TÍNH HỢP PHÁP CỦA PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ
(Bài giảng luyện thi vào Đai học và cao đẳng)
Trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học và cao đẳng hay thi tuyển chọn
học sinh giỏi thường có câu giải phương trình,bất phương trình hệ phương
trình có chứa căn bậc chẵn
n
xf
2
)(
với n là số tự nhiên lớn hơn 1. Muốn giải
nó ta đặt ẩn phụ
n
xft
2
)(
=
.Vấn đề đặt ra là khi đặt ẩn phụ như vậy có phải
đăt điều kiện
0)(
≥
xf
hay không ?.Nếu không đăt điều kiện đó thì phép giải
bài toán đó có hợp pháp không ? Vấn đề này sẽ bổ ích cho học sinh khi làm
bài thi.
A.Một số ví dụ:
Ví du 1:Giải phương trình:
10239
=−+
xx
.(1)
(Nguyễn Huy Đoan- Bài tập Đai số 10 nâng cao)

, (2).
Giải :Phương trình (1)
055426542
22
=++−−+−⇔
xxxx
.Đặt
542
2
+−=
xxt
.Khi đó (2) trở thành :t
2
-6t+5=0.Giải ra ta có hai nghiệm:t=1 và t=5.
+t=1
04421542
22
=+−⇔=+−⇔
xxxx
vô nghiệm.
+t=5



⇔=−−⇔=+−⇔
+=
−=
111
111
22


⇔



⇔
−<
<≤−
<+



≥+
+>+
1
21
01
01
2
)1(5
2
t
t
t
t
tt
+ t<-1
1253
2
−<++⇔

3
2
x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (-2;-1]
∪
[-2/3;1/3).
(Nguyễn Huy Đoan-Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Đại số 10).
Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy khi giải các phương trình hay bất
phương trình bằng cách đặt ẩn phụ ,không đặt điều kiện của ản mà chỉ đặt
điều kiện thừa
0
≥
t
,nhưng có những bài cũng không đặt điều kiện đó nữa.
Đẻ cho tiện ta lấy đại diện một phương trình:
0,0)()(
≠=++
acxfbxaf
(I).
1
Có nhiều người cho rằng khi giải phương trình đó khi đặt
)(xft
=
thì phải
đặt điều kiện
0)(
≥
xf
.Nếu không đặt điều kiện đó thì phép giải đó không

≥
xf
Cách 2:
* Giả sử (I) có nghiệm x
0
a
0)()(
00
=++
cxfbxf
)(
0
xf
⇒
luôn tồn
tại.Do dó đặt
)(
0
xft
=
ta có phương trình:at
2
+bt+c=0 (II).Các bước như
cách 1.
Một đồng nghiệp của tôi cho rằng khi đặt ẩn phụ
)(xft
=
mà không đặt
điều kiện
0)(

rối và tự đặt câu hỏi chẳng nhẽ nhiều người sai đến vậy (trong đó có cả các
nhà khoa học đầu ngành) .Từ đó tôi đi tìm một cách lí giải khác.Trong thực
tế thì không ai giải như vậy mà chúng ta giải một cách đơn giản và gọn nhẹ
hơn.
C.Tính hợp pháp của phép đặt ẩn phụ.
1) Thế nào là một phương trình:
Một câu hỏi đặt ra là (**) có phải là một phương trình không?Để trả lời câu
hỏi đó ta tìm hiểu thế nào là phương trình:
a) Khái niệm hàm số:Cho tập hợp khác rỗng
RD
⊂
.
Hàm số
f
xác định trên D là một quy tắc tương ứng mỗi x thuộc D với một
và chỉ một số,kí hiệu là
)(xf
;số
)(xf
đó là giá trị của hàm số f tại x.
Tập D gọi là tập xác định,x gọi là biến số của hàm số f.
Từ đó suy ra : D là tập xác định của hàm số f thì D khác rỗng.
b) Thế nào là một phương trình (bất phương trình).
2
Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có tập xác định lần lượt là D
f
và D
g
.Đặt
gf

