CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10
CHUYÊN ĐỀ 1 : CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI
Bài 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm trên đường tròn. Tiếp
tuyến tại A và C của (O) cắt nhau tại P. CH là đường cao của tam giác ABC (H thuộc
AB), M là trung điểm của CH. Chứng minh rằng B, M, P thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh
AB, AC lần lượt tại D, E. BO cắt DE tại F. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC,
BC. Chứng minh rằng F, M, N thẳng hàng.
Bài 3:Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh
AB, AC lần lượt tại D, E. BO cắt DE tại F. M, N là trung điểm của AC và BC. MN cắt
DE tại F. Chứng min B, O, F thẳng hàng.
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC, đường cao AH.
Đường tròn (O) cắt đường tròn (A; AH) tại P và Q. Gọi D, E là hình chiếu của H trên
AB, AC. Chứng minh rằng 4 điểm P, Q, D, E thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung BC không
chứa A. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC và AB.
a) Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng.
b) Gọi I, J, K lần lượt là các điểm đối xứng của M qua D, E, F. Chứng minh rằng I, J,
K cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó đi qua trực tâm H của tam giác
ABC.
Bài 6: Cho đường tròn (O) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến
SA, SB đến đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). D là một điểm trên đường tròn (O)
( D khác A và B) SD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng tiếp tuyến của
(O) tại D và E cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng AB.
Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC tại
E và D . Tiếp tuyến tại D và E của (O) cắt nhau tại S. Gọi H là giao điểm của BD và
CE.
a) Chứng minh A, S, H thẳng hàng.
b) SB cắt (O) tại K. Chứng minh 3 đường thẳng DE, AH và CK đồng qui tại một
điểm.

Bài 3: Chứng minh
Bài 4: a) Tự chứng minh.
b) Chứng minh tứ giác AHFB nội tiếp. Suy ra .
Chứng minh
Từ đó suy ra K, H, J thẳng hàng.
3. Bài 5: Gọi I là giao đểm của P là giao điểm của hai tiếp tuyến tại D và E của (O). I
là giao điểm của OP và DE.
Chứng minh . Khi đó chứng minh , suy ra
(1)
Chứng minh 5 điểm S, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn, suy ra
Từ (1) và (2) suy ra P, A, B thẳng hàng.
4. Bài 6: Gọi I là giao điểm của DE và AH. Chứng minh K, I, C thẳng hàng.
Gọi F là giao điểm của AH và BC.
Chứng minh
Suy ra tứ giác BKIF nội tiếp, suy ra
Mà
Suy ra điểu cần chứng minh.
5. Bài 8: Gọi K là giao điểm của DE và SO. Chứng minh K, M, A thẳng hàng.
Chứng minh IKEQ nội tiếp. (giống bài 2)
Chứng minh IPOQ nội tiếp.
Chứng minh KM// PI và MA // PI
Suy ra điều cần chứng minh.
6. Bài 9 là bài khó nhất, khi chứng minh 3 điểm M, H, N thẳng hàng! Em đã tìm được
PP chứng minh, nhưng nó quá dài dòng, mong Thầy post lên pp ngắn gọn nhất em
cảm ơn Thầy!
7. Chứng minh được là hay rồi, đôi khi cách dài dòng nhưng mình tốn thời gian ít, còn
cách ngắn gọn nhưng tốn thời gian nhiều và đôi khi không có lợi trong khi thi.
Bài 9: d) Chứng minh
Suy ra
Page 2

Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN và tia đối của tia AO. Ta
có không đổi vì A và (O) cố định. Hơn nữa P
thuộc tia đối của tia AO cố định nên P là điểm cố định.
Bài toán 4: (NK 2006 - 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB là một dây cung
cố định và E là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn
tâm O bán kính OE tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP. AQ không đổi và đường
tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định.
Gợi ý:
Page 3
CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10
Vì E là trung điểm của AB nên OE vuông góc với AB, suy ra AB là tiếp tuyến của (O;
OE). Ta chứng minh được không đổi.
Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ và AB. Khi đó ta có:
không đổi. Suy ra I là điểm cố định.
Bài toán 5: (HSG Q. Tân Bình 2005 - 2006) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ
các tuyến ABC (B, C thuộc (O)). Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Gợi ý:
Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC và AO. Tương tự như hai
bài trên ta chứng minh được E là điểm cố định. Từ đó suy ra tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác OBC luôn thuộc đường trung trực của OE.
Bài tập
Bài 1: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt (O). M là một điểm thay đổi
trên d, từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB đến (O) (A, B là hai tiếp điểm). Chứng minh
AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm S cố định nằm ngoài đường tròn. AB là
đường kính thay đổi. SA, SB cắt (O) tại C và D.
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 3: Cho 3 điểm C, A, B thẳng hàng và được xếp theo thứ tự đó. Một đường tròn

