71
CHƯƠNG 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN
Bài 1:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
111
222
ax by c 0
(I)
ax by c 0
++=
⎧
⎨
++=
⎩

Cách giải: Đặt D =
11
12 21
22
ab
ab ab
ab
=−

11
x1221
22

⎪
=
⎪
⎩

* D = 0 và
x
D0≠
hay
y
D0:(I)≠ vô nghiệm.
*
xy
DDD0:(I)===
có thể vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm
Chú ý:
Trong thực hành, khi D = 0, ta thường thay vào hệ các giá trò cụ thể
của tham số để kết luận.

72
II. CÁC VÍ DỤ.
Ví dụ 1:
Đònh m để hệ sau vô nghiệm:
2
2m x 3(m 1)y 3
(I)
m(x y) 2y 2
⎧
+
−=

− − +=⇔ − +=⇔=
⎢
⎢
=
⎢
⎣

* Với
3y 3 y 1
m0:(I)
2y 2 x R
−
==−
⎧⎧
=⇔ ⇔
⎨⎨
−= ∈
⎩⎩
không thỏa đề bài.
* Với
1
18x 6y 3
3x y
m 3:(I)
2
3x y 2
3x y 2
⎧
+=
+

−
=
⎪
⎩
hệ vô nghiệm
1
m
2
⇒= nhận.
Tóm lại hệ vô nghiệm khi m = 3
1
m
2
∨=.

73
Ví dụ 2:
Đònh m nguyên để phương trình sau có nghiệm nguyên.
mx y 3 0
xmy2m10
+−=
⎧
⎨
+−−=
⎩

Giải
Ta có :
2
m1

(m1)(2m3) 2m3 1
y2
D(m1)(m1)m1 m1
−
⎧
== =
⎪
+− +
⎪
⎨
−+ +
⎪
== = =+
⎪
+− + +
⎩

xz∈ và
1
y
zzm1
m1
∈⇔ ∈⇔ +
+
là ước số của 1
nghóa là:
m11 m 0
m1 1 m 2
+= =
⎡⎡

−+ −=
⎧
⇔
⎨
−+=
⎩
Hệ vô nghiệm
m1⇒=−
loại
Tóm lại: m = 1, m = 0, m = - 2

74
Ví dụ 3:
Tìm các giá trò của b sao cho với mọi a R
∈
, thì hệ phương trình:
2
x2ayb
ax (1 a)y b
+=
⎧
⎪
⎨
+
−=
⎪
⎩
có nghiệm.
(ĐH CÔNG ĐOÀN 1998).
Giải

⇔
=− ⇔ + = ⇔ = ∨ =−
+
1
a:
2
=
Hệ
2
2
xyb
xyb
11
xyb
xy2b
22
+=
⎧
+=
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
+=
+=
⎪
⎪
⎩
⎩
Hệ có nghiệm.

⎩

1.
Với b = 0, hãy giải và biện luận hệ theo a và c
2.
Tìm b để với mọi a, ta luôn tìm được c sao cho hệ có nghiệm.
Giải
1. Giải và biện luận theoa và c:
b = 0 : hệ
22
ax y 0 y ax
xayc c xa(ax)c c
+= =−
⎧⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
+=+ +− =+
⎪⎪
⎩⎩75
22
y ax (1)
(1 a )x c c (2)
=−
⎧
⎪
⇔

*
22
1a 0 a 1:(2) 0x c c−=⇔=± ⇔ =+

+ Nếu
2
cc0c0+≠⇔≠ và c 1: (2)VN≠− ⇒hệ VN
+ Nếu
2
cc0c0c1:(2)0x0+=⇔=∨=− ⇔ =⇒ Hệ có
nghiệm:
xtR
yat
=∈
⎧
⎨
=−
⎩

xtR
a1
yt
=∈
⎧
=⇒
⎨
=−
⎩

xtR

⇔
⎨
−+−+=
⎪
⎩

Hệ có nghiệm
(*)⇔ có nghiệm.
+ Nếu
2
1a 0 a 1:(*)−≠⇔≠± có nghiệm duy nhất ⇒ Hệ phương trình
cho có nghiệm b.
∀
+ Nếu a = 1: (*)
2
ccb0x,⇔+−= để có nghiệm
2
ccb0,
+
−= thì ta
phải có điều kiện để có được c :
1
14b0 b
4
∆= + ≥ ⇔ ≥−
+ Nếu a = - 1: (*)
2
ccb0x⇔++= và có nghiệm khi
2
ccb0

=
⎩

Có nghiệm. Chứng minh rằng:
333
abc3abc
+
+=

Giải
Gọi
00
(x ,y ) là nghiệm của hệ :
22
00
00
22
00 0 0
22
00
00
abx aby abc
xa by c
bx cy a b cx bc y abc
cx ay b
ac x a cy abc
⎧
+=
+=
⎧

⎩1.2. Đònh m và n để hai hệ phương trình sau cùng vô nghiệm.
(m 1)x (2n 1)y 5n 1
(I)
(m 1)x ny 2
++ +=−
⎧
⎨
−+=
⎩
và
(m 1)x my n
(II)
3x (4 n)y 2n 1
++=
⎧
⎨
+
−=−
⎩1.3. Cho hệ phương trình :
mx y 2m
xmym1
+=
⎧
⎨

⎧
==+
⎪
⎪
⎨
⎪
==
⎪
⎩

. a 1:= Hệ
0x 0y 0 x R
xy1 y1x
+= ∈
⎧⎧
⇔⇔
⎨⎨
+= =−
⎩⎩1.2.
I
2
II
Dmn3nm1
Dm4
=− + − +
=− +


3x 2y 1
+
=
⎧
⎨
+
=
⎩

⇒ hệ có vô số nghiệm (loại)
. m = - 2,
3
n
5
=− thế vào hệ (I) và hệ (II) ta có:
2 hệ cùng VN.
m2,⇒=−
3
n
5
=− (nhận).

1.3. a.
2
Dm 1=−
Hệ có nghiệm duy nhất D 0 m 1⇔≠⇔≠±
Gọi x và y là nghiệm của hệ, ta có:
mx y 2m m(x 2) y
xmym1 x1 m(y1)
+= − =−

y1 z
m1
⎧
⎪
∈≠±
∈
≠±
⎧
⎪
⎪⎪
⇔=− ∈⇔
⎨⎨
+
∈
⎪⎪
+
⎩
⎪
=− ∈
⎪
+
⎩

mz,m 1
m0m 2
m11m1 1
∈≠±
⎧
⇔
⇔=∨=−