đề thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn (1)
môn: toán chung . thời gian: 150'
( Tham khảo " Đề thi học sinh giỏi Liên xô" )
Bài I: (2 điểm )
Cho
a, b,c
là ba số khác nhau từng đôi một,
c 0

.
Chứng minh rằng nếu các phơng trình:
2
x ax bc 0
+ + =
và
2
x bx ca 0
+ + =
có
đúng một nghiệm chung thì các nghiệm thứ hai của các phơng trình đó thỏa
mãn phơng trình
2
x cx ab 0
+ + =
Bài II: (2 điểm )
Gọi
n
S
=
1 1 1
...

<

1 4a 1
2
+ +

Bài V: ( 3 điểm )
Cho đờng tròn (O) nội tiếp tam giác ABC , các tiếp điểm tại D, E, F . Chứng
minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đờng tròn
xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các
cạnh của tam giác DEF
1
đáp án thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn
môn toán chung ( Gồm 2 tờ )
Bài I: 2 điểm. ( Mỗi mục

tơng ứng cho 0,5 điểm )

Ta gọi
0
x
là nghiệm chung của hai phơng trình:
2
x ax bc 0
+ + =
,
( )
1
và
2



+ + =





( ) ( )
0
x . a b c. a b 0
=

( ) ( )
0
a b . x c 0
=
,
a b

0
x c=
.

Mặt khác, áp dụng định lý Viét cho
( )
1
và
( )
2


Ngoài ra:
0 1
0 2
x x a
x x b
+ =


+ =

,
0
x c=



1 2
2c x x a b+ + =
,
( )
4

Kết hợp
( )
4
với
( )
3
ta đợc

k k 1 k 1 k
+
= = +
+ +
+ + +
,
k N,k 1


Suy ra
n
S
=
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 3 2 ... n n 1 n 1 n + + + + +
=
n 1 1
+


n
S
nhận giá trị nguyên , khi
n 1
+
là một số chính phơng . Dạng
2
n k 1=



x y 2x yz x z x z 2xyz y z y z 2xy z x y
+ + + + +
=

2 2 2
6xyz 2x yz 2xy z 2xyz

( )
2
xy xz
+
( )
2
xz yz

+
( )
2
yz xy

=
( ) ( ) ( )
2xyz 1 x 1 y 1 z
+ +

( )
, 3
2

Nhận xét: Từ


,
( )
1, 1, 1

,
( )
1,1, 1

Bài IV: 1điểm. ( Mỗi mục

tơng ứng cho 0,5 điểm )

Ký hiệu: x
n
=
n...so...a
a a a ... a
+ + + +
1 4 4 44 2 4 4 4 43
, ta có x
n
> 0 với

n

1
Ta chứng minh x
n-1
< x

. Theo nguyên lý quy nạp suy ra: x
n-1
< x
n


2
k k 1 k
x a x a x

= + < +

2
n n n n
1 4a 1 1 4a 1
x x a 0 x . x 0
2 2

+ + +
< <
ữ ữ
ữ ữ

n
1 4a 1 1 4a 1
x
2 2
+ + +
< <
. Vậy

MFN MEK
=
(------------
ẳ
ME
)
Suy ra các tam giác MEN và MFH ,
MFN và MEK đồng dạng. Từ đó
MN MF MH
MK ME MN
= =

2
MN MH.MK
=
(1). Bổ
đề đợc chứng minh

áp dụng (1), gọi a, b, c, d, e, f lần lợt là khoảng cách từ M đến các đờng
thẳng chứa cạnh BC, CA, AB, EF, FD, DE của các tam giác ABC và DEF ta đ-
ợc:
2
d b.c,
=

2
e c.a,=

2
f a.b