TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG I
CHỦ ĐỀ 3.1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số đa thức, phân thức trên một đoạn.
MỨC ĐỘ 2
Câu 1.

[2D1-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =
trên đoạn [ −1;3] là:
A. 2 3 .

B.

5
.
2

C. 2 2 .

x2 − 2 x + 5

D. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
f ’ ( x ) = 0 ⇔ 2 x – 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ f ( −1) = f ( 3 ) = 2 2 ; f ( 1) = 2 .
Câu 2.

[2D1-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =


−8

( x − 1)

2

]

hàm số nghịch biến trên ( −∞;3) và ( 3; +∞ ) .

− x 2 + 2 khi x ≤ 1
[2D1-3.1-2] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2] Cho hàm số y = 
. Tính giá
khi x > 1
x
trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −2; 3] .
y = −2 .
A. max
[ − 2;3]

y = 3.
B. max
[ − 2;3]

y = 2.
C. max
[ − 2;3]

y =1.


C. 3 .

D. 18 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

2
Xét hàm số f ( x ) = x + 2 x + 3 trên [ 0;3] .

Ta có f ' ( x ) = 2 ( x + 1) , f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1 ∉ [ 0;3] . Vậy trên [ 0;3] hàm số không có điểm tới
f ( x ) = max { f ( 0 ) ; f ( 3) } = max ( 3;18 ) = 18 .
hạn nào nên max
[ 0;3]
f ( x ) = 18 .
Vậy max
[ 0;3]
Câu 5.

[2D1-3.1-2] [BTN 163] Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 1 trên
đoạn [ 0;3] lần lượt bằng:
A. 54 và 1.
B. 25 và 0 .
C. 36 và −5 .
D. 28 và −4 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
 x = 1 ∈ [ 0;3]
y ' = 3x 2 + 6 x − 9, y ' = 0 ⇔ 

trên đoạn [ 2; 4] .
y =7.
A. max
[ 2;4]

B. max y =
[ 2;4]

19
11
.
C. max y = .
[ 2;4]
3
3
Hướng dẫn giải

x2 + 3
x −1

y =6.
D. max
[ 2;4]

Chọn A.
Đao hàm: y′ =

x2 − 2x − 3

( x − 1)

A. M = 20, m = 0 .

B. M = 19, m = −1 . C. M = 19, m = 1 .
Hướng dẫn giải

D. M = 19, m = 0 .

Chọn C.
Xét trên [ 0;3] hàm số liên tục.

 x = 1∈ [ 0;3]
y′ = 3x 2 − 3 , y′ = 0 ⇒ 3x 2 − 3 = 0 ⇔ 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ 
.
 x = −1 ∉ [ 0;3]
Nên f ( 0 ) = 1 , f ( 1) = 1 và f ( 3) = 19 .
Dó đó: M = 19 , m = 1 .
Câu 9.

[2D1-3.1-2] [BTN 169] Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 trên [ −4;3] .
A. −12 .

B. 33 .

C. 20 .
Hướng dẫn giải

D. 8 .

Chọn D.


A. 2 .

B. 3 .

C. 0 .

D. 1 .
TRANG 3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn C.
2
x2 + 2x − 7
Với y = x − 4 x + 3 ta có y ′ =
.
2
( x + 1)
x +1

Xét x ∈ [ 0;3] thì y ′ = 0 ⇔

x2 + 2 x − 7

( x + 1)

Do đó, max
[ −1;2]
[ −1;2]
Câu 13.

[2D1-3.1-2] [THPT Ngô Gia Tự] Hàm số y =

[ 0; 2]

x3 x 2
+ − 2 x − 1 có giá trị lớn nhất trên đoạn
3 2

là:

A. 0.

1
B. − .
3

C. −1 .

D.

−13
.
6

Hướng dẫn giải


B.

7
.
3

C. 7 .

D.

16
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
 x = 6 ∉ [ 0;5]
y′ = x 2 − 8 x + 12 . y ′ = 0 ⇔ 
.
 x = 2 ∈ [ 0;5]
TRANG 4


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

2
y ( 2 ) = 10; y ( 0 ) = − ; y ( 5 ) = 1 .

3
.
5

B.