AC = AN. Gọi K là giao điểm của BN và CM. Chứng minh KC = 4KM.
Hướng dẫn giải:
Page 5
CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10
Ta có và
Suy ra , suy ra
Bài 2: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. AO, BO, CO lần lượt cắt
BC, AC và AB tại M, N, P. Chứng minh:
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Chứng minh tương tự ta có: và
Từ đó suy ra:
Bài 3: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng hai hình chữ nhật ABDE và
ACFG có diện tích bằng nhau. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác
ABC. Chứng minh OC đi qua trung điểm của DF.
Hướng dẫn giải:
Ta cần chứng hai tam giác OCD và OCF có diện tích bằng nhau. Vẽ Vẽ OH, OK lần
lượt vuông góc với CD và CF(H thuộc CD, K thuộc CF). Ta chứng minh được
. Từ đó suy ra:
và
Mà nên ta có: . Từ đó ta có: OC đi qua trung điểm của DF
Bài 4: Trên các cạnh AB, AB, AC của tam giác ABC cố định, người ta lần lượt lấy
các điểm M, N, P sao cho:
a) Tính theo và
Page 6
CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10
b) Tính k sao cho đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vì

2CM. Đường thẳng qua B vuông góc với DM tại H cắt CD tại K. Tính diện tích tam
giác CKH.
CHUYÊN ĐỀ 4 : BÀI TOÁN CỰC TRỊ CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. M là điểm di chuyển trên cung
lớn AB, H là hình chiếu của M trên AB. Tìm vị trí của M để MH đạt giá trị lớn nhất.
Giải bài toán trong trường hợp M thuộc cung nhỏ AB.
Hướng dẫn giải:
Vẽ OI vuông góc với AB (I thuộc AB). Ta có . Dấu ” =” xảy ra
khi và chỉ khi M, O, I thẳng hàng hay M là trung điểm cung AB.
Vậy MA + MB đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm cung AB.
Tương tự đối với trường hợp M là trung điểm cung nhỏ AB.
Bài 2: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. M là một điểm thay đổi trên cung
nhỏ AB. Tìm vị trí của M để tổng MA + MB đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
Trên tia đối của tia MA lấy điểm C sao cho MB = MC. Khi đó ta có MA + MB = AC.
Ta có
Suy ra C thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn AB. Từ đó AC lớn nhất khi AC
là đường kính. Khi đó M là trung điểm cung AB.
Vậy MA + MB lớn nhất khi M là trung điểm cung AB.
Trên đây là hai bài toán cực trị cơ bản của lớp 9, từ hai bài toán trên ta có thể
giải các bài toán sau:
Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. C là điểm thay đổi trên cung lớn
AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm vị trí của C để chu vi, diện tích tam
giác HAB có giá trị lớn nhất.
Bài 2: Cho đường tròn (O) và AB là dây cố định. Tìm điểm C thuộc cung lớn AB sao
cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: Chứng minh rằng trong các tứ giác nội tiếp đường tròn (O) thì hình vuông có
chu vi lớn nhất.
Page 8
CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10

Hướng dẫn giải:
Chúng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đó để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp
ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC.
Thật vậy ta có:
(hệ thức lượng trong tam giác vuông APO)
(tam giác APB và ACP đồng dạng).
Page 9
CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10
Từ đó ta có , theo bài 1 ta có điều cần chứng minh.
Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B và
tiếp xúc với AC tại C. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ dây cung DE của (O) đi
qua H. Chứng minh rằng tứ giác ADOE nội tiếp.
Hướng dẫn giải
Tam giác OCA vuông tại C, CH là đường cao nên ta có:
Dây cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nên ta có
Từ đó ta có , chứng minh tương tự bài 1 ta có tứ giác ADOE nội
tiếp.
Bài tập
Bài 1: Cho đườn tròn (O; R) và một điểm I nằm trong đường tròn. Hai dây cung AB
và CD cùng đi qua I. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và D cắt
nhau tại Q. Gọi M là giao điểm của OQ và CD, N là giao điểm của OQ và AB. Chứng
minh:
a) Tứ giác MNPQ nội tiếp.
b) OI vuông góc với PQ.
Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD ( AB//CD). Gọi O là trung điểm của AD. Đường
thẳng qua A vuông góc với OB cắt đường thẳng qua D vuông góc với OC tại K.
Chứng minh OK vuông góc với BC.
CHUYÊN ĐỀ 6 : CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN
Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ta dùng các
cách sau đây:

