ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
_______________________

VŨ HỮU NHỰ

ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ
VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU
CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
_______________________

VŨ HỮU NHỰ

ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ
VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU
CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự
nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phòng Sau đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học và
tập thể các thầy cô giáo tại trường Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội
đã luôn quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và có những ý kiến đóng góp
quý báu cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Xin bày tỏ lòng biết ơn
đến Ban Lãnh đạo trường Học viện Quản lý giáo dục, Ban Lãnh đạo trường Học
viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp ở
Khoa Công nghệ thông tin – Học viện Quản lý giáo dục và Khoa Cơ bản 1 – Học
viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông đã luôn động viên giúp đỡ tác giả trong
quá trình học tập, nghiên cứu.
Nhờ những ý kiến nhận xét và góp ý quý báu của GS.TSKH. Nguyễn Văn
Mậu, GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh, GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát, GS.TSKH. Lê Dũng
Mưu, GS.TSKH. Nguyễn Đông Yên, PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh, PGS.TS. Cung
Thế Anh, PGS.TS. Phạm Ngọc Anh, PGS.TS. Nguyễn Quang Huy và TS. Lê Huy
Chuẩn – các Thầy trong Hội đồng chấm luận án cấp cơ sở và Hội đồng chấm luận
án cấp Đại học Quốc gia, bản luận án này đã được cải thiện đáng kể so với bản
dự thảo luận án ban đầu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy trong Hội đồng
chấm luận án cấp cơ sở về những chỉ dẫn quan trọng.
1


Xin chân thành cám ơn GS.TSKH. Hoàng Xuân Phú, GS.TSKH. Nguyễn Đông
Yên, PGS.TS. Tạ Duy Phượng, PGS.TS. Phan Thành An, TS. Nguyễn Quỳnh Nga,
các thầy cô và các bạn đồng nghiệp đã góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian
tác giả tham dự Xêmina tại Phòng Giải tích số và Tính toán khoa học tại Viện
Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy phản biện độc lập về
những nhận xét quý báu, nhờ đó mà bản thảo lần này đã có những cải thiện đáng
kể.
Cuối cùng, xin cám ơn các bạn nghiên cứu sinh và gia đình, bạn bè đã chia sẻ,

1.2.1 Tập tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Nguyên lý biến phân . . . . . . . . . .
1.2.4 Hàm khả vi và tính đơn điệu . . . . .
1.2.5 Một số kết quả về hình học Banach . .
1.3 Giải tích lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Bài toán quy hoạch lồi . . . . . . . . .
1.3.3 Định lý tách các tập lồi . . . . . . . . .
1.4 Không gian Sobolev và phương trình elliptic
1.4.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . .
1.4.2 Phương trình elliptic tuyến tính . . . .
1.4.3 Phương trình elliptic nửa tuyến tính .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

32
32
32
41
44

46
46
46
51


2.2
2.3
2.4
2.5

Bài toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn
hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chứng minh Định lý 2.7 và Hệ quả 2.2 . . . . . . . . . . . . . . .
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

69
76

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

158

Tài liệu tham khảo

159

4


CÁC KÝ HIỆU
F:X⇒Y

ánh xạ đa trị từ X vào Y

Dom( F ), Graph( F ), Im( F )

miền hữu hiệu, đồ thị, miền ảnh
của ánh xạ đa trị F

R

tập số thực

RN

không gian Euclide N −chiều

N


môđun của véc tơ x ∈ R N

xT

chuyển vị của véc tơ x ∈ R N

[ x1 , x2 ]

đoạn nối hai véc tơ x1 và x2

∅

tập rỗng

x∈A

phần tử x thuộc tập A

x∈
/A

phần tử x không thuộc tập A

A ⊂ B( B ⊃ A)

tập A là con của tập B

A


hình cầu đơn vị đóng trong không gian X

BX ( x, ρ)

hình cầu đóng tâm x với bán kính ρ trong X

d( x, K )

khoảng cách từ x tới tập K
5


∂BX ( x, ρ)

biên của hình cầu tâm x bán kính ρ trong X

SX

mặt cầu đơn vị trong không gian X

T∗

toán tử liên hợp của toán tử T

T −1

ánh xạ ngược của ánh xạ T

T (K, x )



hàm giá của tập K

( X, d)

không gian mêtric

L( X, Y )

không gian tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục
từ X vào Y

f ,∇f

đạo hàm của ánh xạ f

f , ∇2 f

đạo hàm bậc hai của ánh xạ f

∇ x f , ∇2xy f

đạo hàm bậc 1, 2 của f theo biến x và x, y

A, cl( A)

