang bị trên X được gọi là không gian metric, kí hiệu là
(X, d) hay thường được viết là X. Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử
x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm.
Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric.
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là hai không gian metric, một điểm x ∈ X và A là
một tập con của X . Khoảng cách từ điểm x đến tập A được xác định bởi
d(x, A) = inf d(x, a).
a∈A

Định nghĩa 1.1.3. (Khoảng cách Hausdorff) Cho X và Y là hai không gian
metric, một điểm x ∈ X và A, B lần lượt là các tập con trong X , Y . Khoảng

5

luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 6 of 128.


Header Page 7 of 128.

cách Hausdorff từ tập A đến tập B được xác định bởi
dH (A, B) = max sup inf d(a, b), sup inf d(a, b) ,
a∈A b∈B

b∈B a∈A

hay
dH (A, B) = max sup d(a, B), sup d(b, A) .
a∈A

b∈B

Không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 1.1.7. (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅. Một họ τ các tập con
của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
(i) ∅, X ∈ τ ;
6

luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 7 of 128.


Header Page 8 of 128.

(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ ;
(iii) Hợp của một số tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ .
Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô.
Định nghĩa 1.1.8. Cho hai tôpô τ1 và τ2 . Ta nói τ1 yếu hơn τ2 (hay τ2 mạnh
hơn τ1 ) nếu τ1 ⊂ τ2 , nghĩa là mọi tập mở trong tôpô τ1 đều là tập mở trong τ2 .
Định nghĩa 1.1.9. Cho (X, τ ) là không gian tôpô.
• Tập G được gọi là tập mở trong X nếu G ∈ τ.
• Tập F được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ.

Định nghĩa 1.1.10. Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A là tập con của X . Tập
U được gọi là một lân cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa A. Khi
A = {x} thì U là một lân cận của điểm x.
Định nghĩa 1.1.11. Một họ V = V : V là lân cận của điểm x ∈ X được gọi
là cơ sở lân cận của điểm x nếu với mọi lân cận U của điểm x, tồn tại lân cận
V ∈ V sao cho x ∈ V ⊂ U.
Định nghĩa 1.1.12. Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một tập con bất kì của
X . Đối với mỗi phần tử bất kì x ∈ X ta gọi:
(i) x là điểm trong của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong A.

được thỏa mãn:
1. Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:
Với mọi u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w;
2. Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán:
Với mọi v, w ∈ V : v + w = w + v;
3. Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa:
Với mọi v ∈ V, có một phần tử 0 ∈ V, gọi là véctơ không: v + 0 = v;
4. Phép cộng véctơ có phần tử đối:
Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V : v + w = 0;
5. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ:
Với mọi α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw;
6. Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng:
Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv;
7. Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường các số vô
hướng: Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v;
8. Phần tử đơn vị của trường F có tính chất của phần tử đơn vị với phép
nhân vô hướng: Với mọi v ∈ V : 1.v = v.1.
Định nghĩa 1.1.18. Cho X là không gian véctơ. Tập C ⊆ X được gọi là tập
lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x + λy ∈ C (hay nói cách
khác C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó).
Định nghĩa 1.1.19. Cho X là không gian véctơ, x1 , x2 , ..., xk ∈ X và các số
k

λ1 , λ2 , ..., λk thỏa mãn λj ≥ 0, j = 1, 2..., k và

k

λj = 1. Khi đó, x =
j=1


là một không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính).
Định nghĩa 1.1.23. Một không gian véctơ tôpô X được gọi là không gian véctơ
tôpô lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) chỉ gồm các tập
lồi.
Định nghĩa 1.1.24. Cho X là không gian tôpô lồi địa phương và tập C ⊆ X.
Ta nói véctơ d là một phương lùi xa của C nếu x + λd ∈ C với mọi x ∈ C, λ > 0.
Tập tất cả các phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa của C và được kí hiệu
là o+ (C). Vậy, o+ (C) = {λ ∈ X : x + λd ∈ C} với mọi x ∈ C, λ > 0.
Định nghĩa 1.1.25. Cho tập I khác rỗng được gọi là định hướng nếu trên nó
xác định một quan hệ ” ≥ ” thỏa mãn các tính chất sau:
(i)) Với mọi m, n, p ∈ I sao cho: m ≥ n, n ≥ p thì m ≥ p;
(ii) Nếu m ∈ I thì m ≥ m;
9

luan van thac si - luan van kinh te - khoa luan - tai lieu -Footer Page 10 of 128.


Header Page 11 of 128.

Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu Tiếng Việt
[1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà
Nội.
[2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự
nhiên và Công nghệ.
[B] Tài liệu Tiếng Anh
[3] J. P. Aubin and H. Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Springer, New
York.
[4] P. Q. Khanh and D. T. Luc (2008), Stability of Solutions in Parametric
Variational Relation Problems, Set-Valued Anal, 16, 1015-1035.