Nguyễn Vũ Minh
(Cực Trò Trong Không Gian Toạ Độ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) và đường thẳng






=
+−=
−=
t2z
t2y
t1x
:d
. Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d ; hãy viết phương trình đường thẳng
)(
∆
có khoảng cách đến điểm B là : a) Nhỏ nhất. b) Lớn nhất
Bài giải đề nghò.
Cách 1 : Phương pháp hình học.
Gọi
)(
∆
là đường thẳng qua A và cắt d;
)(
∆
và d cùng thuộc măt phẳng (P)= mp(A;d).
Gọi H là hình chiếu của B trên (P); K là hình chiếu của H trên
)(

nằm trong (P) và vuông góc với BA.
a) Trường hợp d(B,
)(
∆
nhỏ nhất.
Phương trình mp(P)= mp(A,d).
VTCP của d là
)2;1;1(a
d
−=
→
. Hai điểm A(1;4;2) và M(1;-2;0) thuộc d và
)2;6;0(AM
−−=
→
.
Do đó VTPT của mp (P) là
)6;2;10(AM,an
d
−=






=
→→→
. Ta chọn
)3;1;5(n

7
12
(AH
−−=
→
. Chonï VTCP của
)(
∆
là
)19;18;15(a
−=
→
.
Ta đựoc phương trình của
)(
∆
:
19
2z
18
4y
15
1x
−
−
=
−
=
−
b) Trường hợp d(B,

−=
→
Ta được phương trình đường thẳng
3
2z
4
4y
1
1x
:)(
−
=
−
=
−
−
∆
Cách 2: Phương pháp giải tích.
Gọi M = d
∩
)(
∆
thì M( 1-t;-2+t;2t) và
)(
∆
có VTCP là
)2t2;6t;t(AM
−−−=
→
.


=
→
→→
1
Nguyễn Vũ Minh
Xét hàm số
20t10t3
208152t28
d)t(f
2
2
2
+−
+−
==
.
Ta có
22
2
)20t10t3(
)60t8t11(16
)t('f
+−
−−
=
. f(t)= 0
⇔
t = -2 hoặc t= 30/11.
Do

ta được phương trình
3
2z
4
4y
1
1x
:)(
−
−
=
−
−
=
−
∆
Với min f(t)= mind
2
=4/15 , ta có min d=
15
2
khi
11
30
t =
cho





−
−
=
−
=
−
Hết
2