bao đóng của tập A

int( A)



dãy { xn∗ } hội tụ yếu−∗ tới x ∗

x

dãy { xn } hội tụ tới x và xn ∈ K

f : X → [−∞, +∞]

hàm thực mở rộng

dom( f )

miền hữu hiệu của hàm f

6


epi( f )

epigraph của hàm f

∂ f (x)

dưới vi phân của hàm f tại x

supp( ϕ)

tập giá của hàm ϕ



C0∞ (Ω), D(Ω)

không gian các hàm khả vi vô hạn lần
với giá compact trong Ω

D (Ω)

không gian đối ngẫu tôpô của D(Ω)

L p ( Ω ), 1 ≤ p < ∞

không gian các hàm p−khả tích trên tập Ω

L1loc (Ω)

không gian các hàm khả tích địa phương trên Ω

L∞ (Ω)


W m,p (Ω), W m,p (Ω),

không gian các hàm bị chặn hầu khắp nơi trên Ω

0


 H m ( Ω ), H m ( Ω )



A := B

A được định nghĩa bằng B

∃x

tồn tại x

∀x

với mọi x

h.k.

hầu khắp

tr. 5

trang 5

✷

kết thúc chứng minh

7

(Ω)





Qua khảo sát các công trình nghiên cứu gần đây chúng tôi thấy rằng có một
lớp các bài toán cũng như các câu hỏi mở vẫn chưa được giải quyết. Cụ thể là,
điều kiện cần cực trị bậc hai và tính ổn định nghiệm cho các bài toán điều khiển tối
ưu với phương trình đạo hàm riêng elliptic với ràng buộc trạng thái từng điểm
(pointwise pure state constraint) và ràng buộc hỗn hợp điều khiển - trạng thái
từng điểm (pointwise mixed control-state constraint) chưa được thiết lập.
Với các lý do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu "Điều kiện cần cực
trị và tính ổn định nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu cho một lớp phương
trình elliptic" cho luận án này.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là đưa ra một số kết quả mới về điều kiện cần cực trị bậc
hai và tính ổn định nghiệm cho các bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương
trình đạo hàm riêng elliptic với ràng buộc trạng thái từng điểm và ràng buộc hỗn
hợp trạng thái-điều khiển từng điểm.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu. Luận án nghiên cứu các bài toán điều khiển tối
ưu được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic với ràng buộc từng điểm,
trong đó:
- nghiên cứu điều kiện cần cực trị bậc hai cho một lớp các bài toán điều khiển tối
ưu elliptic với tập ràng buộc phi tuyến,
- nghiên cứu tính ổn định nghiệm của một số bài toán điều khiển tối ưu elliptic
chứa tham số với tập ràng buộc tuyến tính và hàm mục tiêu lồi.
3.2. Phạm vi nghiên cứu. Luận án tập trung nghiên cứu các lớp bài toán sau:
- bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic
nửa tuyến tính với các ràng buộc phi tuyến từng điểm;
- bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số với phương trình trạng thái là
phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính, các ràng buộc hỗn hợp điều khiển
- trạng thái là tuyến tính và hàm mục tiêu là lồi.


ở đó Y ∗ là không gian đối ngẫu tôpô của Y, là hàm Lagrange của bài toán ( P). Ta
gọi λ ∈ Y ∗ là nhân tử Lagrange của bài toán ( P) tại điểm x0 nếu điều kiện sau
được thỏa mãn

− ∇ x L( x0 , λ) ∈ N ( Q, x0 ),

λ ∈ N (K, G ( x0 )),

(0.3)

ở đó ký hiệu N ( A, x ) là nón pháp tuyến của A tại x. Ký hiệu Λ( x0 ) là tập tất cả
các nhân tử Lagrange của bài toán ( P) tại x0 (xem [10, Định nghĩa 3.8, tr. 150]). Ta
gọi điều kiện (0.3) là điều kiện cần cực trị bậc 1. Tiếp theo chúng ta trình bày một
số kết quả liên quan tới điều kiện cần cực trị cho bài toán ( P).
Định lý 0.1. (Xem [10, Định lý 3.9, tr. 151]). Giả sử x0 là nghiệm tối ưu địa phương
của bài toán ( P) và các hàm f , G thuộc lớp C1 . Hơn nữa, điều kiện chính quy ràng buộc
Robinson sau được thỏa mãn
0 ∈ int { G ( x0 ) + ∇ G ( x0 )( Q − x0 ) − K } .
Khi đó tập Λ( x0 ) khác rỗng, lồi, bị chặn và compact yếu* trong Y ∗ .
Ta gọi tập
C ( x0 ) := { h ∈ T ( Q, x0 ) : ∇ G ( x0 )h ∈ T (K, G ( x0 )), ∇ f ( x0 )h ≤ 0} ,
10

