Ti liu ụn thi toỏn Su tầm
Đề thi tuyển sinh
*Trờng THPT Nguyễn Trãi
( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho các lớp chuyên tự nhiên)
Thời gian: 150 phút
Bài 1. (3 điểm)
Cho biểu thức.
A =
1
44
242242
2
+






++++
x
x
xxxx
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên
Bài 2.( 3 điểm)
1) Gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình.

1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 180
0
. Tính tỉ số
AB
BC
.
2) Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA,OB vuông góc
với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đờng
thẳng song song với OB cắt cung trong ở C. Tính góc ACD.
Bài 4. ( 1 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
|
2222
caba
++
|

| b-c|
với a, b,c là các số thực bất kì.
1
Ti liu ụn thi toỏn Su tầm
*Trờng năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150 )
Bài 1. ( 2 điểm) cho biểu thức: P(x) =
143
12
2
2
+

xx

1
2
1
1
2
=++
+
xx
x
Bài 3 (2 điểm)
1) Cho x,y là hai số thực thoả mãn x
2
+4y
2
= 1
Chứng minh rằng: |x-y|
2
5

2) Cho phân số : A=
5
4
2
+
+
n
n
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1
2004


+px +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a
1
, a
2
và phơng
trình x
2
+qx +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b
1
,b
2
. Chứng minh: (a
1
- b
1
)( a
2
- b
1
)(
a
1
+ b
1
. b
2
+b
2
) = q
2

2
111
2
2
2
2
2
2


+

+

z
z
y
y
x
x
Câu 4. Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x,y thoả mãn phơng trình:
x
3
-y
3
= 1993.
Chuyên Lê Quý Đôn _ tỉnh Bình Định
(năm học 2005-2006, môn chung, thời gian:150)
3
Ti liu ụn thi toỏn Su tầm

b) Vẽ đồ thị (P) và tìm toạ độ của điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho
tam giác MAB có diện tích max.
Câu4(3,5đ):
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) và có trực tâm H. Phân giác trong của
góc A cắt đờng tròn (O) tại M. Kẻ đờng cao Ak của tam giác.Chứng minh:
a) đờng thẳng OM đi qu trung điểm N của BC.
b) các góc KAM và MAO bằng nhau.
c) AH=2NO.
Câu 5 (1đ):
tính tổng:
S= 1.2 +2.3 + 3.4 + +n(n+1).
Đề thi học sinh giỏi quận tân phú TP.HCM
năm học 2003-2004
4
Ti liu ụn thi toỏn Su tầm
Đề thi toán 6 (thời gian 90 phút)
Bài 1. (5,5 điểm)
1) Cho biểu thức. A =
2
5


n
a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số
b) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên
2) Tìm x biết:
a) x chia hết cho 12; x chia hết cho 25; x chia hết cho 30;
5000

x

3
2004
2
2003
2
2002
2
2005
5
2004
5
2003
5
2005
1
2004
1
2003
1
+
+

+
+
b) Biết . 13+ 23+..+103 = 3025. Tính S = 23+43+63+.+203
c) Cho A =
yx
xyxx
+
+

3
+x
2
-2x +2
g(x) = x
5
- 2x
4
+x
2
- 5x +3
h(x) = x
4
+4x
3
+3x
2
-8x + 4
16
3
a)Tính M(x) = f(x) -2 g(x) + h(x)
b) Tính giá trị của M(x) khi x =
25,0

c) Có giá trị nào của x để M(x) = 0?
Bài 2. (4 điểm)
a) Tìm 3 số a,b,c biết: 3a=2b,5b=7c, và 3a +5c-7b=60
b) Tìm x biết |2x-3|-x=|2-x|
Bài 3. (4) Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức
a)P =







+
+
+
=
3
1
2
3
2
xx
x
A
:
x
xx
x
x
3
13
1
42
2
+


d) Đờng thẳng EDcắt đờng thẳng CB tại K. Tính các tỉ số sau theo b,c
Bài 5(3) Cho tứ giác ABCD,M là một điểm trên CD( khác C, D)
Chứng minh rằng MA + MB < Max {CA+CB; DA+DB}( Là giá trị lớn nhất
trong 2 giá trị CA+CB;DA+DB)
Đề thi học sinh giỏi quận hoàn kiếm (2003-2004)
Toán 7 (120)
Bài 1( 4) Giải phơng trình
04
107
309
105
311
103
313
101
315
=+

+

+

+

xxxx
8
Ti liu ụn thi toỏn Su tầm
Bài 2(4) Cho các số nguyên dơng x,y,z . Chứng minh rằng:
21
<

0
Tính góc BDE
Toán 8( 120 phút)
Bài 1(4)
Giải phơng trình:
110.100
1
....
12.2
1
11.1
1
110.10
1
......
102.2
1
101.1
1
+++=






