GIáO VIÊN : LÊ THANH TRƯờNG THPT ĐÔNG SƠN 1
GiảI bài toán định tính của hình không mẫu mực
Bài 1: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Vẽ hai tia Bb, Cc cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng
( ABC). Trêb Bb và Cc lấy BM = u, CN = v. Gọi P là trung điểm của MN.
a) Chứng minh rằng tam giác AMN chỉ có thể vuông góc tại M hoặc N. Tìm hệ thức liên hệ giữa u và v để
tam giác AMN vuông tại M.
b) Chứng minh rằng khi M và N thay đổi trên Bb và Cc sao cho CN = 2BM thì giao tuyến ( D) của ( AMN)
và ( ABC) là một đờng thẳng cố định.
Bài 2: Trong hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) cho hai tam giác cân ACD và BCD cùng đáy CD = 2x và
những cạnh khác có độ dài bằng a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng MN là đờng vuông góc chung của AB và CD.
b) Tính theo a và x độ dài của AB và MN.
c) Với giá trị nào của x thì nhị diện cạnh AB là vuông. Trong trờng hợp đó tính độ dài đoạn AB và chỉ rõ vị
trí của điểm I cách đều bốn điểm A, B, C, D. Tính độ dài IA.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a tâm I. Trên hai tia Ax, Cy cùng chiều và vuông góc với mặt
phẳng ( ABCD) lần lợt lấy hai điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y.
a) Tính thể tích hình chóp ABCMN.
b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để MIN = 90
0
là
2
2 axy
=
Bài 4: Đờng thẳng ( d) tạo với 3 đờng thẳng vuông góc với nhau tong đôi một ( d
1
), ( d
2
), ( d
3
) các góc


= a. Xác định vị trí của điểm C
1
trên Cc
sao cho tam giác A
1
B
1
C
1
có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 7: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Vẽ hai tia Aa, Bb cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng
( ABC). Gọi A
1
, B
1
là hai điểm di động trên Aa, Bb sao cho AA
1
+ BB
1
= 1 ( 1 là độ dài cho sẵn). xác định vị
trí của A
1
B
1
sao cho tam giác A
1
B
1
C có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 8: Hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh a ở trong hai mặt phẳng vuông góc.

1
, bán kính R, chiều cao hình trụ bằng h. Trên
hai đờng tròn ( O) và ( O
1
) có hai điểm di động A, B. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm OO
1
và AB.
1) Chứng minh rằng IK là đờng vuông góc chung của OO
1
và AB.
2) Tính độ dài IK trong các trờng hợp:
a)








+<<=
2
2
4
11,.
h
R
khkAB
b)
( )

.
a) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
GIáO VIÊN : LÊ THANH TRƯờNG THPT ĐÔNG SƠN 1
b) Tìm quỹ tích giao tuyến của các mặt phẳng dựng vuông góc với d
1
và d
2
tại M và N.
Bài 14: Cho đờng thẳng
( )

cố định và một điểm A cố định nằm ngoài
( )

. Một đờng thẳng ( d) biến thiên
luôn đi qua A.
a) Tìm quỹ tích chân N trên (d) của đờng vuông góc chung MN của
( )

và ( d)
b) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Bài 15: Trên hai nửa đờng thẳng Ax và Bt nhận AB làm đoạn vuông góc chung lấy các điểm biến thiên M và
N sao cho AM = BN.
a) Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
b) Chứng minh rằng MN hợp với Ax và By những góc bằng nhau.
c) Chứng minh rằng đờng vuông góc chung của AB và MN đi qua trung điểm I của MN.
d) Tìm quỹ tích giao tuyến của các mặt phẳng dựng vuông góc với Ax và By tại M và N.
Bài 16: Cho 3 điểm A, B, C cố định. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
dCMcBMbAMa
=++

1
đến mặt phẳng ( ACB
1
).
c) Trung điểm của B
1
C đến mặt phẳng ( ACC
1
).
d) Trung điểm của BC đến mặt phẳng (AB
1
C
1
).
Bài 18: Cho tam giác ABC cân tại C có AB = 2a, đờng cao CH = a chứa trong mặt phẳng (P). Trên các đờng
thẳng vuông góc với (P) vẽ từ A, B, C lấy các đoạn AA
1
= a, BB
1
= 3a, CC
1
= 2a nằm cùng một bên đối với
(P). Tính diện tích tam giác A
1
B
1
C
1
.
Bài 19: Trong mặt phẳng