MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………1
1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………………………………………..1
1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………………...1
1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………………..1
1.4. phương pháp nghiên cứu………………………………………………………….2
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm..........................................................2
2. NỘI DUNG…………………………………………………………………………3
2.1. Cơ sở lí luận………………………………………………………………………3
2.2. Thực trạng của đề tài……………………………………………………………...3
2.3. Các giải pháp thực hiện…………………………………………………………...3
2.3.1. Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp phân tích …………….......4
2.3.2. Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp đổi biến số……………......5
2.3.3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần……………………… ..6
2.3.4. Xác định tích phân bằng phương pháp dựng nguyên hàm phụ……………........7
2.3.5. Xác định tích phân của các hàm số lượng giác…………………………………8
2.3.6. Tích phân các hàm số hữu tỉ …………………………………………………....9
2.3.7.Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối……………………….....10
2.3.8.Một số tích phân đặc biệt ...................................................................................11
2.3.9.Một số bài tập trắc nghiệm..................................................................................11
3.KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ ………………………………………………………..14
3.1. Kết luận………………………………………………………………………….14
3.2. Kiến nghị………………………………………………………………………...14
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………15
DANH MỤC…………………………………………………………………………15

0


1. MỞ ĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài.

1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1


Trong chương trình giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân chiếm
một phần rất quan trọng. Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa
nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương pháp và kỹ
thuật giải từng dạng cho học sinh. Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một
hướng nhất định nào đó. Do đó các bài toán về nguyên hàm tích phân chưa khai
thác được hết cách giải. Qua quá trình giảng dạy học tập, tìm hiểu sách vở và đặc
biệt mạng internet tôi nhận thấy việc dạy cho học sinh giải một cách nhanh nhất
một bài toán là rất cần kiến để phù hợp với việc giải toán cho các kỳ thi đặc biệt là
kỳ thi THPT Quốc gia rất cấp bách như hiện nay.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
Khi tôi được phân công dạy môn Toán khối 12 tôi nhận thấy nếu cứ dạy theo sách
giáo khoa học sinh rất mơ hồ, không nhận dạng được các bài toán để giải quyết nhanh
được. Từ đó tôi đã có suy nghĩ là làm cách nào để các em có thể giải quyết nhanh các
bài toán nguyên hàm, tích phân. Trong quá trình giảng dạy tôi đã tích lũy được
đề tài “Giúp học sinh giải nhanh các bài toán nguyên hàm, tích phân dạng trắc
nghiệm”
2. NỘI DUNG.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Dựa vào định nghĩa tích phân. Các tính chất của tích phân. Các phương pháp tính
tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích.
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh ngiêm.
Học sinh chỉ biết vận dụng định nghĩa, định lí một cách máy móc mà không phân loại
được thành từng dạng.
2.3. Các giải pháp thực hiện
2.3.1. Xác định nguyên hàm tích phân bằng phương pháp phân tích .
Phương pháp chung:

I 
1 ex

.

Giải: Sử dụng đồng nhất thức:
1 = (1 + ex) – ex.
Ta được:





1
1 ex  ex
ex


1

1 ex
1 ex
1 ex

ex 
d 1 ex

 I  1 
dx


[1]

Nhận xét :
- Nếu học sinh không biết cách phân tích đưa về dạng đã gặp thì bài toán này rất khó
giải quyết.
- Ở ví dụ 2 ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức.
1
a
b


x  5x  6 x  3 x  2
2

- Nếu bậc của tử cao hơn bậc của mẫu thì ta có thể chia tử cho mẫu trước rồi mới thực
hiện đồng nhất thức .
Ví dụ 3: Giả sử


4

sin 3x.sin 2 xdx (a  b)
0

A.