(0.4)


ở đó ký hiệu T ( M, x ) là nón tiếp tuyến Bouligand của M tại x, là nón tới hạn của
bài toán ( P) tại x0 .
Định lý 0.2 (điều kiện cần cực trị bậc hai). (Xem [10, Định lý 3.45, tr. 175]). Giả


hầu khắp (h.k.) x ∈ Ω,

(0.5)

ở đó a, b ∈ L∞ (Ω). Trong [19], Casas và Mateos đã đưa ra điều kiện cực trị bậc
hai cho bài toán điều khiển tối ưu elliptic với ràng buộc đẳng thức và bất đẳng
11


thức của biến trạng thái. Casas và Troltzsch
đã khảo sát điều kiện cực trị bậc hai
¨
cho bài toán điều khiển tối ưu elliptic với ràng buộc điều khiển (0.5). Vấn đề được
đặt ra tiếp theo là: nghiên cứu điều kiện cần cực trị bậc hai cho lớp các bài toán điều
khiển tối ưu elliptic với ràng buộc hỗn hợp điều khiển-trạng thái từng điểm và ràng buộc
trạng thái từng điểm. Luận án này đã giải quyết vấn đề vừa nêu trên.
Nghiên cứu tính ổn định nghiệm là khảo sát các tính chất liên tục của ánh xạ
nghiệm theo tham số của bài toán chứa tham số, như tính nửa liên tục trên, tính
nửa liên tục dưới, tính liên tục Holder,
tính liên tục Lipschitz,.... Việc nghiên cứu
¨
dáng điệu của ánh xạ nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu được bởi phương
trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng khi tham số biến thiên đã
được nhiều tác giả quan tâm (xem [5, 34, 38, 52, 56]). Như chúng ta đã biết, nếu
hàm mục tiêu là lồi mạnh với mỗi giá trị của tham số thì ánh xạ nghiệm là đơn
trị. Trong trường hợp này, [5, 34, 38, 56] đã chỉ ra rằng ánh xạ nghiệm là liên tục
Lipschitz theo tham số. Chú ý rằng, các kết quả đạt được trong tài liệu [56] được
thiết lập cho các bài toán điều khiển tối ưu elliptic chứa tham số với ràng buộc
điều khiển, không có ràng buộc trạng thái. Trong khi đó, [38] xét các bài toán với

là cơ sở cho việc khảo sát những kết quả chính được trình bày ở các chương sau
của luận án.
Chương 2 nghiên cứu điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu
được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc
hỗn hợp điều khiển-trạng thái từng điểm. Mục 2.1 nghiên cứu điều kiện cần cực
trị cho bài toán quy hoạch toán học. Mục 2.2 dành cho việc trình các kết quả
chính của chương này về điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu
được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc
hỗn hợp điều khiển-trạng thái từng điểm. Các chứng minh của các kết quả chính
của chương này được trình bày trong mục 2.3. Một số ví dụ áp dụng được trình
bày trong mục 2.4. Kết luận của chương này được trình bày trong mục 2.5.
Chương 3 khảo sát điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu được
cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng
thái từng điểm. Mục 3.1 thiết lập các điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển
tối ưu tổng quát. Mục 3.2 trình bày điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển
tối ưu được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với ràng
buộc trạng thái từng điểm. Mục 3.3 đưa ra một số kết luận của chương này.
Chương 4 nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu
được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính chứa tham số. Mục
4.1 đưa ra điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm là liên tục Holder
theo tham số. Mục
¨
13


4.2 trình bày các điều kiện đủ đảm bảo ánh xạ nghiệm là nửa liên tục dưới theo
tham số. Cuối cùng, mục 4.3 trình bày kết luận của Chương 4.
Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại:
- Xêmina bộ môn Giải tích, xêmina bộ môn Toán học tính toán và Toán ứng
dụng, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học