1
.
4

C.  2 .

1
D. − .
3

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Câu 17.

y′ =

−7

( x − 5)

2

< 0 và hàm sô xác định và liên tục trên [ 0; 2] .



3x 2 + 2 x + 3
, tập hợp nào sau đây là
x2 + 1

tập giá trị của hàm số?
A. [ 2; 4] .

B. [ 2;3] .

15 
C.  ;5 .
2 
Hướng dẫn giải

D. [ 3; 4] .

Chọn A.
Hàm số xác định trên ¡ .
Ta có: y ' =

−2 x 2 + 2

; y ′ = 0 ⇔  x = 1 . Lập bảng biến thiên:
 x = −1
( x + 1)

2

2

< 0 do đó hàm nghịch biến ⇒ ymax = y (0) = .
2
( x − 3)
3

[2D1-3.1-2] [THPT Thuận Thành] Trên khoảng (0; + ∞) thì hàm số y = − x3 + 3 x + 1 .
A. Có giá trị nhỏ nhất là Min y = –1 .
B. Có giá trị lớn nhất là Max y = 3 .
C. Có giá trị nhỏ nhất là Min y = 3 .

D. Có giá trị lớn nhất là Max y = –1 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.

x =1
Ta có y ′ = −3 x 2 + 3 , y′ = 0 ⇔ 
.
 x = −1
Ta có bảng biến thiên.
⇒ Hàm số có giá trị lớn nhất là Max y = 3 .
Câu 22.

max f ( x ) ,
[2D1-3.1-2] [THPT Thuận Thành] Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 2 x 2 − 1. Kí hiệu M = x∈
[ 0;2]
m = min f ( x ) . Khi đó M − m bằng.
x∈[ 0;2]
A. 7 .


Þ M - m = 9. .

Câu 23.

[2D1-3.1-2] [THPT Thuận Thành 3] Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên  và có
bảng biến thiên.

.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −1.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 0.
C. Hàm số không xác định tại x = −1 .
D. Hàm số có đúng hai cực trị.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Nhìn BBT ta thấy y = −1 là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Câu 24.

[2D1-3.1-2] [THPT Thuận Thành 3] Giá trị lớn nhất của hàm số

y = x3 − 3x 2 − 9 x − 2

trên
.

đoạn [ −2; 2] là.
A. −2 .

B. −26 .


2

B. −

13
.
3

C. 4 .

x 2 − 3x + 3
trên đoạn
x −1

D. −3 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
(2 x − 3)( x − 1) − ( x 2 − 3 x + 3).1 x 2 − 2 x
+) y ' =
=
2
2
( x − 1)
( x − 1)

1

 x = 0 ∈  −2; 2 
x − 2x

Câu 26.

 π
[2D1-3.1-2] [THPT Quế Võ 1] Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x + cos 2 x trên đoạn 0; 
 2
là :
π
π
A. 1 + π .
B. .
C. .
D. 0 .
2
4
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: f ( x ) = x + cos 2 x .
f ′ ( x) = 1 − 2 cos x sin x = (sin x + cos x) 2 .
π
f ′ ( x) = 0 ⇔ cos x = sin x ⇔ x = + kπ .
4
π
Khi k = 1 nhận x = .
4
π  π 1
π  π
f (0) = 1 ; f  ÷ = + ; f  ÷ = .
4 4 2
2 2
π

⇒ max y = f (−2) = 17; min y = f (2) = −15 .
[ −2;3]

[ −2;3]

Câu 28.

[2D1-3.1-2] [THPT Quế Vân 2] Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 trên đoạn [ −4;3] .
A. 33 .
B. 2 .
C. 8 .
D. −8 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
 x = 1 ⇒ max y = 20; min y = −12
y ' = 3x 2 + 6 x − 9 = 0 ⇔ 
.
.
[ −4;3]
[ −4;3]
 x = −3

Câu 29.

[2D1-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 2] Cho

f ( x) =

1


(x

2x − 4

2

− 4 x + 5)

2

−

x
+ 1 ⇒ f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 2 ∈ [ 0; 3] .
2

1
5
Có m = f ( 0 ) = ; f ( 3) = ; M = f ( 2 ) = 2 .
5
4
Câu 30.