+++
x
Bài 2(4)
Tìm x để hàm số y= x/(x+2004)

của hình thang đợc 4 đoạn thẳng OA,OB,OC,OD. Chứng minh rằng từ 4 đoạn thẳng
nhận đợc, có thể dựng đợc một tứ giác nội tiếp hình thang này( mỗi đỉnh của tứ giác
nằm trên một cạnh của hình thang cân)
Bài 5(4)
Cho tam giác ABC có AB= c, BC=a,CA=b. Gọi I
b
,I
c
theo thứ tự là độ dài cảu
các đờng phân giác của góc B và góc C. Chứng minh rằng nếu b>c thì I
b
<I
c
Đề thi vào chuyên 10( Hải Dơng)
thời gian: 150
Bài 1(3) Giải phơng trình:
1) |x
2
+2x-3|+|x
2
-3x+2|=27
2)
20
1
)1(
1
)2(
1
2
=

2
+2x-n(n+2)(n+3)=0 có nghiệm
là số hữu tỉ với mọi số nguyên n
Bài 5(2,5) Cho đờng tròn tâm O và dây AB( AB không đi qua O). M là điểm trên
đờng tròn sao cho tam giác AMB là tam giác nhọn, đờng phân giác của góc MAB và
góc MBA cắt đờng tròn tâm O lần lợt tại P và Q. Gọi I là giao điểm của AP và BQ
1) Chứng minh rằng MI vuông góc với PQ
2) Chứng minh tiếp tuyến chung của đờng tròn tâm P tiếp xúc với MB và đờng
tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đờng thẳng cố định khi M thay
đổi.
*Chuyên tỉnh Bà Địa Vũng Tàu. (2004-2005)
thời gian:150 phút
Bài 1:
1/iải phơng trình:
4
2
1
2
2
5
5
++=+
x
x
x
x
2/chứng minh không tồn tại các số nguyên x,y,z thoả mãn:
11
Ti liu ụn thi toỏn Su tầm
x

+2(m+1)x
2
(2m+1)x +m(m+1) =0
Bài 4:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) , D là một điểm trên cung BC không
chứa đỉnh A. Gọi I,K và H lần lợt là hình chiếu cuả D trên các đờng thẳng BC,AB,và
AC. Đờng thẳng qua D song song với BC cắt đờng tròn tại N ( N# D); AN cắt BC tại
M. Chứng minh:
1/Tam giác DKI đồng dạng với tam giác BAM.
2/
DH
AC
DK
AB
DI
BC
+=
*Chuyên toán- tin tỉnh Thái Bình (2005-2006,150 phút)
Bài 1 (3đ):
1. Giải pt:
1231
=+
xxx
2. Trong hệ trục toạ độ Oxy hãy tìm trên đờng thẳng y= 2x +1 những điểm
M(x;y) thoả mãn điều kiện: y
2
5y
x
+6x = 0.
Bài 2(2,5đ):








+






+






+
OF
CF
OE
BE
OD
AD
Bài 4(0.75đ)
xét các đa thức P(x)= x

gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x;y).
1/ Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
2/ Tìm giá trị của m thoả mãn 2x
2
-7y =1
3/ Tìm các giá trị của m để biểu thức
yx
yx
+

32
nhận giá trị nguyên.
Bài 3 (3đ)
Cho tam giác ABC (
0
90

=
A
). Từ B dựng đoạn thẳng BD về phía ngoài tam giác
ABC sao cho BC=BD và
DBCCBA

=
; gọi I là trung điểm của CD; AI cắt BC tại E.
Chứng minh:
1.
IBDIAC



4
+13 = 6x
2
y
2
+ m
xy(x
2
+y
2
)=m
1. Giaỉ hệ với m= -10.
14
Ti liu ụn thi toỏn Su tầm
2. Chứng minh không tồn tại giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất./
Bài 3 (2đ):
Ba số dơng x, y,z thoả mãn hệ thức
6
321
=++
zyx
, xét biểu thức P = x + y
2
+ z
3
1. Chứng minh P

x+2y+3z-3
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4 (3đ):










+
y
y
x
x
yx
yx
xy
yx
2
2
222
.
)(
b)Giải phơng trình:
( ) ( )
10625(625(
=++
xx
Bài 2
15

minh rằng đờng thẳng AD tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDF.
*Trờng Chu Văn An & HN AMSTERDAM ( 2005-2006)
(dành cho mọi đối tợng , thời gian: 150)
Bài 1(2đ): Cho biểu thức P=
x
x
xx
xx
xx
xx 111
+
+
+
+




1.Rút gọn P
2. Tìm x biết P= 9/2
Bài 2(2đ): Cho bất phơng trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m là tham số).
1. Giải bpt với m= 1- 2
2
2. Tìm m để bpt nhận mọi giá trị x >1 là nghiệm.
Bài 3(2đ):
16
Ti liu ụn thi toỏn Su tầm
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d):2x y a
2
= 0 và parabol


)
2
= 1+ sin

Hồ Chí Minh năm học 2004-2005, lớp 7 (thời gian:90)
Bài 1(3đ): Tính:
a)

















+





2
1
6
1
12
1
20
1
30
1
42
1
56
1
72
1
90
1
10
9

Bài 2(3đ):
a) Cho
a
c
c
b
b
a
==