)(xh
không tồn tại.
+Nếu f(x) chứa
)(xh
suy ra không tồn tại x thuộc D
f
để f(x) xác định nên
f(x) không phải là hàm số.
+Nếu g(x) chứa
)(xh
thì g(x) không phải là hàm số.
Từ đó suy ra f(x)=g(x) không phải là phương trình.
Trái với giả thiết chứng tỏ luôn tồn tại x thuộc R để
)(xh
xác định.
Vì vậy khi giải phương trình (I) đặt
)(xft
=
mà không đặt điều kiện
0)(
≥
xf
là hoàn toàn hợp pháp.Do đó không có chuyện nhiều tác giả viết
sách sai như một đồng nghiệp của tôi đã khẳng định.
d) Các bước giải phương trình (I) .
Bước 1: Đặt
)(xft
=
,
0

x
(1)
Giải: pt(1)
012
1
4
1
1
=−
+
+
+
x
x
.Đặt
=
t
0,
1
1
〉
+
t
x
ta có pt t
2
+4t-12=0
Giải ra ta có hai nghiệm t=2 t=-6 Do t>o nên t=-6 loại.
t=2
4

-3=0 với
0
≥
u
.Giải pt có các nghiệm:u=-1 loại ,
0
2
213
<
−
=
u
loại ,
2
213
+
=
u
1)
2
213
(
2
213
1
6
6
+
+
=⇔

1111
≥−
=+−
⇔−=−⇔=−−⇔
x
xx
xxxx
⇔
x=1 hoặc x=2.
+t=2
{
2
055
2
21
≥
=+−
⇔=−−⇔
x
xx
xx
2
55
+
=⇔
x
.
Vậy phương trình có ba nghiệm là:x=2,x=2,x=
2
55

+−=−−
xxxx
(5)
Giải:
(5)
0510310
2
=+−−−⇔
xxxx
.
Cách 1:Đặt
otxxt
≥−=
,10
2
txx 21010
+=−+⇒
.Khi đó ta có phương
trình:
53210
+=+
tt




⇔
−≥
=+−
3

0
3
10
≤−=
t
(loại).
t=4
⇔⇔=−+⇔
..........410 xx
x=1 hoặc x=9.
Chú ý:Phương trình dạng :
0)(()(
=+−++−±+
cxnmxbxnmxa
ta
đăt
xnmxt
−++=

2
))((
2
nmt
xnmx
−−
=−+⇒
.
Riêng pt:
0))(()(
=+−++−−+

.ta có pt t
2
-5t+6=0
⇔
t=2 hoặc t=-7.
+t=2
{
⇔⇔⇔=
−
+
−⇔
>
=−+
........2
1
2
)1(
1
06
2
x
xx
x
x
x
x=2.
+t=-7
{
2
2051

với
ot ≥
(***) Điều
kiện này gọi là điều kiện thừa.
Ví dụ 2:
Cho phương trình :
44
+=+
xmx
(1) ,m là tham số.
1) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
2) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Đặt
mxt
+=
.Do x+m
00
≥⇒≥
t
(Đây là điều kiện đúng) ta có pt:
t
2
-4t-m+4=0 (2).
m
=∆
,
1) Pt (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (2) có đúng một nghiệm
0
≥

khi và chỉ khi (2) có nghiệm t=0 hoặc có hai nghiệm dương hoặc có
hai nghiểmtái dấu.
+(2) có nghiệm t=0
⇔
4-m=0
4
=⇔
m
+(2) có hai nghiệm trái dấu
440
><⇔−⇔<⇔
mmP
.
+(2) có hai nghiệm dương
0.,0
>≥∆⇔
S
và P>0
40
≤<⇔
m
Từ đó ta có m
0
≥
thì (1) có nghiệm.
Cách 2: (1)
mxx
=−−⇔
)1618(
16