Tìm hiểu bản chất và xây dựng bài toán HHKG

GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre

TÌM HIỂU BẢN CHẤT VÀ CÁCH XÂY DỰNG CÁC BÀI TOÁN HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN GẮN VỚI THỰC TIỄN TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN
HÌNH HỌC PHẲNG
1. Lời mở đầu:
Hình học không gian có một phần rất quan trọng của hình học phổ thông
nói riêng, của môn Toán nói chung và đây là phần tiếp nối của hình học phẳng ở
cấp THCS và có liên hệ gắn kết với hình học phẳng. Bài toán hình học không
gian mặc nhiên có mặt trong đề thi THPT QG với mức độ tương đối khó. Đặc
biệt, bài toán hình học không gian gắn liền với thực tiễn là bài toán xuất hiện
nhiều trong đề thi THPT QG dưới dạng trắc nghiệm ở mức độ vận dụng và vận
dụng cao mà đứng trước một bài toán đó học sinh thường lúng túng và chưa biết
định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu. Thêm vào nữa, mỗi bài toán hình học
không gian đều mang bản chất của một bài toán hình học phẳng nào đó. Hay nói
một cách khác “mỗi bài toán hình học không gian luôn chứa đựng và quy về
một bài toán hình phẳng tương ứng”. Vì vậy để giải được dạng toán này
chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán
đặc trưng cho loại toán.
Trong bài viết này, chúng tôi xin được trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp
và các em học sinh chuyên đề “Tìm hiểu bản chất và xây dựng các bài toán
hình học không gian gắn với thực tiễn từ một số bài toán hình học phẳng” để
giúp học sinh có thêm kiến thức và làm tốt bài tập dạng này và đồng thời góp
phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán ở trường THPT.
2. Các bước tiến hành xây dựng bài toán:
Bước 1: Thiết kế bài toán hình học không gian.
Xuất phát điểm từ bài toán hình học phẳng, trên cơ sở phân tích các yếu tố
và dữ kiện hình phẳng, phát triển và mở rộng hình phẳng từ không gian hai
chiều sang không gian ba chiều, thiết lập các yêu cầu của bài toán mới như

A

G

B

*) Phân tích dữ kiện và phát triển bài toán:
Như vậy, nếu phát triển bài toán hình học trên từ không gian hai chiều
(tức là bài toán hình học trong mặt phẳng) thành bài toán hình học trong không
gian ba chiều (tức là bài toán hình học không gian), ta thêm các dữ kiện như sau:
Gắn với thực tiễn bằng cách gắn thêm không gian ba chiều bằng cách bổ sung
chiều cao bằng 2m vào hình chữ nhật ở trên để có được khối hộp chữ nhật biết
ba kích thước. Ta được một bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong một
phòng tắm. Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là 5m,
Trang 2


Tìm hiểu bản chất và xây dựng bài toán HHKG

GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre

1m, 2m, chỉ xây 2 vách (hình vẽ dưới đây). Biết mỗi viên gạch có chiều dài
20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm. Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu
viên gạch để xây bồn đó và thể tích thực của bồn chứa bao nhiêu lít nước?
1dm

VH'
1dm

VH



Tìm hiểu bản chất và xây dựng bài toán HHKG

GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre

+) Tính thể tích của khối hộp to bao quanh.
+) Từ đó suy ra số viên gạch cần sử dụng và thể tích thực của bồn tắm.
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo các bước đã chỉ ra ở bước 2
Gọi V là thể tích khối hộp chữ nhật
Ta có : V  5m.1m.2m  10m3 VH  0,1m.4,9m.2m  0,98m3 VH   0,1m.1m.2m  0,2m3
VH  VH   1,18m3

Thể tích mỗi viên gạch là VG  0,2m.0,1m.0,05m  0,001m3
Số viên gạch cần sử dụng là
VH  VH  1,18

 1180 viên
VG
0,001

Thể tích thực của bồn là : V   10m3  1,18m3  8,82m3  8820dm3  8820 lít
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả. (Kết quả đúng).
3.2. Bài toán 2.
Bước 1: Xây dựng bài toán hình học không gian.
*) Bài toán hình phẳng:
Xét hình tròn có bán kính bằng R = 6cm, khi đó có thể tính được bất kỳ độ
dài của một cung tròn nào, nếu biết số đo của góc ở tâm chắn cung đó nhờ công
thức l   .R . Từ một cung tròn đó quấn thành một đường tròn, ta có thể tính
được bán kính của đường tròn nhờ biết chu vi của đường tròn.


+) Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: h =
2

2

R r 

x2
R 
.
4 2
2

1
3

+) Thể tích của khối nón: V   r 2 .H 

 x 


3  2 

2

R2 

x2
.

+) Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón.
Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn
đáy của hình nón sẽ có độ dài là x.