và trong các bài toán liên quan tới lý thuyết trò chơi.
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản và các tính
chất chính liên quan tới tính liên tục của ánh xạ đa trị.
Cho X và Y là hai tập bất kỳ. Ánh xạ đa trị F từ X vào Y là ánh xạ từ tập X vào
tập các tập con của Y, và thường được ký hiệu là F : X ⇒ Y. Với mỗi x ∈ X, tập
hợp F ( x ) được gọi là ảnh của F tại x.
Định nghĩa 1.1. (Xem [7, Định nghĩa 1.3.1, tr. 34] và [3, Định nghĩa 1.1.1, tr. 10]).
Cho X, Y là hai không gian tôpô và một ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y. Ta gọi các tập
Graph( F ) := {( x, y) ∈ X × Y | y ∈ F ( x )},
Dom( F ) := { x ∈ X | F ( x ) = ∅}

và Im( F ) :=

F(x)
x∈X

15


lần lượt là đồ thị, miền hữu hiệu và miền ảnh của F.
Ánh xạ nghịch đảo F −1 : Y ⇒ X của F được cho bởi: với mỗi y ∈ Y,
F −1 (y) := { x ∈ X | y ∈ F ( x )}.
Ánh xạ đa trị F được gọi là không tầm thường nếu Dom( F ) = ∅.
Nếu K là tập con của X, thì hạn chế của F trên K là ánh xạ đa trị F |K : K ⇒ Y được
cho bởi
F |K ( x ) = F ( x )

∀ x ∈ K.

Định nghĩa 1.2. (Xem [3, Định nghĩa 1.1.2, tr. 11] và [7, tr. 34]). Cho X và Y là các

cho F ( x0 ) ∩ V = ∅ tồn tại lân cận U của x0 thỏa mãn
F(x) ∩ V = ∅

với mọi x ∈ U ∩ Dom( F ).

Ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi
điểm x ∈ Dom( F ).
Trong trường hợp X và Y là các không gian mêtric, ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là
nửa liên tục dưới tại x ∈ Dom( F ) nếu và chỉ nếu với mọi y ∈ F ( x ) và với mọi dãy

{ xn } ⊂ Dom( F ), xn → x, tồn tại dãy {yn } ⊂ Y, yn ∈ F ( xn ) sao cho yn → y.
Định nghĩa 1.5. (Xem [3, Định nghĩa 1.2.3, tr. 20], [7, Định nghĩa 1.4.3, tr. 40]
và [6, Định nghĩa 3, tr. 109]). Ta nói ánh xạ đa trị F từ không gian tôpô X vào
không gian tôpô Y là liên tục tại x0 ∈ Dom( F ) nếu F đồng thời là nửa liên tục trên
và nửa liên tục dưới tại x0 . Nếu F là liên tục tại mọi điểm x ∈ Dom( F ), thì ta nói
F là liên tục.
Trường hợp F : X → Y là ánh xạ đơn trị, các khái niệm nửa liên tục trên, nửa
liên tục dưới và liên tục là trùng nhau. Theo Aubin và Frankowska (xem [7]), các
khái niệm về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị được
giới thiệu bởi Bouligand và Kuratowski năm 1932. Hai khái niệm này là các sự
mở rộng của khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục.
Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày khái niệm ánh xạ liên tục Lipschitz, một lớp
quan trọng trong các ánh xạ đa trị liên tục.
Định nghĩa 1.6. (Xem [3, Định nghĩa 1.5.1, tr. 45 và Định nghĩa 1.5.4, tr. 46] và [7,
Định nghĩa 1.4.5, tr. 41]). Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y giữa các không gian định chuẩn
X và Y được gọi là Lipschitz địa phương tại (hoặc ở quanh) điểm x ∈ X nếu tồn tại
một lân cận U ⊂ Dom( F ) của x và một số dương l sao cho
F ( x 1 ) ⊂ F ( x 2 ) + l x 1 − x 2 BY

với mọi x1 , x2 ∈ U.


(i ) F là chính quy mêtric tại ( x0 , y0 );
(ii ) F −1 là giả-Lipschitz quanh điểm (y0 , x0 ).

1.2
1.2.1

Giải tích biến phân
Tập tiếp tuyến

Mục này trình bày các khái niệm và tính chất liên quan tới tập tiếp tuyến bậc 1,
bậc 2 của một tập con trong một không gian định chuẩn. Trước tiên, chúng ta
trình bày khái niệm nón tiếp tuyến Bouligand và các tính chất liên quan.
18