[2D1-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 01] Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm
số y = x 4 − 2 x 2 + 3 trên [ 0; 2] là:
A. M = 3, m = 2 .
B. M = 5, m = 2 .
C. M = 11, m = 2 .
D. M = 11, m = 3 .

C.

D. 0 .

Chọn C.

TRANG 9


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Cách 1. Ta có, f ( x) =

PHƯƠNG PHÁP

x 2 + 2x
1
1
= x +1−
⇒ f '( x) = 1 +
> 0, ∀x ∈ [0; 2] .
x +1
x +1
( x + 1) 2

8
⇒ f ( x) đồng biến trên (0; 2) ⇒ GTLN f ( x) = f(2) = . .
[0;2]
3
Cách 2. Dùng chức năng lập bảng (Mode7) trên Casio.


B. −5 .

3x − 1
trên
x −3

1
D. − .
3

C. 5 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
3x − 1
trên đoạn [ 0; 2] .
x −3
Ta có: Hàm số liên tục trên đoạn 0; 2 .
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

[

y'=

Câu 34.

−8

( x − 1)

C. [ −1;5]

.

max y = 4

D. [ −1;5]

.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

y ' = 1−

4

=

x2 + 4x

( x + 2) 2 ( x + 2) 2 .

y ' = 0 ⇔ x = 0; x = −4

TRANG 10


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN


y = 6.
B. min
[ 2;4]

C. min y =
[ 2;4]

19
.
3

y = −2 .
D. min
[ 2;4]

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Hàm số y =
Ta có: y ′ =

x2 + 3
liên tục trên đoạn [ 2; 4] .
x −1

x2 − 2x − 3

( x − 1)

2


2− x
. Gọi M , m lần lượt
1− x

D. M = 0 , m = −1 .

Chọn C.
−x + 2
1
y=
⇒ y′ =
> 0, ∀x ∈ [ 2; 4] .
2
−x +1
( − x + 1)
2
⇒ M = y ( 4) = ; m = y ( 2) = 0 .
3
Câu 37.

x2 +3
[2D1-3.1-2] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
x- 1

trên đoạn [ 2, 4 ] .

y =- 1 .
A. min
[ 2,4]


2
x
3
=
0
Û
,
2
êx = 3 Î [ 2, 4] .
( x - 1)
ê
ë
19
Mà y ( 2) = 7, y ( 3) = 6, y ( 4) = .
3
Ta có y ¢=

x2 - 2 x - 3

TRANG 11


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

y =6.
Vậy min
[ 2,4]
Câu 38.


B. −3 .

1
1 
trên đoạn  ;5 bằng:
x
2 

1
.
5
Hướng dẫn giải
C.

D. −5 .

Chọn B.
1 
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn  ;5 .
2 

1 
 x = 1 ∈  2 ;5
1 x −1


2
Đạo hàm y ' = 1 − 2 = 2 ; y ' = 0 ⇔ x = 1 ⇔ 
.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

2
Xét hàm số f ( x ) = x + 2 x + 3 trên [ 0;3] .

Ta có f ' ( x ) = 2 ( x + 1) , f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1 ∉ [ 0;3] . Vậy trên [ 0;3] hàm số không có điểm tới
f ( x ) = max { f ( 0 ) ; f ( 3) } = max ( 3;18 ) = 18 .
hạn nào nên max
[ 0;3]
f ( x ) = 18 .
Vậy max
[ 0;3]
Câu 41.

[2D1-3.1-2] [BTN 163] Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 1 trên
đoạn [ 0;3] lần lượt bằng:
A. 54 và 1.
B. 25 và 0 .
C. 36 và −5 .
D. 28 và −4 .
TRANG 12


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn D.

( 2 − x)

=

−2 x 2 + 8 x

.

( 2 − x)
 x = 0 ∈ [ −2;1]
y ′ = 0 ⇔ −2 x 2 + 8 x = 0 ⇔ 
.
 x = 4 ∉ [ −2;1]
f ( −2 ) = 1, f ( 0 ) = −1, f ( 1) = 1 ⇒ max f ( x ) = 1, min f ( x ) = −1 .
[ −2;1]
[ −2;1]
Câu 43.

