TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG II
CHỦ ĐỀ 4.1 Bài tập tổng hợp nón-trụ-cầu.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

[2H2-4.1-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chữ nhật ABCD và nửa đường tròn
đường kính AB như hình vẽ. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, CD . Biết
AB = 4; AD = 6 Thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục IJ là:

A. V =

56
π.
3

.
104
40
π.
B. V =
C. V = π .
3
3
Hướng dẫn giải

D. V =


D. .
3
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.

.
Do thiết diện đi qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh 2a nên bán kính đáy, chiều cao của
hình trụ lần lượt là và mặt cầu nội tiếp khối trụ có bán kính là a. .
2
3
Thể tích khối trụ là: VT = h.π .R = 2.π .a . .
4
4 3
3
Thể tích khối cầu là: VC = π R = π a . .
3
3
TRANG 1


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

VT 3
= ..
VC 2

Tỉ số thể tích là
Câu 3.

SA AO
SA
AO

)

.

( Vì IO = IH )

(1).

AB a 2
Vì ∆SAB vuông cân tại S và O là trung điểm của AB ⇒ SO = AO =
(2).
=
2
2
a 2
− IO
IO
a 2− 2
=
⇔ IO =
Từ (1) và (2) ⇒ 2
.
a
a 2
2
2

2

C. k = 2 .

S1
.
S2

D. k = 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
2
Ta có SπR
1 =R
SπR
2 =
Câu 5.

3 =πR
2 3

.

2
R3 R
+

2


S2

A. 1 .

C. 3 .
Hướng dẫn giải

B. 4 .

D. 2 .

Chọn A.
Gọi R là bán kính của quả bóng.
2
Diện tích của một quả bóng là S = 4π .R 2 , suy ra S1 = 3.4π R .
Chiều cao của chiếc hộp hình trụ bằng 3 lần đường kính quả bóng bàn nên h = 3.2r .
S1
=1.
Suy ra S 2 = 2π R.3.2 R . Do đó
S2
Câu 6.

[2H2-4.1-3] [BTN 163] Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ. Diện tích xung
quanh của phễu là:

A. S xq = 360π cm .
2

B. S xq = 960π cm .
2


C. V =

32 3
(m ) .
3

D. V =

32π 2
(m ) .
9

Hướng dẫn giải
Chọn D.

TRANG 3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.
Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là r , h ' ( 0 < x < 2;0 < h′ < 6 ) .
h′ 2 − x
⇔ h′ = 6 − 3 x .
Ta có: =
6
2

Thể tích V của hình tròn xoay bao gồm thể tích của khối trụ ACFD và 2 khối nón BAC , DEF .
1
3
Có : R = AC = 2.
= 3.
2
2
Chiều cao h của khối trụ là h = 2 .
2
Chiều cao h′ của khối nón h′ = = 1 .
2
Thể tích của khối tròn xoay :
1
V = π R 2 .h + 2. π R 2 h′ .
3
2
2
2
= π 3 .2 + π 3 .1 = 8π .
3

( )

( )

TRANG 4


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN


S1
3
=
.
S2
3

Hướng dẫn giải
Chọn C.

.
S1 2π Rh
=
=
S2
π Rl

2OO '
R + OO '
2

2

=

2R 3
= 3
2R
.


Vlt = ( h - x ) pr ¢2 .
Áp dụng Talet vào D SOA có O ¢B //OA. .
O ¢B SO ¢ r ¢ x
rx
=
Û
= Þ r ¢= .
OA
SO
r
h
h
2
pr
Þ Vlt = ( h - x ) x 2 . 2 .
h
Để thể tích phần trong ( N ) ngoài ( T ) nhỏ nhất.
Þ Vlt : lớn nhất Þ ( h - x) x 2 lớn nhất.
Xét hàm số y = f ( x ) = ( h - x ) x 2 .

TRANG 5


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

y ¢= 2 xh - 3 x 2 = x ( 2h - 3 x )
éx = 0
ê

88
π.
3

Chọn D.
Khi xoay mô hình quanh trục IJ thì nửa đường tròn tạo thành nửa mặt cầu có R = 2 ; hình
chữ.
nhật ABCD tạo thành hình trụ có r = 2; h = 6 .
1 4
16π
2
⇒ Thể tích nửa khối cầu là V1 = . π R 3 =
. Thể tích khối trụ là V2 = π r h = 24π .
2 3
3
88π
⇒ V = V1 + V2 =
.
3
Câu 12. [2H2-4.1-3] [THPT Hoàng Hoa Thám - Khánh Hòa] Cho hình trụ có bán kính đáy r1 nội
tiếp trong hình cầu bán kính r không đổi. Xác định bán kính r1 theo r để hình trụ có thể tích
lớn nhất.
6
6
2
6
A. r1 =
B. r1 =
C. r1 =
D. r1 =

1 − r12

.