1
6

Như vậy: Nếu ta gặp hàm lượng giác ở dạng tích thì cách làm nhanh nhất thường
là biến đổi tích thành tổng.
2.3.2. Xác định nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân.
Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm và dựa vào định lí sau.
Định lý1:
3


a.Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm thì:
f(u)du = F(u) + C.
b. Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = (t) trong đó (t) cùng với đạo hàm
’(t) là những hàm số liên tục, ta được:
f(x)dx = f[(t)].’(t)dt.
Định lý 2:
a. Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm trên [a,b] thì:
 (b)

 (b)

f (u )du F (u )

 (a)

.
 (a)

b. Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x = (t) xác
định và liên tục trên đoạn [, ] và thoả mãn các điều kiện sau:
(i). Tồn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn [, ].




 x  a cos t ,  0 t  

a
   

,t  
, , t 0
x 
sin t
 2 2 


a

x 
, t   0,   , t 
cos t
2


ax a x
,
a x ax

x a cos 2t

 x  a  b  x 


Giải: Đổi biến số:
t  x 2  1  t 2 x 2  1  tdt  xdx

Ta có:
dx
xdx
I 

2
2
x x 1
x
x 2 1
tdt
dt
1  1
1 
 2
 2
 

 dt
t  1t
t  1 2  t  1 t 1 






x

x  3  t 2
x  8  t 3

Khi đó:
dx
2

x x 1



tdt
x

2

2

x 1





tdt
dt
1 1
1 

[2]
5


2.3.3. Tínhnguyên hàm, tích phân bằng phương pháp từng phần.
Khi gặp các dạng sau thì ta dùng phương pháp tích phân từng phần
Dạng 1: P(x)axdx, P(x)sin(ax +b)dx, P(x)cos(ax + b)dx
đặt: u = P(x)
Dạng 2 : P(x)logaxdx
Đặt u = loga x
Dạng 3: eaxsinbxdx, eaxcosbxdx
nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = eax hoặc u = sinbx ;
u = cosbx
Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của phương pháp
này:
x ln( x  x 2  1)
I 
dx.
x2 1

Ví dụ1 : Tinh tích phân :

2
Giải: Ta viết lại I dưới dạng: I  ln( x  x  1)

x
x2 1

dx.



B. 247

C. 245

D. 246

- Như vậy khi gặp dạng tích phân này ta tính như thế nào?
- Cũng dùng tích phân từng phần nhưng để tính nhanh ta làm như sau :
F(x) = f(x)ex - f’(x)ex + f”(x)ex - f’’’(x)ex sau đó ta cộng tổng các bình phương của
các hệ số và chọn đáp án đúng.
Nhận xét: Nếu ta dùng tích phân từng phần thì rất rắc rối và dài dòng và dẫn
đến thời gian làm bài rất lâu, nên trong quá trình giảng bài tôi đưa ra cách tính nhanh
như vậy để có kết quả nhanh trong quá trình làm bài trắc nghiệm.
6


2.3.4. Xác định nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp dựng nguyên hàm phụ.
Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật dựng hàm phụ
xuất phát từ ý tưởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các
hàm số f(x)  g(x) dễ xác định hơn, từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).Để
xác định nguyên hàm của hàm số f(x) theo phương pháp này, ta tiến hành thực hiện
theo các bước sau:
- Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x).
- Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x), tức là:

 F ( x)  G ( x)  A( x)  C

 F ( x )  G ( x ) B ( x )  C '
- Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được: F(x) =

b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm số lượng giác.
c ) Sử dụng phương pháp biến đổi các công thức lượng giác.
d) Phương pháp đổi biến.
I = R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách đổi biến lựa chọn một trong các
hướng sau:
-Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = cosx.
-Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) đổi biến t = sinx.
7


-Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) đổi biến t = tgx.
-Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi
x
.
2
e) Phương pháp tích phân từng phần.
f) Sử dụng nguyên hàm phụ.

biến t = tg

0

sin 2 x

dx.
2
Tính: I  
  2  sin x 

Ví dụ 1 :


f ' (1) = 2 ;

f (x)dx  4
�
0

2
�
A
�

A. �
�
B2
�

B.

� 2
A
�
� 
�
B  2
�


�
A



[6]

2.3.6. Tích nguyên hàm, phân các hàm số hữu tỉ.
Để xác định cách tính tích phân hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các
phương pháp cơ bản sau:
a) Phương pháp tam thức bậc hai.
8


b) Phương pháp phân tích.
c) Phương pháp đổi biến.
d) Phương pháp tích phân từng phần.
e) Sử dụng các phương pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dựng công thức đổi biến
số với kĩ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích phân từng phần.
Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào dạng của từng
bài toán cụ thể.
1

dx
.
Tính tích phân: I  4
2
0 x  4x  3

Ví dụ 1:
Giải:

Biến đổi:

1

dx 


2

x

3
0


.
1

+) Ta đi xác định tích phân


t 
2;
Đặt x = tgt, 2

dx
I 1  2
0 x 1

.







