Đáp án câu 5:
Đề: Cho x, y, z là các số thực t/m: x
2
+ xy + y
2
= 1 -
3
2
z
2
(*)
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của D = x + y + z.
Bài làm:
Cách 1:
Từ (*) ta có : 2 x
2
+ 2xy + 2y
2
= 2 - 3z
2

<=> x
2
+ 2xy + y
2
+ z
2
+ 2yz + 2zx = 2 - 2z
2
- x
2


2
hay -
2
≤
D
≤

2

Vậy:
D
min
= -
2
<=> x = y = z =
2
3
−
D
max
=
2
<=> x = y = z =
2
3
Cách 2:
Từ D = x + y + z => x + y = D – z ,
nên từ (*) => xy = (x+y)
2

2
+
3
2
z
2
- 1 ]
≥
0
<=> - 3(D-z)
2
- 6z
2
+ 4
≥
0
<=> 9z
2
– 6Dz + 3D
2
- 4
≤
0 ta xem là BPT ẩn z và vì luôn có nghiệm
( nếu 9z
2
– 6Dz + 3D
2
- 4 = 0 vô nghiệm, thì 9z
2
– 6Dz + 3D

2
≤
D
≤

2

D
=
2
=>
'
z
∆
= 0 => Nghiệm kép: z
1
= z
2
=
3
D
( = z)
=> 9z
2
– 6Dz + 3D
2
- 4 = 0 =>
'
X
∆