( 0 < r1 < r ) ( ∗) .

( 0 < r1 < r ) .

= 0 ⇔ r1 =

(Có thể thử chọn vào ( ∗) ).

 6
6
r ( 0 < r1 < r ) ⇒ Max f ( r1 ) = f 
 3 ÷
÷.
3



Câu 13. [2H2-4.1-3] [THPT Ng.T.Minh Khai(K.H)] Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước
vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng
ba lần đường kính quả bóng bàn Gọi S1 là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S 2 là diện tích
xung quanh của hình trụ Tỉ số
A. 1,2.

B. 1.

S1


)

(

)

TRANG 7


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Ta thấy ∆SIH : ∆SAO ( g - g ) .
SI IH
SO − IO IO
⇒
⇔
=
=
SA AO
SA
AO

.

( Vì IO = IH )

(1).

)

Câu 15. [2H2-4.1-3] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
( O; R ) , ( O′; R ) với OO′ = R 3 và một hình nón có đỉnh O′ và đáy là hình tròn ( O; R ) . Kí hiệu
S1 , S2 lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón. Tính k =

1
A. k = .
3

B. k =

1
.
2

C. k = 2 .

S1
.
S2

D. k = 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
2
Ta có SπR
1 =R
SπR

quả bóng bàn. Gọi S1 và tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của
hình trụ. Tỉ số
A. 1 .

S1
bằng:
S2

B. 4 .

C. 3 .
Hướng dẫn giải

D. 2 .

Chọn A.
Gọi R là bán kính của quả bóng.
2
Diện tích của một quả bóng là S = 4π .R 2 , suy ra S1 = 3.4π R .
Chiều cao của chiếc hộp hình trụ bằng 3 lần đường kính quả bóng bàn nên h = 3.2r .
S1
=1.
Suy ra S 2 = 2π R.3.2 R . Do đó
S2
TRANG 8


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

C. V1 = π .
V2 8
V2 4 .
V2 2

D. V1 = π
V2 6 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi R là bán kính của mặt cầu, khi đó cạnh của hình lập phương là 2R .
Ta được.
Thể tích hình lập phương là V2 = 8R , thể tích quả bóng là V1 =
3

4π R3
V π
⇒ 1 = .
3
V2 6

Câu 19. [2H2-4.1-3] [THPT Kim Liên-HN] Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 2 17 nội tiếp trong
5 2
. Tính thể tích khối cầu.
4
8p
C.
.
D. 2p .
3

ú
52 + 52
5 2 5 3
ë
û
é
ù
=
=
=
Vì góc ở đỉnh là d ëM ; ( d ) û=
nên D ABC là tam
r
2
3
6
u
1 + 22 +( - 1)
giác đều.
Ta có: AD = BC.
V = 3p Þ
Þ

3
3
= DC. 3 Þ DC =
AD .
2
3



3
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
 Vì thiết diện qua trụ là tam giác đều cạnh bằng 2 nên hình nón có bán kính r = 1 , độ dài
đường sinh l = 2 .
 Diện tích toàn phần của hình nón: Stp = π r ( l + r ) = 3π .
 Mặt cầu có bán kính R thì có diện tích S mc = 4π R 2 .
 Theo đề bài thì 4π R 2 = 3π ⇒ R =

3
.
2

Câu 21. [2H2-4.1-3] [THPT Hùng Vương-PT] Cho hình lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có AB = a ,
AB′ = 2a . Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Biết rằng một
mặt đáy của khối trụ nằm trên mặt phẳng ( ABC ) .

π a3 3
A. V =
.
3

π a3
B. V =
.
3

TRANG 10


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

2

 3 
3π a 3
V = hπ R = π 3a. 
a÷
=
.
÷
3
 3 
2

Câu 22. [2H2-4.1-3] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Trong mặt phẳng ( P ) cho hình vuông MNPQ có
cạnh bằng 7 và hình tròn ( C ) có tâm M , đường kính bằng 14 . Tính thể tích V của vật thể
tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục là đường thẳng PM .

A. V =
C. V =

(

)


)

.

343 12+ 2 π
6

.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có thể tích khối tròn xoay gồm chỏm cầu sinh bởi
cung lớn NQ khi quay quanh Ox và khối nón đỉnh P , đường kính đáy là NQ .
Vậy thể tích được tính bằng:
7

∫ (

V=π
−

7 2
2

2

(