Định nghĩa 1.8. (Xem [3, Định nghĩa 2.2.1, tr. 54] và [7, Định nghĩa 4.1.1, tr. 121]).
Cho K ⊂ X là một tập con trong không gian định chuẩn X và một điểm x ∈ K.
Nón tiếp tuyến Bouligand của tập K tại x, được ký hiệu là T (K, x ), được cho bởi
T (K, x ) :=

v ∈ X | lim inf
t →0+

d( x + tv, K )
=0 .
t

Từ Định nghĩa 1.8, dễ thấy T (K, x ) là nón đóng và T (K, x ) ⊂ cone(K − x ).
Ở đó ký hiệu cone( A) := {λa | λ ≥ 0, a ∈ A} là nón sinh bởi tập A. Hơn nữa,

d( x + tv, K )
=0 .
t


Nón tiếp tuyến Clarke của tập K tại x, được ký hiệu bởi TC (K, x ), được cho bởi








d( x + tv, K )
=0 .
TC (K, x ) := v ∈ X | lim


t
t →0+




K
x−
→x
K



20


Mệnh đề 1.3. (Xem [7, Mệnh đề 4.2.1, tr. 138]). Giả sử K là tập lồi, khi đó nón tiếp
tuyến Bouligand T (K, x ) là tập lồi. Hơn nữa, ta luôn có
TC (K, x ) = T (K, x ) = T (K, x ) = cone(K − x ).
Các khái niệm nón tiếp tuyến có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu
các điều kiện cần cực trị bậc 1 của bài toán tối ưu có ràng buộc. Để nhận được các
điều kiện cần cực trị bậc 2 của bài toán tối ưu có ràng buộc, chúng ta cần nghiên
cứu các khái niệm liên quan tới các tập tiếp tuyến bậc 2. Trước khi xem xét các
khái niệm về tập tiếp tuyến bậc 2, chúng ta sẽ trình bày các khái niệm về giới hạn
Painlevé-Kuratowski của họ các tập hợp.
Định nghĩa 1.10. (Xem [3, Định nghĩa 2.2.5, tr. 63] và [7, Định nghĩa 1.1.1, tr. 17]).
Cho (Kt )t∈T là họ các tập hợp phụ thuộc tham số t ∈ T, T là không gian mêtric
và Kt ⊂ X với mọi t ∈ T, X là không gian định chuẩn. Giả sử t0 ∈ T. Tập hợp
LimsupKt := { x ∈ X | lim inf d( x, Kt ) = 0}
t → t0

t → t0

được gọi là giới hạn trên theo Painlevé-Kuratowski của họ (Kt ) khi t → t0 .
Tập hợp
LiminfKt := { x ∈ X | lim d( x, Kt ) = 0}
t → t0

t → t0

được gọi là giới hạn dưới theo Painlevé-Kuratowski của họ (Kt ) khi t → t0 .
Định nghĩa 1.11. (Xem [7, Định nghĩa 4.7.1 và 4.7.2, tr. 171]). Cho K là tập con



Từ định nghĩa trên, chúng ta thấy rằng các tập T 2 (K, x, v), T 2 (K, x, v) và TC2 (K, x, v)
là các tập đóng, hơn nữa các đẳng thức sau luôn đúng
T 2 (K, x, 0) = T (K, x ),

T 2 (K, x, 0) = T (K, x ),

TC2 (K, x, 0) = TC (K, x ).

Khi K là tập con đóng trong không gian L p (Ω) (xem định nghĩa trong mục
1.4), ta có kết quả sau.
Định lý 1.2. (Xem [7, Định lý 8.5.1, tr. 324]). Cho K là tập con của không gian L p (Ω)
sao cho tập M ( x ) := {u( x ) | u ∈ K } là tập đo được và đóng trong R với h.k. x ∈ Ω.
Khi đó, với u0 ∈ K,
v ∈ L p (Ω) | v( x ) ∈ T ( M ( x ), u0 ( x )) h.k. x ∈ Ω

⊂ T (K, u0 ) ⊂ T (K, u0 )
⊂ {v ∈ L p (Ω) | v( x ) ∈ T ( M( x ), u0 ( x )) h.k. x ∈ Ω} .
Dưới đây là một hệ quả của Định lý 1.2 được áp dụng cho trường hợp K là
tập con đóng và lồi trong không gian L p (Ω). Kết quả này cho chúng ta công thức
hiện tính nón tiếp tuyến của tập K tại u ∈ K.
Hệ quả 1.1. Cho K := {u ∈ L p (Ω) | a( x ) ≤ u( x ) ≤ b( x ) h.k. x ∈ Ω}, với
a, b ∈ L p (Ω) và u0 ∈ K. Khi đó
T (K, u0 ) = T (K, u0 )

= v ∈ L p (Ω) | v( x ) ∈ T ([ a( x ), b( x )], u0 ( x )) h.k. x ∈ Ω .

1.2.2