2

[2D1-3.1-2] [THPT Nguyễn Huệ-Huế] Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có giá trị nhỏ
nhất trên tập xác định?
x −9
A. y =
.
B. y = − x 2 + 2 .
2x +1
1 4
2
C. y = x 3 − 9 x 2 + 16 .

11
.
3

x2 + 3
trên đoạn [ 2; 4] .
x −1
19
D. max y = .
[ 2;4]
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
 x = −1 ∉ ( 2; 4 )
2
; y′ = 0 ⇔ x − 2 x − 3 = 0 ⇔ 
.
( x − 1)
 x = 3 ∈ ( 2; 4 )
19
Tính các giá trị: y ( 2 ) = 7 , y ( 3) = 6 , y ( 4 ) = .
3
Ta có y′ =

x2 − 2x − 3
2

TRANG 13



 2 2

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đối với bài toán này các em nên lập bảng biến thiên xét tổng thể các đáp án A, B, C, D để có
thể chọn ra đáp án đúng.
Câu 46.

2
[2D1-3.1-2] [BTN 174] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x + 2 x + 3 trên khoảng [ 0;3] là:

A. 2 .

B. 6 .

C. 18 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

Chọn C.
Ta có f ' ( x ) = 2 ( x + 1) , f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1 ∈ [ 0;1] .

f ( x ) = min { f ( 0 ) ; f ( 3) } = min { 6;8} = 6 . Vậy m = f ( 0 ) = 18 .
Nên m = min
[ 0;3]
Câu 47.

[2D1-3.1-2] [BTN 169] Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chọn B.
2
Ta sử dụng MTCT bấm Mode 7 rồi bấm Shift, nhập f ( X ) = X − 3 X + 2 chọn Start -3 End 3

Step 0.5. Máy cho ra một bảng có các giá trị của f ( X ) trong đó giá trị lớn nhất của f ( X ) là
20 khi X = −3 .
Câu 49.

[2D1-3.1-2] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Kí hiệu m và M lần lượt là giá trị lớn nhất giá
x2 + x + 4
M
..
trên đoạn [ 0;3] . Tính giá trị của tỉ số
x +1
m
5
4
2
B. .
C. .
D. .
3
3
3

trị nhỏ nhất của hàm số y =
A. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

M 4
= ..
m 3

[2D1-3.1-2] [THPT Quoc Gia 2017] Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x 4 − x 2 + 13 trên
đoạn [ −2;3] . .
B. m =

A. m = 13 .

49
.
4

C. m =

51
.
2

D. m =

51
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: y′ = 4 x 3 − 2 x. .
x = 0

−2 x 2 + 2

; y ′ = 0 ⇔  x = 1 . Lập bảng biến thiên:
 x = −1
( x + 1)

2

2

.
Dựa vào bảng biến thiên tập giá trị y ∈ [ 2; 4] .
Câu 52.

[2D1-3.1-2] [Sở GD và ĐT Long An] Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số y = x + 2 +
A. P = 11 .

4
trên đoạn [ 0; 3] Tính P = M + m. .
.
x +1
B. P = 10 .
C. P = 12 .

D. P = 30 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
TRANG 15

y ( 0 ) = 6; y ( 1) = 5; y ( 3) = 6 nên M = 6; m = 5 ⇒ P = M + m = 11 .
Câu 53.

1
1 
trên  ;5 .
x
2 
5
C. − .
2
Hướng dẫn giải

[2D1-3.1-2] [BTN 172] GTNN của hàm số y = x − 5 +
A. −2 .

B.

1
.
5

D. −3 .

Chọn D.
 x = −1
1 x2 −1
⇒ y′ = 1 − 2 = 2 ⇒ y ′ = 0 ⇔ 
( L) .
x

D. M + m = −

4
.
3

Chọn A.
 x = −1 ∈ [ −4;0]
2
TXĐ: D = ¡ , y ′ = x + 4 x + 3 ⇒ y ′ = 0 ⇔ 
.
 x = −3 ∈ [ −4;0]
16
16
Ta có f ( −1) = − ; f ( −4 ) = − ; f ( 0 ) = −4 .
3
3
16
28
⇒ M +m =− −4= − .
3
3
Câu 55.

2
[2D1-3.1-2] [Cụm 7-TPHCM] Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +

A. 2 .

B. 4 .