Đáp án đề số 1 - 2009
Phần chung:
Câu 1: Cho hàm số y =
2 3
2
x
x
−
−
có đồ thị là (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, b sao
cho AB ngắn nhất.
Giải: 1) y=
2 3
2
x
x
−
−
(C)
D= R\ {2}
lim 2 : 2
x
y TCN y
→±∞
= ⇒ =
2 2
lim ; lim
x x
y y

2 2
0 0
2 6 6
( 2) ( 2)
x x
x
x x
− +
−
+
− −
(∆ ) ∩ TCĐ = A (2;
0
0
2 2
2
x
x
−
−
)
(∆ ) ∩ TCN = B (2x
0
–2; 2)
0
0
2
(2 4; )
2
AB x


= →


Câu 2:
1) Giải phương trình:
2 2 sin( ).cos 1
12
x x
π
− =
Giải: phương trình ⇔ 2(cosx–sinx)(sinx–
3
cosx)=0 ⇔
3
( )
4
x k
k
x k
π
π
π
π

= +

∈

= +

2 . 2 3
x
x
y
y
x x
x x
y y
y y

 

+ =
+ =

 ÷

 
 
⇔
 
 
 
+ =
+ =
 ÷



  

1
2
3
4
5
x
y
→ Hệ đã cho có 2 nghiệm
3 5 6 3 5 6
; , ;
4 4
3 5 3 5
   
− +
 ÷  ÷
   
+ −
Câu 3:
1) Tính tích phân I =
2
2
6
1
sin sin
2
x x dx
π
π
× +
∫

π
udu
=
( )
3
2
16
π
+
2) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:
(m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1)
Giải: Đk x ≥ 0. đặt t =
x
; t ≥ 0
(1) trở thành (m–3)t+(2-m)t
2
+3-m = 0 ⇔
2
2
2 3 3
1
t t
m
t t
− +
=
− +
(2)

2
3
2 1
8 1
a a
c
c
≥
+
+
Tương tự,
2 2
3 3
;
2 1 2 1
8 1 8 1
b b c c
a b
a b
≥ ≥
+ +
+ +
Ta sẽ chứng minh:
2 2 2
1 (1)
2 1 2 1 2 1
a b c
c a b
+ + ≥
+ + +

2
+4(a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
) +2 (a
2
+b
2
+c
2
)+1 (2)
Ta có: 2a
3
b
2
+2ab
2
≥ 4a
2
b
2

(5)
a
3
+a ≥ 2a
2
; …. (6)
Công các vế của (3), (4), (5), (6), ta được (2).
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) =60
0
, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a.
Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC và O là hình chiếu của S lên AM. Suy ra:
SM =AM =
3
2
a
;
·
0
60AMS =
và SO ⊥ mp(ABC)
⇒ d(S; BAC) = SO =
3
4
a
⇒ V(S.ABC) =
3
3

Giải: Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của B, C lên (∆).
M là đối xứng của B qua ∆ ⇒ M ∈ AC và M là trung điểm của AC.
(BH): x –2y + 3 =0 → H
( )
7
1
;
5 5
−
→ M
( )
7
4
;
5 5
−
BH =
3 5
5
⇒CI =
6 5
5
; C∈ Oy ⇒ C(0; y
0
) ⇒
0
7
5
o
y

2
1
1 1 2
y
z
x
−
+
+
= =
; (d
2
)
1 2
2 ( )
1
x t
y t t
z t
= +


= + ∈


= +

¡
. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm
trong mp(P) và cắt cả 2 đường thẳng (d

ABC
a b S
AB
∆
− −
=
⇒
8(1)
5 3
2(2)
a b
a b
a b
− =

− − = ⇔

− =

Trọng tâm G
( )
5 5
;
3 3
a b+ −
∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3)
(1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r =
3
2 65 89
S

u AI
u
 
 
=
r uur
r
Vậy :
3m− −
=3 ⇔ m = –12( thỏa đk)