I 1  dt t 04 
0


4

.
1

+) Ta đi xác định tích phân
Đặt x = 3 tgt,

dx
I 2  2
.
x 3
0



t  ;
2
2
9



1


6

dt 
3
0

1
3

t


6



0

 .
6 3

Từ đó ta có:

1 
 
 
.


Ví dụ : Tính tích phân: I  x x  a dx (a > 0).
0

Giải:
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu a  1, khi đó ta có:
1

1

 x 3 ax 2
a 1
I  x( x  a )dx 

  .
3
2 0 2 3
0

Trường hợp 2: Nếu 0 < a < 1, khi đó ta có:
10


a

1

I  x( x  a)dx  x( x  a )dx
0


f ( x)dx 0



4

Ví dụ 1 :

tan





5

xdx = 0

4


Nếu hàm số y = f(x) là hàm chẵn thì



f ( x)dx 2f ( x)dx
0




2.3.9.Một số bài tập trắc nghiệm :
Bài 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn
1

2. f ( x )  3. f ( x  1)  1  x . Giá trị của tích phân
2

f ' ( x)dx

bằng

0

A. 0

B.
1

Lời giải. Ta có

1
2

C. 1
1

f ' ( x)dx  f ( x) 0  f (1) 

D.

11


1

x
Biết rằng e  f ( x)  f ' ( x) dx ae  b . Tính Q a 2018  b 2018
0

A. Q = 2018

B. Q = 2

1

C. Q = -2

C. Q = -2018

1
1
x
e

f
(
x
)

f

e 2017  1

I



0

0

A. I = 1

B. I = 2

x
f ln( x 2  1) dx
x 1



2

C. I = 4

Lời giải. Đặt t ln( x 2  1) . Suy ra dt 



D. I = 5


 f ( x)dx  2.2 1 . Chọn đáp án A
0

 
Bài 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên 0;  thỏa mãn
 2

Và f (0) 3 . Tính


2

f ' ( x) cos

2

xdx 10

0


2

f ( x) sin 2 xdx
0

A. I = -13

B. I = -7


 du  sin 2 xdx

 v  f ( x)



 2
2
2
10  f ' ( x) cos xdx cos xf ( x) 2  f ( x ) sin 2 xdx
0
0 0


2

f ( x) sin 2 xdx

= 10+f(0)=13. Chọn đáp án D

0

Bài 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên [0;1], thỏa mãn
1

3 f ( x)  x. f ' ( x)  x

2018

với mọi x trên [0;1]. Tính I  f ( x)dx

3

Suy ra  x f ( x)  x

2020

1

Vậy I  f ( x)dx 
0

0

x 3 f ( x )  '  x 2020

x 2021
dx 
c
2021

Thay x = 0 vào ta có C = 0  f ( x) 
1



1
x 2018
2021

x 2018

lượng
20
25

12C5

45

25

Tỷ lệ
46 %
55 %
55%

Điểm từ 5 đến
8
Số
Tỷ lệ
lượng
18
42%
18
40%
17

38%

Điểm dưới 5
Số

tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị :
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn
nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng
cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại
các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên
cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập.
Thanh hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến do
mình viết, không coppi, không sao chép.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Người viết sáng kiến
Lê Thị Hằng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
14


[1]. Sách giáo khoa giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục.
[2]. Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất bản giáo dục.
[3]. Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất bản Giáo dục.
[4]. Các bài giảng luyện thi môn toán - Nhà xuất bản giáo dục.
[5]. Đề thi ĐH môn toán các năm và đề thi minh họa năm 2017 của bộ GD và ĐT.
[6]. Đề thi ĐH môn toán các năm và đề thi minh họa năm 2017 của bộ GD và ĐT.
[7]. Mạng internet.

Thứ tự
1