Chuyên đề 1
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Kiến thức cơ bản
1.1 Mở đầu về phương trình
Phương trình một ẩn là phương trình có dạng P( x)  Q( x) ( x là ẩn), trong đó vế trái P(x)
và vế phải Q(x) là hai biểu thức của cùng biến x.
- Số x0 gọi là nghiệm của phương trình P ( x0 )  Q ( x0 ) là một đẳng thức đúng.
- Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm,…, nhưng cũng có thể không có
nghiệm nào ( vô nghiệm ). Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm ( hoặc tìm tập
nghiệm ) của phương trình đó.
- Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau ( kể cả bằng
tập rỗng ). Quy tắc biến một phương trình thành một phương trình tương đương với nó
được gọi là quy tắc biến đổi tương đương.
1.2 Phương trình bậc nhất một ẩn
a) Định nghĩa : Phương trình dạng ax  b  0 ,với a,b là hai số đã cho và a  0 , được gọi
là phương trình bậc nhất một ẩn.
b) Hai quy tắc biến đổi tương đương :
- Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chyển một hạng tử từ vế này sang
vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
- Quy tắc nhân với một số : Ta có thể nhân ( hoặc chia ) cả hai vế của một phương trình
với (cho) cùng một số khác 0.
c) Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn :
Ta có : ax  b  0  ax  b ( quy tắc chuyển vế )
b
 x   ( chia hai vế cho a≠0)
a
Vậy phương trình bậc nhất một ẩn ax  b  0 luôn có một nghiệm duy nhất là
b
 x
a

Giải
a) Thay x  3 vào phương trình ta được : 2  3   5  4   3   11  11 là một
đẳng thức đúng.
Vậy x  3 là nghiệm của phương trình.
b) Thay x  3 vào phương trình ta được.
2
 3  7  3  3  9  9 là một đẳng thức sai.
3
Vậy x  3 không là nghiệm của phương trình.
c) Thay x  3 vào phương trình ta được.
6
 5  2  3  1  7  5 là một đẳng thức sai.
3
Vậy x  3 không là nghiệm của phương trình.
d) Thay x  3 vào phương trình ta được.
2
 3  4  2  3  11  5  5 là một đẳng thức đúng.
Vậy x  3 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2. Tìm giá trị của m, biết rằng x = 5 là nghiệm của phương trình 2 x  m 2  x  1  19
Giải
Vì x = 5 là nghiệm của phương trình 2 x  m 2  x  1  19 , nên:


2.5  m2  5    19
 10  4m2  19
 m2 

9
4


22
13
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 
22
b)2 x  x  5   21  x  2 x  1  12
 2 x 2  10 x  21  2 x 2  x  12
 2 x 2  10 x  2 x 2  x  12  21
 11x  33
 x3
Vậy phương trình có tập nghiệm là S  3
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:


x  98 x  96 x  65 x  3 x  5 x  49





2
4
35
97
95
51
x  91 x  86 x  78 x  49
b)




4
35
97
95
51
1
1 1
1 1 1
  x  100        
 2 4 35 97 95 51 
 x  100  0
a)

 x  100
Vậy phương trình có tập nghiệm là S  100

b) Phương trình đã cho tương đương với.
 x  91   x  86   x  78   x  49 
 1  
 1  
 1  
 1  0

 37
  42
  50
  79

x  128 x  128 x  128 x  128


a) Phương trình 2 x  6 có tập nghiệm là S1  3

x  3  0
2
 x  3 nên có tập nghiệm S 2  3
Phương trình  x  3 x  1  0   2
x 1
Vì S1  S 2 nên hai phương trình đã cho là tương đương.





x  2  0
x  2

b) Ta có x 2  4  0   x  2  x  2   0 
 x  2  0  x  2
Suy ra tập nghiệm là S3  2; 2
Phương trình x  2  0  x  2 có tập nghiệm S 4  2
Vì S3  S4 nên hai phương trình đã cho không tương đương.
Ví dụ 6. Tìm m để hai phương trình sau tương đương. x  m  0 1 và mx  9  0  2 
Giải
Phương trình (1) x  m  0 có nghiệm duy nhất là x = m. Vì hai phương trình tương đương
nên
x = m cũng là nghiệm của phương trình (2), tức là m.m  9  m 2  9  m  3
Thử lại :
- Với m  3 , ta có phương trình (1) : x  3  0 và phương trình  2  : 3 x  9  0 có cùng
-






 m 2  m  2 x  m 2  3m  2
  m  1 m  2  x   m  1 m  2 
a) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi :
 m  1 m  2   0  m  1và m  2
a) Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi :
 m  1 m  2   0
m2

m

1
m

2

0





m


C.BÀI TẬP
3.1 Xét xem x = 4 có là nghiệm của mỗi phương trình sau hay không ?


5
6
3
5
3.6 Giải các phương trình sau :
x  1 x  2 4x  2
a)


6  0
15
7
5
x  14 x  27 x  105 x  200 x  187 x  109
b)





200
187
109
14
27
105
x  342 x  323 x  300 x  273
c)



 ... 
7
2000 2002 2004
2012
a)


3.9 Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 2 x  3  0 và  2 x  3 mx  1  0
3.10 Giải và biện luận các phương trình sau :
a) 1  m  x  m 2  1

m

2



 5m  6 x  m 2  9

3.11 Cho phương trình  4m 2  25  x  5  2m
a) Giải phương trình với m = 5
b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
3.12. Cho phương trình  4m 2  9  x  2m 2  m  3 . Tìm m để phương trình :
a) Có nghiệm duy nhất
b) Có vô số nghiệm.
3.13. Giải phương trình ẩn x sau :
4x
ab x bc x ca x