Trang 5


Tìm hiểu bản chất và xây dựng bài toán HHKG

GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre

Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2 r  x  r 

R2  r 2 

Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: h =
1
3

Thể tích của khối nón: V   r 2 .H 

 x 


3  2 

2

R2 


4 8 2 8 2
4 2
V2 
. 2 . 2 (R2 
)


9 8 8
4 2
9 
3



x2
x2
2

R

Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi 2
8
4

x

3


 4 2 R 6

các hình trụ (không đáy ) theo hai cách sau:
Trang 6


Tìm hiểu bản chất và xây dựng bài toán HHKG

GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre

Cách 1: gò hai mép hình vuông để thành mặt xung quanh của một hình
trụ, gọi thể tích là của khối trụ đó là V1
Cách 2: cắt hình vuông ra làm ba và gò thành mặt xung quanh của ba hình
trụ, gọi tổng thể tích của chúng là V2.”

Khi đó, tỉ số

V1
là bao nhiêu.
V2

Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
+) Tính R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, suy ra là V1 .
+) Tính R2 là bán kính đáy của khối trụ thứ hai, suy ra là V2 .
Suy ra tỉ số thể tích.
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo các bước đã chỉ ra ở bước 2
+) Gọi R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có
2R1  3  R1 

3
27
 V1  R12h 


A'

H'

O

*) Phân tích dữ kiện và phát triển bài toán:
Mở rộng bài toán hình học phẳng ở trên thành bài toán hình học trong
không gian, như sau:
Gắn tam giác OAB cân với khối nón có OA là đường sinh, AB là đường
kính đáy, HH’ với hình trụ tròn xoay nội tiếp khối nón. Khối nón và khối trụ có
sự liên hệ giữa chiều cao với chiều cao, bán kính đáy với nhau. Nếu biết thể tích
của khối trụ tròn xoay đó thì có thể tính được diện tích xung quanh của khối nón
tương ứng. Ta có bài toán hình học không gian như sau:
“Cho một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Biết

rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một
khối trụ và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là

16
(dm3 ) . Biết rằng một mặt
9

của khối trụ nằm trên mặt đáy của nón (như hình dưới) và khối trụ có chiều cao
bằng đường kính đáy của hình nón. Tính diện tích xung quanh Sxq của bình
nước.”

Trang 8


O

Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo các bước đã chỉ ra ở bước 2
- Gọi bán kính đáy hình nón là R , chiều cao h . Ta có h  3R
- Chiều cao của khối trụ là h1  2R , bán kính đáy là r
- Trong tam giác OHA có H ' A '/ /HA


r H ' A ' OH ' 1
R


 r 
R HA OH 3
3

- Thể tích khối trụ là V   r 2h1 

2 R 3 16

R 2
9
9

- Đường sinh của hình nón là l  OA  OH 2  HA2  9R 2  R 2  2 10
Trang 9


Tìm hiểu bản chất và xây dựng bài toán HHKG


GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre

+) Gọi x , y(m) là các cạnh của thiết diện. Theo Định lí Pitago ta có: x 2  y 2  12 .
Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích của thiết diện là cực đại.
+) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM suy ra thể tích khối gỗ sau khi cưa xong.
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo các bước đã chỉ ra ở bước 2
+) Gọi x , y(m) là các cạnh của thiết diện. Theo Định lí Pitago ta có: x 2  y 2  12
(đường kính của thân cây là 1m ). Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích
1
2

của thiết diện là cực đại, nghĩa là khi x.y cực đại. Ta có: x 2  y 2  2 xy  xy  .
1
.
2

Dấu "  " xảy ra khi x  y 

+) Thể tích khối gỗ sau khi cưa xong: V 

1 1

 8  4 m3 (thiết diện là hình
2 2

vuông).
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả. (Kết quả đúng).
Hoàn toàn tương tự cách làm như trên chúng ta có thể chọn các bài
toán hình phẳng gốc rồi phát triển thành các bài toán hình học không gian
được ra dưới dạng trắc nghiệm khách quan sau đây :


C.
Trang 11

a3 3
.
3

D.

3a3 3
.
4


Tìm hiểu bản chất và xây dựng bài toán HHKG

GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre

Bài 3. (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Lương Tài – Bắc Ninh năm 2017 - 2018).
Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2017, trường THPT A có tổ chức cho học sinh
các lớp tham quan dã ngoại ngoài trời, trong số đó có lớp 12A1. Để có thể có
chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, lớp 12A1 đã dựng trên mặt
đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là
12m và chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung
điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của
tấm bạt sát đất và cách nhau x m (xem hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian
phía trong lều là lớn nhất?

A. x  4


3a 3
24

B. V 

3a 3
12

C. V 

3a 3
8

D. V 

3a 3
4

Bài 6. (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Bình Xuyên – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018).

Trang 12


Tìm hiểu bản chất và xây dựng bài toán HHKG

GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre

  600 , cạnh SC =
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh là 3a, góc BAC

A. V 

8 3a 3
3

B. V  8 3a 3

C. V 

4 3a 3
3

D. V  4 3a3

Bài 8. (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Chuyên Thái Bình năm 2017 - 2018).
Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu
là 2000 lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng
bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?
A. 1m và 2m
B. 1dm và 2dm
C. 2m và 1m
D. 2dm và 1dm
Bài 9. (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Bến Tre – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018). Bạn
Loan là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn định làm một chiếc
thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây:

Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng
có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là:
A. 35 cm; 25 cm
B. 40 cm; 20 cm