tuyến của (O).
Giải: Ta thấy F là giao điểm của MF và (O). Ta sẽ sử dụng cách 2 để chứng minh.
Tức là ta cần chứng minh .
Ta chứng minh được I là trực tâm của tam giác ABC.
Trong tam giác vuông AFI có FM là trung tuyến nên MF = FA = BI, suy ra tam giác
MFA cân tại M, suy ra .
Ta cũng có:
(Tam giác OCF cân tại O).
Từ đó: . Suy ra . Vậy
nên MF là tiếp tuyến của (O).
CHUYÊN ĐỀ 7 : CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI 10 CHUYÊN TOÁN
Bài 1:
a) Cho đường tròn (O) và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường
thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (O) tại M, N. Chứng minh rằng đường
tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d không cắt đường tròn. I là điểm di động
trên d. Đường tròn đường kính OI cắt (O) tại M và N. Chứng minh MN luôn đi qua
một điểm cố định.
Hướng dẫn giải
Page 11
CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MON cắt tia đối của tia AO tại P. Ta dễ dàng chứng
minh được AO. AP = AM. AN.
Mặt khác vẽ đường kính qua của (O) qua A, cắt đường tròn tại D và E. Ta chứng minh
được .
Khi đó
AP không đổi và thuộc tia đối của tia AO nên P là điểm cố định.
Vậy (MON) luôn qua điểm P cố định.
b) Đường tròn đường kính OI cắt (d) tại H. Khi đó ta có . Suy ra H cố định.
Ta có (O) và đường tròn đường kính IO cắt nhau tại M, N nên ta có OI là đường trung

b) Vẽ tiếp tuyến By của (J), chứng minh By // AC. Suy ra
Ta có OI là đường trung trực của AC, suy ra
Và IJ là đường trung trực của MN, suy
Tứ đó ta có: BJ// IO (cùng vuông góc AC) và OB // IJ (cùng vuông góc MN)
Suy ra tứ giác BJIO là hình bình hành.
c) Gọi G là giao điểm của BI và OJ, suy ra G là trung điểm của BI.
Page 13
CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10
Ta có OJ là đường trung trực của BH (B, H là giao điểm của (O) và (I)), mà G thuộc
OJ nên GB = GH.
Trong tam giác BHI có HG là trung tuyến và nên BHI vuông tại H.
Bài 4: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp thoả mãn hệ thức . Hãy định dạng tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Ta có
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mà ta luôn có
Suy ra . Khi đó ta có .
Từ đó ta có tam giác ABC là tam giác vuông cân.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến
AM. Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E (D khác E và khác
điểm A).
a) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.
b) Chứng mình và
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn
(O). Tứ giá AMOH là hình gì?
d) Cho . Tính diện tích tam giác HEC theo a.
Hướng dẫn giài
a) Ta có nên DE là đường kính của đường tròn (H; HA). Suy ra D, H, E
thẳng hàng.

do đó:
Suy ra
Tam giác AMN vuông tại M có MA = MB (t/c đối xứng trục của hình thang) nên là
tam giác vuông cân, suy ra
Tam giác ABC cân tại A, suy ra
$latex =\widehat{MBC} + 2 \widehat{MBC} + 2 \widehat{ABM}$
Suy ra
Từ đó ta có
Và
Bài 7: Cho đường tròn (O), bán kính bằng 1. Tam giác ABC thay đổi luôn ngoại tiếp
(O). Một đường thẳng qua O cắt các cạnh AB, AC tại M và N. Xác định giá trị nhỏ
nhất của diện tích tam giác AMN.
Hướng dẫn giải
Đặt .
Khi đó ta có
Và
Ta có
Suy ra
Dấu ” =” xảy ra ra tam giác ABC vuông tại A và MN vuông góc với AO.
Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN bằng hai.
Bài 8: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có AB <
AC. Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa A. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của
A trên BC, AB, AC.
a) Chứng minh rằng
b) Tìm vị trí của M để đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Page 16
CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10
a) Chứng minh
Chứng minh

