SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1. Giải phương trình:
2
3
6 2 ( R)
9
x
x x
x
+ = ∈
−

Câu 2. Giải hệ phương trình:
2
2 2
2 0
( , R)
8 ( 2 )
y xy
x y
x x y

− + =


là các số thực dương thoả mãn điều kiện
1+ + =xy yz zx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3
= + +
+ + +
x y z
P
y yz z xz x xy
.
-------------------------Hết-----------------------------
Chú ý: Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………………SBD: …………………….
SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH
TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008-2009
-------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên)
---------------------------------------------
Câu 1 (2,5 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
ĐK:
2
3
9 0
3
x
x
x
>

9
x x
x
x
⇔ + − =
−
−
0,5
Đặt
2
2
( 0)
9
x
t t
x
= >
−
, ta có PT:
2
6 72 0 6t t t+ − = ⇔ =
.
0,5
Khi đó
2
4 2 2
2
6 36 324 0 18
9
x

2 2
2
2 2

4
4 2 2 0 (1)
2 2 4
yxy
x y xy xy
x xy y
−
⇔ ⇒

=

+ + − =

+ + =


0,5
+ Nếu
0xy ≥
thì (1) trở thành:
2 2
4 0 0x y x y+ = ⇔ = =
. Thử lại không thoả mãn hệ
0,25
+ Nếu
0xy <

Vậy hệ có hai nghiệm
( ; ) (2 2; 2);( 2 2; 2)x y = − −
.
0,25
Câu 3 (1,5 điểm):
Thay
2
1
=
x
, PT đã cho trở thành:
baq
p
b
a
20
24
1
2
1020
−=⇒=






+++



0,25
Thay
ba ,
như trên vào PT đầu có:
0,5
( )
2 2 2 2
20
10
2
2 2 2 2
1 1
(1)
1
4 4
1 1
2
(2)
4 4
 
+ + = − + + + = − +
 
 
− = + + ⇔ ⇔
 
 ÷
 
 
+ + = − + − + + = − + −
 



Vậy các giá trị cần tìm là:
20 20
20 20
1 1
2 1 , . 2 1 , 1 ,
2 4
= − = − − = − =a b p q
và

20 20
20 20
1 1
2 1 , . 2 1 , 1 ,
2 4
= − − = − = − =a b p q
0,25
Câu 4 (2 điểm).
a. 1,0 điểm.
Nội dung trình bày Điểm
O
A
B
C
M
N
a) Đặt
xABMB
=

CONAON
−
−
=
−
=
1
)75(
1
,
)27(
11
−
−
=
−
=
x
x
x
S
x
x
S
BOMAMO
0.25
Do
AMOANOAMON
SSS
+=




=
=
3/2
3/1
x
x
hay



=
=
3/2/
3/1/
ABMB
ABMB
0.25
b. 1,0 điểm.
Nội dung trình bày Điểm
Vì
BMCABN
∆=∆
nên ta có:
0
60
=∠+∠=∠+∠=∠
CBOMBOCBOBCMBOM

AOBAONAMNANMBAMABMB
0.25
Câu 5 (1,5 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
Chứng minh được BĐT:
2 2 2 2
( )
, , ; , , 0
+ +
+ + ≥ ∀ ∈ ∀ >
+ +
x y z x y z
x y z a b c
a b c a b c
R
(Sử dụng BĐT Bunhiacôpxki)
0,25
Ta có
2 2 2 2
( )
3 3 3 3( ) 3
+ +
= + + ≥
+ + + + + +
x y z x y z
P
xy xyz yz xyz xz xyz xy yz xz xyz
0,5
Mặt khác
2

---------------------------------------------