S GIO DC & O TO K THI CHN HC SINH GII TNH
THA THIấN HU KHI 12 CHUYấN - NM HC 2008-2009
THI CHNH THC
Moõn : TOAN
Thụứi gian laứm baứi : 180 phuựt
Ba

i 1: (4 im)
Tỡm cỏc cp s thc
( )
;x y
sao cho:
2 4 32
8
x y
xy

+ =

=

Ba

i 2: (6 iờ

m)
Cho khi lng tr ng (L) cú cnh bờn bng
7a
. ỏy ca (L) l lc giỏc li ABCDEF cú tt c cỏc gúc
u bng nhau v
, 2 , 3 ,AB a CD a EF a

;X X
vi
1
X
v
2
X
l cỏc tp con ca S tha iu kin:
1 2
X X S=U
.
b) Hi cú bao nhiờu cỏch thnh lp tp hp
{ }
;A B
, trong ú
A
v
B
l hai tp hp khỏc nhau sao cho
{ }
1,2,3,...,2007,2008A B =U
?
Ht
Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Thừa Thiên Huế Khối 12 CHUYấN - Năm học 2008-2009
Moõn : TOAN
ẹAP AN - THANG ẹIEM
Ba

i 1 NI DUNG IM

vo phng trỡnh u ta c:
16
2 2 32
x
x
+ =
.
Xột hm s
16
( ) 2 2
x
x
f x = +
vi
0x >
.
1,0
16
2
16
'( ) 2 ln 2 2 ln 2;
x
x
f x
x
=
16
16 16
'( ) 0 2 2 ( 0) 4
x

x
x
x
x
f x

+ +
ữ

ì =
.
Vi
0x
>
thỡ
16
8x
x
+
. Do ú
( ) 32f x >
vi mi
0x
>
Ba

i 2 (6)
a)
(3 )
Th tớch ca (L) l:

BG AF=
uuur uuur
, ta cú:
4 , 2 5FG ED BG CD= =
uuur uuur uuur uuur
.
Dng im H sao cho
FH ED=
uuur uuur
, ta cú im H trờn tia FG vi
4FH a
=
v
2 , 3DH CB DH a= =
uuuur uuur
.
Dng im K sao cho
DK CB=
uuur uuur
, ta cú im K trờn tia DH vi
6DK a
=
v
, 2BK CD BK a= =
uuur uuur
.
Do
2 5BG CD=
uuur uuur
v

F
1
. Các điểm G, H, K lần lượt biến thành G
1
, H
1
, K
1
.
1,0
Khối (L) là hợp bởi các khối lăng trụ đứng sau:
1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
. . 2) . . 3) . . 4) . .ABGF A B G F EFHD E F H D CDKB C D K B GHK G H K
Do ABGF, EFHD và CDKB là các hình bình hành nên các khối
1 1 1 1
.ABGF A B G F
,
1 1 1 1
.EFHD E F H D
,
1 1 1 1
.CDKB C D K B
là các khối hộp.
Do tam giác GHK là tam giác đều nên khối
1 1 1
.GHK G H K
là khối lăng trụ đều.
1,0
Ba

3 3 3 3
2 1 3 4 2 2 1 1 3 3 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2y y y y x x x x x x x x− = − ⇔ − − − = − − −

( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 1 2 2 1 1 3 4 3 3 4 4
2 2 2 2x x x x x x x x x x x x⇔ − + + − = − + + −
Vì
2 1 3 4
0x x x x− = − ≠
nên
2 2 2 2
2 2 1 1 3 3 4 4
2 2 2 2x x x x x x x x+ + − = + + −
. Do đó
2 1 3 4
x x x x=
1,0
Để chứng tỏ tâm của hình bình hành
1 2 3 4
M M M M
là gốc tọa độ O ta chứng tỏ:
1 3
0x x+ =
và
1 3

1 1 1 2 2 2
; , ; ,M x y M x y
( ) ( )
3 3 3 4 4 4
; , ;M x y M x y
nằm trên đồ thị (C):
3
2 2y x x= −
. Theo câu a) hình vuông
1,0
1 2 3 4
M M M M
có tâm O. Gọi
k
là hệ số góc của đường thẳng
1 3
M M
. Không mất tính tổng quát
có thể giả sử
0k
>
. Lúc đó đường thẳng
2 4
M M
có hệ số góc là
1
k
−
Xét hình thoi
1 2 3 4

2 2 , 2 2
4
x x x x k
k k
 
− = − = − >
 ÷
 ÷
 
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2
2
1 1
2 2 1 ; 2 2 1OM x y x k x k k OM
k k
  
= + = + = + + = − +
 ÷ ÷
  
1,0
Hình thoi
1 2 3 4
M M M M
là hình vuông khi và chỉ khi:
( )
( )
2 2 2

2 4
k
−
= >
, nghiệm còn lại là
1
k
−
. Đó chính là
hệ số góc của hai đường chéo
1 3
M M
và
2 4
M M
của hình vuông đang xét.
Có đúng một hình vuông thỏa bài toán.
1,0
Bài 4 (3 đ)
a)
(2,0)
Một phần tử thuộc
1 2
X XU
khi và chỉ khi thuộc đúng vào một trong 3 tập phân li đôi một sau: 1)
1 2 1 2 2 1
\ 2) 3) \X X X X X XI
.
Ngoài ra:
( ) ( )

. Khi
A B S=U
thì A, B là các tập con của S.
Số cặp có thứ tự
( )
1 2
;X X
với
1 2
,X X
là các tập con của S thỏa điều kiện:
1 2
X X S=U
là
2008
3
1,0
Trong đó có một cặp
( )
,S S
và
2008
3 1−
cặp
( )
1 2
;X X
với
1
X