Bài 10: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD với D thuộc đoạn BC sao
cho . Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
cắt đường thẳng BC tại E. Tính AE theo a, b.
Hướng dẫn giải
Ta có suy ra C nằm giữa B và E.
Đặt
Ta có
Và (Góc ngoài bằng tồng hai góc trong không kề)
Page 18
CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10
Mà + (AD là phân giác của góc A)
+ (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn
cung đó)
Nên ta có: (1)
Mặt khác ta có (2)
Từ (1) và (2) ta có phương trình :
Vậy
Bài 11: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không qua O cắt đường tròn tại A
và B. Từ một điểm M di động trên đường thằng (d) và nằm ngoài (O) ta vẽ hai tiếp
tuyến MN, MP với (O) (N, P là hai tiếp điểm)
a) Chứng minh
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua một điểm cố định khi M
lưu động trên đường thẳng (d).
c) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình
vuông.
d) Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP luôn di động trên
một đường cố định khi M lưu động trên (d).
Hướng dẫn giài
a) Ta có (MN là tiếp tuyến của (O))
Và (MP là tiếp tuyến của (O))

giác dựng tam giác đều ACD. BD cắt đường tròn tại E và cắt đường cao AH của tam
giác ABC tại M.
a) Chứng minh tứ giác ADCM nội tiếp.
b) Tính DE theo R.
Hướng dẫn giải
Page 20
CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10
a) Ta có AB = AC, OB = OC nên AO là đường trung trực của BC nên cũng là đường
cao và là đường phân giác góc A.
Ta có (c.g.c)
Suy ra
Ta có AD = AC (tam giác ACD đều) và AC = AB (tam giác ABC cân) suy ra AD =
AB, tam giác ABD cân tại A, do đó:
Từ (1) và (2) ta có: tứ giác ADMC nội tiếp ( 2 đỉnh kề cùng nhìn
một cạnh dưới hai góc bằng nhau)
b) Ta có
Xét tam giác AOC và tam giác DEC có:
+ (ADCM là tứ giác nội tiếp)
+ (cmt)
Suy ra
Bài 14: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, có và AC cắt BD tại I.
Biết rằng IA = 6cm, IB = 8cm, ID = 3cm.
a) Chứng minh tam giác ABC cân.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính độ dài đoạn MN.
c) Gọi P là giao điểm của IO và MN. Tính độ dài đoạn PN.
Hướng dẫn giải
a) Xét và có:
+ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
+ (đối đỉnh)
Do đó:

c) Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDP. Chứng minh E luôn di chuyển
trên một đường thẳng cố định khi CD thay đổi.
Hướng dẫn giải:
Page 22
CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10
c) Vì CDQP là tứ giác nội tiếp nên tâm E của đường tròn ngoại tiếp cũng là tâm
đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDQP.
Ta có I là trung điểm PQ, suy ra
O là trung điểm của CD, suy ra
Mà ta có (PQ là tiếp tuyến của B tại B)
và (câu b)
Từ đó ta có: , suy ra tứ giác AOEI là hình bình hành. Suy ra EI = AO
= R.
Ta có , suy ra E nằm trên đường thẳng song song với PQ và cách PQ
một khoảng R (đường thẳng này khác phía với A đối với đường thẳng PQ)
Bài 16: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi K là trung điểm cung AB. M là
điểm lưu động trên cung nhỏ AK (M khác A và K). Lấy điểm N trên đoạn BM sao
cho: BN = AM.
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh tam giác MNK vuông cân.
c) Hai đường thẳng AM và OK cắt nhau tại D. Chứng minh MK là đường phân giác
của góc .
d) Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với BM tại N luôn đi qua một điểm cố
định.
Hướng dẫn giải:
a)Ta có (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Và KA = KB (K là trung điểm cung AB)
Suy ra tam giác KAB là vuông cân tại K.
Xét hai và có:
+ MA = NB (gt)

Suy ra: (cùng phụ với
Ta lại có: (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Từ đó suy ra: tứ giác PCDQ nội tiếp (Góc ngoài bằng góc trong đỉnh
đối diện)
b) Ta có (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
Page 24
CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10
Tam giác APQ vuông tại A có AI là trung tuyến nên ta có: , suy ra
tam giác IAQ cân tại I
Hơn nữa ta có: (cmt)
Suy ra:
Suy ra:
Bài 18: Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) (AB không đi qua O), hai điểm C, D
lưu động trên cung lớn AB sao cho AD//BC (AD > BC). Gọi M là giao điểm của DB
và AC. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại I
a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng.
b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: IA = AD (1)(t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OD (2)(A, D thuộc đường tròn (O))
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên :
Vì AD //BC nên
Suy ra:
Tứ giác ABCD có AD//BC và nên là hình thang cân, suy ra: AC = BD
và DC = AB. Suy ra (c.c.c).
, suy ra tam giác MAD cân tại M, suy ra MA = MD (3)
Từ (1), (2) và (3) Ta có 3 điểm I, O, M cùng nằm trên đường trung trực của AD nên
thẳng hàng.
b) Ta có (c.c.c) suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
MDC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB.